Проективная геометрия. Учебное пособие

ò

~

~

è, ïðè ýòîì ` и кторы ~a, b, ~c, d èõ ïð ñò è-

~, ~

~

(сло ным) отнош~c = λ~aíè+ µìb d = ν~a + ρb. Д ойным

(AB, CD) òî÷ ê A, B,

C, D í û òñÿ ûð íè :

µ ρ

(AB, CD) =

:

,

(14.1)

λ

ν

лящими, í òî÷êû þòñÿми. исными точк ми;

C, D

A B

îíîíîìóÊ) отношê пучкуéñò.íèííî÷ понятиòûð õ îïðпрямыхëÿ,òñÿïðèí îéíîë ùèõ(ñëî -

Ïðèì ð.

Ä íî: A(1, 0, −1), B(−2 1, 3), C(3, −1, −4), D(0, −1,

− 1)Ïðî.

рить, что точки

мойР шн йтини

A, B, C, D ë ò í î íîé ïðÿ-

. (ÑîñòAB, CDèì).ур н ни прямой

AB.

x1 x2 x3

èëè

1

0

−1 = 0,

−2

1

3

им коор ин ты.Прочкирим, что

C AB

. Äëÿ ýòî î

ïî ñòx1

− x2 + x3 = 0

.

Получ

ïðîî: ðÿ òñÿ,ур н ни прямой

AB

р рноло рни :нс

C

ñîñò èì.

3 − (−1) + (−4) = 0. Çí ÷èò,

µ = −1, λ = 1. Àí ëî è÷íî, è ð ëî íèÿ

C AB Àí ëî è÷íî

÷òî D AB. Ä ë

(14.1),: ρ = −1, ν = −2. Вычислèì, поль уясь формулой

è í é ì

3 = λ − 2µ, −1 = µ

í é ì

(0, −1, −1) = ν(1 0, −1) + ρ(−2, 1, 3)

611

1

2.

(AB, CD) = −

: − =

2

−

−

Ò îð ì [14.1]. Ä îéíî

òî-

÷êторо(прямых)-пр стн

ит лиситй (кооротношыинниорт).

èõ

Äîê ò ëüñò î. Äîê ì ò îð ìó ëÿ îéíî

î

отнош1)Зниям ним(AB, CDкторы) òî÷ ê.

~a

è ~

í ðó è ïð ñò èò ëè:

b

0

~0

~

~a

= α~a, b

= βb è ñîñò èì ð ëî íèÿ:

~c

0 0

0~0

= λ ~a

+ µ b ,

То ойно отнош~ íè

0 ~0

0~0

d

= ν a + ρ b .

µ0

ρ0

Ç ì í

ð ëî(AB,íèÿõCD) =êòîðî:

.

λ0

ν0

~c

è ~

кторы ~0 è

~0. Получиì

d

a

b

0

0

~

~c = (λ

α)~a + (µ

β)b,

~

0

0

~

В силу инст нностиd = ð(ν

ëîα)~a +íèÿ(ρ β)bкторо.

òîð ì

~c

è ~

~ èìì: ì:

d ïî ê-

Îòñþ

λ

0

0

0

0

.

~a í bé

α = λ, µ

β = µ, ν

α = ν, ρ β = ρ

0

λ

0

µ

0

ν

0

ρ

Сно ычислимλ =

,

µ

=

,

ν

=

,

ρ

=

.

α

β

α

β

µ0

ρ0

µα

ρα

µ

ρ

нилосьТкимро ультр(AB,îì,ò CDойном) =íû отношe: êòîðî= íè-ïð:

(ABCñ= Dèò):íë. é ì -

λ0

ν0

λβ νβ

λ ν

~a è

~

òî÷ ê

A

è

B

ру и пр ст ит ли кторы ~

~

b

62

a

b

0

0.

пр о р о нит льст плоскостио ( ля точи к). Пусть

f

ïðî êòè íî-

íî Äîê

ч тыр точки,л щи щи н прямойA,

B,

C, D

ëþ û

õ î ð û,

н прямой

ïîï`,ðíîA0,

B0,

C0,

D0

òî÷ ê,

точки A

êòè

C

`0 = f(`). Ò ê

A B B C

,относитD D льно

0тройкиныхркоорп0 ðî èí ò0

0

þùèõсо тимтстют оннони

-

ïð î ð î íè , òîR, R0 = f(R),

отношðïðîìнойкти[14нияплоскости.4].нымчЕслитыр. хнприомр нято тоно. ниойя -f

ляпроÒтсякти

(AB, CD) = (A B

C

D

)

0

0

0

0

64

(AB, CD) =

c1

c2

d1

d2 .

