Проективная геометрия. Учебное пособие

÷плоскостьюêÎïð ë íèïðè[2ýòîì:.1]. Ð ìíîñøèð ñòííîéо эл( мклинто о: ой)

1) òî÷êпрямых,нляюы тсяс

кли о ой плоскто-

ñòè è ñ í ñî ñò

точки;

2

прямыми ñëó ò:

к я и которых

о ычны прямы

) í ñî ñò íí ÿ ïðÿìплоскости,ÿ состоящ я и с х н со -

ополн н соот тстнныующ

й н со ст нной точкой;

ст нных точ к плоскости.

Ò îð ì [2.1]. Р сшир нн я плоскость я ля-

тся мо лью про кти ной плоскости.

ÿ

ëüñò : Íó íî

÷òî ñøèð íí

ñ ìт оряксиомт мпок м принть, л ности

I1−2,

плоскостьДок т ку о л

I3

,

I9

пр ры. ности.

О рПроничимся,рк проыполнимостиркой иомксиомпоряпринк

Пусть

I1−2.

î

р1)сширЕслиAííîéB точки р сшир нной плоскости.

ну прямуюныточки, тоинстчр ннних мо

проДополнимстиAò ëüêîB î ñò

ñòè.

прямую

`

кли очкойплоско

íÿùóþ

точкиплоскости

прямой.прохТ -

ть прямую,

ííîé

ñòèì

÷ ð

` нусопрям

к к точки

A B. ò

ÿ

ñò íí,

ê

2) ÅñëèA

приннн ял т н со ст нн й

.

Bñî ñò

òî÷ê êëè, îííAой я прямой

òî÷ê ,

B ï ð ëë ëüíî ÿ

í

плоскостиb,чтор поточкуксиом

10

A ìî íî ïðî ñòè

костиинстпрямннуюя пря

óþ a||b. Тн осорстом,р сшир нной пл с

ïðÿì ÿ

a èì ò òó î÷ è íî,

нную точку, что и

èò ÷ ð b, точки.р.точкусшир ннойB. Ò êèì

ïðÿì ÿ a прохо

этиной3)точкипрямойЕсли.точкиA

B и, плоскости,я прохоля тсяящинстй ч рн-

-

Прор сширлннырктнточкиíыпосоплоскости.ст мннойстии,нпрямойсо рсоксиомыст нныщйинстрточки,личныннойтопряонин

сомойпринст

A B

рк ыполнимости ксиомы

I9.

Пусть ны прямы

1) Åñëè

a è b.

сопстр сннык ютсяпрямыили,пторнèìëëñîþòльныклистнно.Ноойя

è èëè

ñî ñò ííóþ

нплоскостисли

a

b

2)aÅñëè||b, òî

рсосширчку,ст .нной.топлоскостир с кониются.

ùóþ

í ñîÿ, ñò ííîé òî÷ê ïðÿ-

мойпрям я, то ониa ï ð ñ íí ÿ ïðÿì

b

т ми: прямуюс я кой сн хсопрямых,ст ннойп рточклл ль, ыхкоторэ я

опрпрямой;ляплоскостьтся плоскосто нойй,

прямойнной, о н плоской и òîé

ñòè.

ñ õ

òî÷ ê è í ñî ñò í

ных Мнопрямыхст о о м н сопстр ллннойльныхплоскостью. П лу

ëüþ

ïðî êòè íî î

.

÷ ííî ð ñø

ð ííî

íñò î ÿ ëÿ òñÿ ìî-

(Ост им этот ф ктпрострок тнст льст ).

Ÿ 3.

òî÷ ê í ð ñøèð ííîé

Коорл костиин ты р сшир нном

ï îñòð íñò

1. Коор ин ты точ к н р сшир нной плоско-

ñòè

ð ñøèð ííîé

ффинную сист

 ì

ìó êîîð èí ò

O~e1~e2

плоскости

ê

îé ñî ñò ííîé òî÷-

упоря ,î÷ò ìííñò ìûì

ñîîòM плоскоститсти у т

ялпнр

йстимноит -льныхоно нчисчнол

ны Окоорн ч ниин ты.

