Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы релятивистской механики. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

841 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

v2 (0) ≈	2GM				= 23	2	G2 M2	.	(4.127)

2					9		T2
3		9	l0	T2

		2 h

Поэтому, если известна начальная скорость, то можно рассчитать и полное время движения.

Уравнение траектории, т.е. зависимость полярного радиуса от угловой координаты, получим, точно следуя по соответствующим выкладкам, проделанным в случае движения по гиперболе. Переходим от уравнения движения (4.102) к уравнению траектории, заменив дифференцирование по времени дифференцированием по угловой координате со-

гласно правилу

d dϕ

Тогда уравнение (4.102)

dϕ dt

dϕ

записывается так:

r ′2 +

= 2

−

+ O

(4.128)

h r

c h

(штрих, как и всюду прежде, означает дифференцирование по ).

Опять, переходим к орбитальной функции посредством традиционной подстановки:

r = λ1 , r ′ = − λ12 λ′.

Теперь уравнение (4.128) приобретает вид

λ′2 + λ2 =	2		1	l2			h			1
		λ +		0	3λ2	−		λ3	+ O			.	(4.129)
	h	λ +	2	2	3λ2	−	3	λ3	+ O		4	.	(4.129)
	h		c	h			3		c

Дифференцируем обе части этого уравнения по переменной :

	1		1	l2			1
λ′′ + λ =		+		0		(6λ − hλ2 )+ O			.	(4.130)
λ′′ + λ =	h	+	2	2h	2	(6λ − hλ2 )+ O		4	.	(4.130)
	h		c	2h		c

111

Опять, вводим безразмерный малый параметр и безразмерную переменную:

ε =	1 l2		, ξ = hλ =	h
		0			.
	c2 2h2			r

В этих переменных имеем уравнение орбиты:

ξ′′ + ξ = 1 + ε (6ξ − ξ2 )+ O (ε2 ).			(4.131)
Представляем решение в виде
ξ = ξ	0	+ εξ + O (ε2 ).
	0	1

Для нахождения нулевой и первой итераций имеем такую систему уравнений:

	ξ′′	+ ξ	0	= 1,
	0		0
ξ′′ + ξ		= 6ξ			0	− ξ 2 .	(4.132)
1	1				0	0

Отсюда. в случае симметричной относительно оси Ox параболы мы должны написать

ξ0 = 1 − cos ϕ.

(4.133)

Вносим (4.133) в правую часть уравнения (4.132). Тогда оно записывается так:

ξ′′	+ ξ =				9	− 4 cos ϕ −			1	cos2ϕ.	(4.134)
ξ′′	+ ξ =					− 4 cos ϕ −				cos2ϕ.	(4.134)
1		1		2		2
				2		2
Его решение:
ξ		=	9	− 2ϕ sin ϕ +			1	cos2ϕ.			(4.135)
ξ		=		− 2ϕ sin ϕ +				cos2ϕ.			(4.135)
1		2				6
		2				6

Соответственно, имеем такую приведенную орбитальную функцию:

9			1		+ O (ε2 ).
ξ = 1 − cos ϕ + ε		− 2ϕ sin ϕ +		cos2ϕ		(4.136)
ξ = 1 − cos ϕ + ε		− 2ϕ sin ϕ +		cos2ϕ		(4.136)
	2		6

Из условия ξ′ = 0 найдем точку перигелия. Дифференцируем (4.136):

112

	1		+ O (ε2 ).
ξ′ = sin ϕ − 2ε sin ϕ + ϕ cos ϕ +		sin 2ϕ		(4.137)
ξ′ = sin ϕ − 2ε sin ϕ + ϕ cos ϕ +	6	sin 2ϕ		(4.137)
	6

Полагаем = + , где ~ . Тогда

ξ′(π + δ) = sin(π + δ) −
	1		+ O (ε2 ) =
− 2ε sin(π + δ) + (π + δ) cos(π + δ) +		sin 2(π + δ)
− 2ε sin(π + δ) + (π + δ) cos(π + δ) +	6	sin 2(π + δ)
	6

+ O (ε2 ) =

= − sin δ + 2ε sin δ + (π + δ) cos

δ −

sin 2δ

= −δ + 2επ + O (ε2 ).

Отсюда

π l02

π GM

δ = 2πε =

(4.138)

– величина смещения перигелия по отношению к классическому перигелию = ;

ϕ = π + 2πε = π +	π	l02	= π +	π	GM

p	c2 h2			c2 h

– точка релятивистского перигелия.

Запишем явное выражение релятивистской траектории:

ξ0 + εξ1 + O

(ε2 )

−1

1 + ε

+ O (ε2 )

− ε

+ O (ε2 ).