(14.

3)

:

íûÒ îð ìпро кти[14.5]ный. Пустьр п рн прямойспр ` -

литочки

R = {A1, A2, E}

A, B, C, D, ïðè ýòîì A(a , a2 ,

формул,

,

D(d1, d2)

. Òî

B(b1, b2) C(c1, c2)

Ñîñòèì

a1

a2

a1

a2

b1

b2

b1 b2

c1

c2

d1

d2

Äîê ò ëüñò î.

ð ëî íèÿ:

~

~c = λ~a + µb,

Òî èì ì:

~

~

d = ν~a + ρb.

Êð ì ð ,

формул м

a

d

(c1, c2) = λ(a1, a2) + µ(b1

, b2),

Отку получим сист мы ур н ний.

(d1, d2) = ν(a1

, a2) + ρ(b1 b2)

c2

= λa2

+ µb2

,

d2

= νa2

+ ρb2 .

c1

= λa1

+ µb1

d1

= νa1

+ ρb1

получим

Ð ø ÿ ýòè ñèñò ìû ïî

c2

b2

a2

c2

65

d2

b2

a2

d2

λ =

c1

b1

, µ =

a1

c1

, ν =

d1

b1

, ρ =

1

1

,

a1

b1

= a2

b2 . Вычислим (AB, CD) по формул (1):

c

a

d

A, B, C, D

л т н прямой[14

a1

1

1

a1 a2

a1

a2

(AB, CD) =

c1

b1

:

d1

b1

=

b1

b2

:

b1

b2

.

a2

c2

a2

d2

c1

c2

d1

d2

Ò îð ì

b2

.6].

Пусть тî÷êè

d1

d2

c2

d2

b2

c1 c2

` è

a = a1 , b =

b1

, c =

c1

, d =

d1

d2

тынэтихонор

a2

b2

c2

к относитпроктильíоы р коорпр ин -

точны

{A1, A2, E}. Òî

R =

Äëÿ

Докэто тычислим(AB,ëüñòCDî)ïð.=Â

c

−

a

:

d

−

a

.

îñïîлитльльу мся формулой(14.4)(14.3).

c − b

d − b

Àí ëî è÷íî í é ì

îïð ëèò ëè:

c1

c2

a1

1

c 1

− −

−

c2

a1

a2

a2

1

ðó è

a

1

a .

= a2c2(a c) = a2c2(c

)

= a2c2 c1

= a2c2

66

Ïî ñò èì

í ÷ íèÿ

(d−a),

d1

d2

=

c1

c2

= −b2c2(c−b),

d1

d2

= −a2d2

b1

b2

a1

a2

b1

b2

b2d2(d

−

b).

−

ëó (14.3). Получимн й нны

опр лит л й форму-

(AB, CD) =

a2c2

(c

−

a)

:

a2d2

(d

−

a)

=

(c

−

a)

:

(d

−

a)

.

−

−

ûîéíÇò ìðî÷ìû,îíè

íîø. Поойстнияîéíîприпрямыхныципуо отношт. оройстмíìÿ

нности(14.5), ñïð(14

.6) ëèëÿ-

Ñ îîéñò í

−b2c2

(c − b)

−b2d2

(d − b)

(c − b) (d − b)

1

1

1

α

ëüñò î ñ îéñò

Äîê òα, α

, 1 − α,

1 − α, 1 − α, 1 − α.

мулой (14.4).

4◦. Восполь у мся фор-

(AC, BD) =

b − a

:

d − a

=

b − c + c − a

·

d − b + b − c

=

b

−

c

d

−

c

b

−

c

d

−

a

1

c − a

d − b

c − b

=

d − b

c − a

d − b

c − b

+

− c − b

d − a

− d − a

d − a

− c − b

·d − a

−d − a

(ñ îéñò î4◦, получим

c − a

c − b

=

d − b

c − b

+

c − a

c − a

:

d − a

=c − b · d − a

d − a

− d − a d − a

− c − b d − b