коор инточкты

M

èì ò î íîðî -

M(x1

x2, x3)

Î÷ è í , ñëè(x1, x2, x3).

è (λx1, λx2, λx3),

M(x1, x2, x3),

λ÷ 6стности,= 0 стьтройко норо ны

той точки M. Â

ðî íûõ

(точкиx, y, 1) т к я ля тся тройкой о но

Ò êèì

ð îì,

M.

M

м к оплосуно-

т,япропорциончнотчк мно ñльныхтширо тронной

íí

инскон

òñò

ñ

êîîð

ртотйстиныхтройкимя

óê ííî î

.

,

ô êò îòð(x, y,òñÿ1). ûøî î í ÷ íèè

Пусть от

отличиписы

M(x1 : x2 : x3)

мнясопрямойст нн я точк р сшир нной плос-

кости,

P∞

коэффицийсттсяльныхВнт

`, ур н ни которой ax +

èò

by + c = 0.

î íîðî íûõ êîïð èíëÿ

ò õ ýòî óð í íè

íûõ

ax1 + bx2 + cx3 = 0.

При остоян-

ð ëë

прямойa è b îíî

пучок прямых,

`. К ким ы ни ыл коэффици нт

c, оурнорон ниюных ax1 +÷ bxñ 2ë+ cx3

= 0 ó î ë ò îðÿ

êó

êîîð èí ò í(b,ñî−a,ñò0)н ,соннойсти примточкинням тройкой

тим, что лю я тройк

è

P∞. Ç ì -

î íîðî íûõ êîîð èí ò ê êîé-(òîx1, x2, 0)

ннойлятсяточки

Î

÷ íè :

P∞.

èì

íî, íû êîîð èí òû

òî÷ê

P∞

Î÷ò è îðî

P∞ (x1, x2, 0)

ñëè

(x1, x2, 0).

P∞(x1, x2, 0), òî è òð éê (λx1, λx2, 0),

Ò êèì P∞

î ð. îì,

13

#

P∞

плоск я н со ст нн я точк

î íîпропорционостиныхимкоортльныхинсконт чно мнор стширо троннойк

0,

(x1, x2, x3),

x3 =

ì ó ñî îé

и тройк

"

!

смыслÿ ð ñøèðплоскостисоотíí ÿòñòплоскостьиятройк(îìèî-

ìííîé

í ò

îíуноро÷èì2òî÷ê.ПустьГ омныхðìèññìòêîîðè÷òðсшскийр

(b, −a, 0).

Присо) í õî èíèìòñÿ

-

систрсширм коорнном инпр т

ñòð íñò . π

ктрффинхм рíîìé

Oe~ e~

Еслиплоскости

π

êòîð

e~ =

−→

S

π

.

1 )2

3

SO,

6

M(x, y)

со ст нн я точк плоскости π, то

−−→

=

xe~1

+

ye~2

−−→

= −→ +

−−→

=

xe~1

+

ye~2

+

e~3

OM

. Òî

SM

SO

OM

,

ò. .

−−→(

1)

îòíî èò ëüíî

Ðèñ. 1

èñ

SM x, y,

êòîð {e~1, e~2, e~3}. Ð ñсмотрим

òîðó

m~, коллин рный

ê

−−→

=

−−→

(

SM. Òî m~

λSM

λì6= î)0 îè ím~(÷λxнПолучим,λy: λ). Â-

λx = x1,

λy = x2, λ = x3.

÷òî

тройк

, при этом тройк

(x1, x2, x3)

пропорцион ль-

m~í (x1, x2, x3)

 ðíî è(x,î y,ð 1)òíî. : сли тройк

ëüí

ðîéê

(x1, x2, x3) ïðîï ðöèî

íû

m~

,

ïðктором,Îïðñò èòë íèë ñò[3.2]ляющим. В ктор точкуm~ í û òñÿ

точки

M

, ñëè

M, èëè

m~||−−→

Т ким р ом, тройк

SM.