ξ0

ξ20

ξ0

Вносим сюда (4.133), (4.135), (4.138). Имеем

− 2ϕ sin ϕ +

cos2ϕ

1 GM

−

+ O

(4.139)

1 − cos ϕ

c2 2h

(1 − cos ϕ)2

113

4.5.Движение по прямой

Вданном случае векторное уравнение движения (4.23) приобретает скалярную форму:

r = −γ

(4.140)

Здесь

k = GM ,

(4.141)

γ =

(4.142)

−

v2 32

v = r ,

v = r .

(4.143)

С помощью подстановки

r = v =

= v

dr dt

понижаем порядок уравнения (4.140). Имеем

= −γ

(4.144)

Вносим сюда множитель (4.142), ответственный за реля-

тивистский эффект, и разделяем переменные

1 −

v2 32

vdv = −k

(4.145)

Интегрируя обе части этого уравнения и записывая постоянную интегрирования в удобной форме, получим:

		v2	52	5	k
1	−		= 1 −			+ E	(4.146)
				c2
		c2			r

или
	v2			5	k		25
		= 1 − 1	−			+ E	,	(4.147)
	c2	= 1 − 1	−	c2		+ E	,	(4.147)
	c2			c2	r

114

или, раскладывая правую часть по степеням малого параметра:

k			3	k	2		1
v2 = 2	+ E	+			+ E	+ O
			2					4
r			с	r		c

. (4.148)

Отсюда, помня, что скорость есть производная от координаты, получаем следующее уравнение первого порядка:

r = −

3 1 k

+ E 1

(

+ E)

+ O

(4.149)

4 c

Выбран знак минус, так как с течением времени расстояние должно сокращаться. Далее можно было бы продолжить решение этого уравнения путем его интегрирования и построения последовательных итераций. Однако, представляется более эффективным продвижение по другому пути. С помощью равенства (4.147) выразим коэффициент через координату r и возвратимся к уравнению второго порядка:

		v2 −32			5 k		−35
γ = 1	−		= 1	−			+ E .	(4.150)
		2			2
		сc				r

Вносим это равенство в исходное уравнение (4.140). Причем, постоянную Е можно опустить, так как она все равно возникнет при интегрировании соответствующего уравнения второго порядка.

Итак, имеем точное уравнение второго порядка без первой производной:

		5 k −35		k
r = − 1	−					.	(4.151)
		2			2
		с	r	r

Если в этом уравнении правую часть мыслить, как разложение с удержанными членами только нулевого и первого порядка по 1/с2, то оно, вообще говоря, эквивалентно уравнению первого порядка (4.149). Но мы попытаемся учесть здесь еще один член более высокого порядка малости. Ищем решение в виде разложения:

115

r = r0

r2 + O

Тогда

r +

+ O

1 −

−

+ O

1 2

1 −

−

+ O

r 2

5 k −35

3 k

12 k2

−

= 1

+ O

r c

= 1 +

− k

+ O

(4.152)

(4.153)

(4.154)

(4.155)

Вносим все эти разложения в уравнение (4.151). Имеем

= −

−

(3k − 2r ) −

(4.156)

−

(12k2 − 9kr1

+ 3r12 − r0r2 )+ O

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получаем следующую систему трех рекуррентных уравнений:

116

				r		= −		k	,				(4.157)
				r		= −			,				(4.157)
				0				r2
								r2
						0
		r		= −	k		(3k − 2r ),						(4.158)
		r		= −			(3k − 2r ),						(4.158)
	1				r	3				1
					r	3
				0
r	= −	k	(12k2			− 9kr + 3r2					− r r	).	(4. 159)
r	= −		(12k2			− 9kr + 3r2					− r r	).	(4. 159)
2		r 4				1				1	0 2
	0

Решения этих уравнений выражаются друг через друга и могут быть найдены последовательно. Порядок первого из них (4.157), очевидно, понижается подстановкой нулевой составляющей скорости

			v0 = r0 .							(4.160)
Тогда
v			dv0			= −		k	.	(4.161)
v						= −			.	(4.161)
	0 dr							r2
		0					0
И после разделения переменных и интегрирования
	v2				k
		0		=			+ E.			(4.162)
		2		=	r0		+ E.			(4.162)
		2			r0

Возвращаясь к подстановке (4.160), записываем уравнение первого порядка относительно нулевой составляющей координаты:

dr			k
0	= −	2		+ E .	(4.163)
	= −	2		+ E .	(4.163)
dt		r0

Разделяем переменные и интегрируем:

∫		r0dr0				= 2E(T − t).	(4.164)
	r	2	+	k	r


0				E 0

При этом появилась еще одна постоянная интегрирования. Интеграл в левой части равенства (4.164) вычисляется путем выделения полного квадрата в подкоренном выраже-

