Основы релятивистской механики. Монография

Интегрируем левую часть этого уравнения от 0 до T, а правую – от 0 до 2π + Δϕ :

Удерживая здесь только члены первого порядка по и по , запишем

Отсюда, получаем формулу для вычисления величины

81

Вносим в эту формулу итерации (3.24), (3.26), получившиеся из уравнений теории относительности. Надлежащие вычисления приводят к следующему выражению:

Внося сюда параметры Меркурия, получаем значение

которое в 4 раза превышает реально наблюдаемое.

82

ГЛАВА 4. ЕСТЕСТВЕННОЕ ОБОБЩЕНИЕ

ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

4.1. Релятивистское обобщение законов Ньютона

Слово «релятивистское», означающее, вообще говоря, просто «относительное», вошло в науку благодаря новому взгляду на принцип относительности, провозглашенному А. Эйнштейном. Главной чертой этого нового подхода является необходимость учета конечности скорости света не только в электромагнитных, но и в механических процессах. Поэтому мы всякую формулу механики, содержащую константу с, называем релятивистской.

Мы намерены пересмотреть основные постулаты классической механики, сформулированные в главе 2, так, чтобы, с одной стороны, как можно полнее сохранить их, а с другой – изменить так, чтобы совместить с новым пониманием принципа относительности. При этом, разумеется, в предельном случае с должны получаться классические формулы. Итак.

1.Полагаем, что в общем случае координаты любых двух инерциальных систем отсчета связаны между собой не преобразованиями Галилея (2.1), а преобразованиями Лоренца (2.53).

2.Первый закон Ньютона в точности сохраняет свою формулировку.

3.Во втором законе Ньютона (2.2) при сохранении его формы заменяем постоянную инертную массу m на инертную массу μ(v), зависящую от величины скорости точки. Причем эта зависимость должна быть такой, чтобы квадрат силы инерции F2 был скалярным инвариантом преобразований Лоренца. Мы имеем такой инвариант в виде формулы (2.36). Запишем его здесь так:

83

Но это не единственный подходящий инвариант. Из него можно образовать еще один более общий инвариант с еще одной произвольной постоянной. Действительно, в законе движения у нас: r(t) – радиус-вектор некоторой точки; v(t) – скорость этой точки; a(t) – ее ускорение. Запишем векторы

r1 (t) = kr(t), v1 (t) = kv(t) , a1 (t) = ka(t) ,

где k – произвольная постоянная. Аналогично инварианту (4.1) инвариантом преобразований Лоренца будут и такие выражения:

Поэтому, обобщенная форма второго закона Ньютона должна быть такой:

где μ – инертная релятивистская масса:

84

4.Третий закон Ньютона остается действующим в своей классической формулировке.

5.В законе всемирного тяготения (2.3) постоянные гра-

витационные массы m1, m2 заменяем на релятивистские массы μ1, μ2. Соответственно этот закон приобретает вид

6.Принцип эквивалентности оставляем в силе и в отношении релятивистских масс. Это означает, что в законе (4.5) массы μ1, μ2 полагаются определяемыми формулой (4.4).

7.В классической механике существует такое важное понятие, как центр масс замкнутой системы материальных точек. Система тел считается замкнутой при отсутствии воздействия на нее каких-либо внешних сил. Система отсчета,

вкоторой центр масс неподвижен, является инерциальной. Радиус-вектор центра масс системы из n материальных точек определяется так:

Обратим внимание, что здесь фигурируют классические, нерелятивистские массы. Их еще называют массами покоя. Центр масс замкнутой системы не может двигаться с ненулевым ускорением. Другими словами, для радиус-вектора центра масс такой системы всегда выполняются равенства

= =

R const, R 0.

Таким образом, понятие центра масс без каких-либо изменений и оговорок остается правомочным и в релятивистском случае.

Применим теперь наши релятивистские определения к задаче двух тел.

85

4.2. Уравнение движения в задаче двух тел

Рассмотрим систему из двух изолированных гравитаци- онно-связанных материальных точек (рис. 4.1).

r1m1

r0

ϑ

r2

m2

Рис. 4.1

Согласно первому закону Ньютона существуют инерциальные системы отсчета, в которых эта система из двух точек как целое неподвижна. Это значит, что на отрезке [m1, m2], соединяющем эти точки, находится одна неподвижная точка, в которую можно поместить начало одной из инерциальных систем отсчета. Эта точка и есть центр масс нашей системы из двух точек. Если r – вектор, идущий от точки m2 к точке m1, то радиус-векторы точек m1 и m2 в системе отсчета с началом в центре масс будут такими:

где r = r1 − r2 , r = r − расстояние между точками m1 ,m2 . Соответственно скорости и ускорения точек в этой системе

записываются так:

86

где v = r = v1 − v2 , a = r = a1 − a2 .

В силу второго и третьего законов Ньютона имеем

87

Теперь нетрудно вывести уравнение движения. Переписываем первое из равенств (4.13), беря в нем вектор силы из закона всемирного тяготения (4.5):

μ1a1 = −G μ1μ3 2 r. r

Внося сюда вектор ускорения из (4.17), получаем

a = −G μ1 + μ2 r, r3

или окончательно, с учетом (4.21) приходим к записи релятивистского уравнения движения в виде

где M = m1 + m2 .

88

4.3. Задача двух тел. Релятивистская орбита

Уравнение (4.23) описывает плоское движение в задаче двух тел, происходящее с центральным вектором ускорения, а, следовательно, с постоянной секторной скоростью и с постоянной величиной момента вектора линейной скорости. Поэтому

С учетом последнего равенства выражение (4.22) для коэффициента γ , ответственного за релятивистские эффекты, приобретает вид

Далее поступаем по той же схеме, что и в случае движения по уравнению теории относительности. Умножаем обе части уравнения (4.23) скалярно на вектор скорости v. После разделения переменных и сокращения на dt получаем уравнение

производящее первый интеграл:

89

Здесь для некоторого сокращения записи положено

и разложить здесь правую часть, удерживая только члены порядка 1 / c2 и 1 / c4 , то получим следующую формулу для квадрата скорости, с учетом первой релятивистской поправки

Опять, как и раньше, чтобы получить уравнение траектории, вносим в первый интеграл (4.30) (только теперь для упрощения записей сразу используем его укороченную форму) вместо квадрата скорости его выражение через орбитальную функцию λ(ϕ) и постоянную l0 :

Тогда для орбитальной функции λ = 1 получаем уравнение r

90