M сть тройк

, р ст льляющ- о

ïðè ýòîì

пропорцион

êтройк

(x, y, 1),

Ðèñ. 2

)тыПустьэтойффинныточкиоор. -

(x, y

ñò íí ÿ

P∞

точк плоскостин со -

óð, í íè ì я прямой

`

π

Р ссмотримaxê +êîéby-+ëèc =î 0í. пр ляющий ктор,

`т. льноТк к к исp~||`, òî

p~ прямой

p~ = b~e1 − a~e2, ò. . p~ (b, −a, 0) тноси

ный ктору{e~1, e~2, e~3}. Åñëè m~ ñòü

коллин -

ïðè

x1 = λb, x2 = −λa. Òî m~(x1, x2, 0),

рно и о пропр тн рцион: лю льнятр

йк ст. ит льных чи

ñ ëÂ(x1

, x2

, 0)

(b, −a, 0)

èí ò

тройкой,, , êîîðпорцион кторльнпропорционя éк льных , я

ëÿ òñÿ(x1

x2

0)

(b, −a, 0)

ñî ñò ííîé

î÷ê

p~||`. Ò ê ê ê ê îé

ìíî ñò òîòðî ê P∞ ò ê ñîîò òñò ó ò ñêîí ÷

ê

(x1, x2, 0),

ðîé

-,

í

стско

сокторо

íó

тройтстйкой

ê ó

косшисòорыхпо ихоколлинннойпропорционимплоскрныхы стиомльныу:соот

ð,

òû

èíìíî

÷íîé òî÷ê

êîîð

(b, −a, 0)

15

(b, −a, 0).

êòîð

`

ñòü êîîð èí òû ïð ñ

ëÿþù î

í P∞прямой

льны тройкm~, при этомр mñøèð~ ||` ннойо кооркоэффициин пропорционты

íèÿ

(b, −a, 0),

a

b

óð -

'ом трич ский смысл

íîð

плоскости π.

$

Ïðèì ð [3.1]` .í

òî÷ê

O(0, 0, 1), X∞(1, 0, 0)

í ñî ñò íí ÿ

ìîé

îì,

îì,

,

1

,

0)

í ñî ñò íí ÿ òî÷ê ïðÿ-

î ð Oe~1 Y∞(0

êèì

ÒOe~2.

(x1

x2, x3)

ëþ îé

ñîòû-

точки (со стныхннойкоорстоитин

пло кости с

сширстннойляют

кторчто ониM ïð

ст ыитр нноля точкиис

,

относи-

ëüíî ñïm~ци,прльно

M

, e~2, e~3}

ñòпрострìóÂ3ñò. îïðÊîîðêîîðííîé)ìíñòинлитсяèíр тсширòû òî÷ííîì êпрострð

{e~1

&

%

ñøèðíñò ííîìффинную. си

ê

ê

Oe~1e~2e~ . Òî

ÿ ñî ñò íí ÿ òî÷-

êоорочинннт ямич т р

.

M

÷èñÎïðë ë íèффинными[3.3]. Упоря

(x, y, z)

ин т ми точкиí û òñÿ î íî î û-

ìè êîîð(x1

, x2 x3

, x4)

простр нст , ñëè

M ð ñøèð ííîì

x1

x2

x3

x =

, y =16

, z =

.

x4

x4

x4

пропорцио

(x1, x2, x3

, x4), ïðè ýòîì

îíè

Ур н и плоскости

(x, y, z, 1).

ïó÷ê ,

ò è :

α ôôèí

èì

óðð í íè0

о, :нтнорокоэффициных нты ,

õ, ýòîí

ax + byопишр+ìczтсянно+ìd. =Âöè0ó

a

b

c

При постоянных коэфф

ax1

+ bx2 + cx3 + dx4

= 0.

онойопр.уЕслио л чтя т

пучокрк п йстрллитльныхльных чис лсо ойaплоскост,b, c

Ñî ñò íí

x4

= 0.

ax1 + bx2

+ cx3 + dx4 = 0,

ÿ ïðÿì ÿ

ëÿ òñÿ ñèñò ìîé

н рний:сшир нно о простр нст опр -

óð `

a1x1 + b1x2 + c1x3 + d1x4 = 0,

сист м ур н ний урточк ни

Присо иниa2xê1ýòîé+ b2x2

+ c2x3 + d2x4 = 0.