117

нии. В результате надлежащей процедуры приходим к следующей неявной форме решения:

−

= 2E(T − t). (4.165)

ln r

С учетом выражения для нулевой составляющей скорости (4.163) последнее равенство можно записать и так:

−

= 2E(T − t). (4.166)

ln r0

Вторую итерацию находим из уравнения (4.158). Ему, очевидно, удовлетворяет постоянная

r =	3	k = const !	(4.167)

1	2

Подставляем эту постоянную в третье уравнение (4.159) нашей рекуррентной системы. При этом оно приобретает вид

r	= −	k	21		k2 − r r
						.
		r 4		4		.
2		r 4		4	0 2
		0

Записываем решение этого уравнения в виде

r2 = A + B r0

с неизвестными пока постоянными А и В. Имеем,

	r			= −			A		r		,

	2						r	2	0

						0
r	=	2 A				r2		−		A		r .

2			r		3	0				r	2	0

				0					0

Нулевая итерация у нас имеет производные

(4.168)

(4.169)

(4.170)

r		k	, r2		k
	= −			= 2		+ E .
	= −			= 2		+ E .
0		r2	0	r
		r2		r
		0			0

118

Вносим их в (4.170):
r2	=	A	(5k + 4Er0 ).	(4.171)
r2	=	r 4	(5k + 4Er0 ).	(4.171)
		r 4
	0

Вносим (4.169), (4.171) в уравнение (4.168), определяющее вторую итерацию:

	A					k	21
			(5k + 4Er0 ) = −					k2		− A − Br0		.	(4.172)
	r		(5k + 4Er0 ) = −				4	k2		− A − Br0		.	(4.172)
	r	4				r 4	4
0						0
Отсюда
			A = −	21	k2 , B = −				21		kE.
			A = −		k2 , B = −						kE.
			16				4

Подставляя эти значения в первоначальное представление второй итерации (4.169), получим

21 k2

1 k

r = −

−

kE = −

+ E .

(4.173)

16 r0

4 r0

Таким образом, имеем следующие разложения координаты и скорости с точностью до слагаемых порядка 1/с4 включительно:

			1 3							1 21			1 k							1
	r = r0	+					k −						k			+ E			+ O			,		(4.174)
	r = r0	+	2	2			k −			c	4	4	k			+ E			+ O		6	,		(4.174)
			c	2						c		4	4 r							c
															0
v = r = −	k					1 21						k2		k			1				1
	2	+ E			−								2		+ E					+ O			.	(4.175)
	2	+ E			−		c	4	16				2		+ E				2	+ O		6	.	(4.175)
	r						c		16				r			r					c
	0													0				0

Можно также записать выражение для квадрата скорости:

	k			1 21 k2					1
v2 = 2		+ E 1	+						+ O		.	(4.176)
					4		2			6
r0				c		8
								r0	c

Фигурирующая во всех этих формулах нулевая итерация координаты зависит от двух произвольных постоянных Е и Т и дается равенством (4.165). Это равенство, очевидно, неразрешимо в явном виде относительно r0 .

119

Заметим, что с самого начала, как только мы получили первый интеграл (4.162), дающий квадрат нулевой составляющей скорости, ее можно было бы положить равной нулю для бесконечно удаленной точки. Из этого последовало бы и нулевое значение константы Е, выражающей гравитационный потенциал на бесконечности. Тогда и уравнение для нулевой координаты было бы другим, более простым. То есть уравнение (4.163) в этом случае будет таким:

									dr0						= −					2		k			.								(4.177)
															= −					2					.								(4.177)
										dt												r0
Его решение:
				2			r				32 =								2k(T − t)														(4.178)
			3				r				32 =								2k(T − t)														(4.178)
			3					0
или
					r				= 3						9		k(T − t)2 .																(4.179)
					r				= 3								k(T − t)2 .																(4.179)
						0								2
														2
Соответственно формулы (4.174), (4.175), (4.176) пред-
станут теперь в несколько упрощенной форме:
r = r0	+		1 3									k		−			1 21 k2									+ O	1
																															,		(4.180)
			c			2		2								c		4		16 r									6		,		(4.180)
			c					2								c				16 r							c
																							0
v = r = −					2k												1 21 k2													1
											1 +															+ O						,	(4.181)
											1 +								4				2			+ O			6			,	(4.181)
																	c		4				2						6
						r0											c			16 r0								c
v2 =		2k												1 21 k2													1
						1					+													+ O						.			(4.182)
						1					+				4					2				+ O			6			.			(4.182)
													c		4			8		2							6
		r0											c					8			r0					c

Будем полагать, что движение начинается из очень удаленной точки. Тогда имеют место такие приближенные равенства:

r(0) r0	(0) = 3	9	kT2 ,	(4.183)

	2

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]