Ïî í ëî èè

плоск

üþ

коортря нстин ты.коорточинк т мир сширкторнном ÷ òûðñ ð õìнсто рнонороì íû-

Ç

Í

прямой к ой точк

ñîîò тьмтстч унит :

ìíî ñò î

норопропорционуныхсо кооройпсконинльнырт;рйстчнопрсширп ртэтомльныхнной лячиссопропорционлст нных, льныхточо к

ìíè

(x1 x2)

орцинонт льныэтой точки,

ля н с, ст ннойффиннточки япрко

ð

(x, 1)

x

й, прикторэтомя ляются.Опрноросткоорныит инлмтнмисо сттыкторнной

прямой

òñÿ

(1, 0)

ë

ëÿ

èò

ÿ ííîé

ñò

рсшир

ðïточки

морныйÏðîíëüþ.üêóïðîïðîðêòèñøèðêòèêòèðíûссмнннойíîéòðèÿêîîðплоскости,плоскостиклилюèíîîé òûтоплоскпрточкиîстьктимуяколнуюля--

линтсяŸ 4Поско.

~e1

(1, 0)

êòîð,

омть триюр лиу мции н р сш -

ííîé ïëî ê ñòè.

Áó ì èñõ èòü è î î, ÷òî

ïðî êòè

íû

êîîð èí òû

ÿ ëÿ-

þòñÿ î î ù íè ì

î íîðî íûõ

îð èí ò.

ло нстпронн оя.ктиВыпронрямктиплос- ольнo точкуРис. 3

êîсть,Пустьпрострπ

í л щую плоскости

S, í ïðè

π, 18òðè н компл н рных кто-

кторм, ит, лямиоторы

отло им от точки S. Â í ë -

íèèð í~e1é, ~e2 ~e3

точки,

~e2 ~e3 ч р точку S

ïðî ìпрямыхÿìû

~e1

ï îñ

ñòüþ

A1, A2, A3

ï ð ñ ÷ íèÿ ýòèõ

ñ

èëè êîîð èí

. Н о м тр у ольник

кторы исным,

πòíûì, òð

ì,

A1A2A3

ïð

ñò

ñîîò òñò ííî òî÷ ê

~e1, ~e2, ~e3

м т к иничную очку

A1, A2, A3. Í é

п р с ч ния прямой

E, òîð ÿ ÿ ëÿ òñÿ ò ÷êîé

S~e, ~e = ~e1 + ~e2 + ~e3, плоскîñòüþ

A1

,

A2

,

A3, í ë ùèõ íкоторыхой прямой, и и

нычной точки

соотношEíè,ïðì ñò èò ëè

~e1 ~e2 ~e3, ~e ñ ÿ

òñÿ ïðîïê-

íûì

û

êòè

í

нойсистèñмойкоор ин т (про

тиром),

~e = ~e1 + ~e2 + ~e3

,

ñ

èí ò èñ.

èñîì, ñ ÿ ííûì

ýòîéÒ îð ì [4.B1]êîîð.=Ä{~e1, ~e2, ~e3}

0

0

0

B = {~e1, ~e2, ~e3} è B0 =

ной, сист, мойс я ны с о тоной иитойтолькопрото ,ктико-

{e~1

e~2

e~3

}

0

0

,

0

,

(

).

ñòÏóñèòüòëÿìèëüñò, èñû î.

e~3 = λ~e3

1)Äîêe~1

= λ~e1

e~2

= λ~e2

λ 6= 0

ñèñò ìîé êîîð èí ò. Ò ê ê 0кс якт нырыпросо ктиной нойтой

B B

ичночки

e~1

e~1

я ляются

ëî

ïð

о нойАнтой

0

í ðíû, . .

A1,

они колли

0

.

0

,

0

мойПо опр

e~1

= λ1~e1

e~2

= λ2~e2

e~3

= λ3~e3

коор линниют, им исм , с я нно î ñ

ñèñò -

19

~

0

0

0.

~e = ~e + ~e2

+ ~e3,

e

= e~1

+ e~2

+ e~3

0