Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы релятивистской механики. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

841 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

будет

R = 0, I = ln		c	= ln	a2 + b2	.

0	0	a		a

И из равенства (4.79) соответствующий момент времени получается таким:

t (r

) = T +

a2 + b2

min

Квадрат линейной скорости в точке r0 = rmin :

v2 = GM

G2 M2

3 h2

1 h

−

− 2

+ O

3 rmin

rmin

4 rmin

где

rmin

−

5 a

36 a

GM 8 a

1 +

4 1 +

rmin

Для нахождения траектории используем нашу уже неоднократно опробованную методику. Переходим от уравнения движения (4.55) к уравнению траектории, заменив дифференцирование по времени дифференцированием по угловой

координате согласно правилу

d dϕ

dϕ dt

Тогда уравнение (4.55) записывается так:

r ′2 +

= 2

− A

r 4

h r

1 h

−

+ O

3 r

c h

d dϕ .

(4.85)

(штрих означает дифференцирование по ). Вводим прежнюю подстановку

r = λ1 , r ′ = − λ12 λ′.

101

Теперь уравнение (4.85) приобретает вид
λ′2 + λ2 =	2		2		1	l2			h		1
		λ −		A +		0	3(λ − A)2	−		λ3	+ O		.	(4.86)
	h		h		2	2			3			4
					c	h					c

Дифференцируем обе части этого уравнения по переменной :

	1		1	l2			1
λ′′ + λ =		+		0		(6(λ − A) − hλ2 )+ O
λ′′ + λ =	h	+	2	2h	2	(6(λ − A) − hλ2 )+ O		4
	h		c	2h		c

. (4.87)

Вводим, как и раньше, безразмерный малый параметр и безразмерную переменную:

ε =	1	l2	, ξ = hλ =	h
		0			.	(4.88)
	c2 2h2
				r

В этих переменных имеем уравнение

ξ′′ + ξ = 1 + ε (6(ξ − hA) − ξ2 )+ O (ε2 ).			(4.89)
Ищем решение в виде		+ εξ + O (ε2 ).
ξ = ξ	0	+ εξ + O (ε2 ).
	0	1

Для нахождения нулевой и первой итераций имеем такую систему уравнений:

		ξ′′ + ξ			0		= 1,
		0			0
	ξ′′	+ ξ = 6(ξ		0		− hA) − ξ 2 .			(4.90)
	1	1		0			0
Отсюда
	ξ0 = 1 − e cos ϕ (e > 1).								(4.91)
Вносим (4.91) в правую часть уравнения (4.90):
ξ′′ + ξ = 5 − 6hA −			e2	− 4e cos ϕ −				e2	cos2ϕ,
ξ′′ + ξ = 5 − 6hA −				− 4e cos ϕ −					cos2ϕ,
1	1	2					2
		2					2

или, если учесть, что

102 2

hA = a(e2 − 1)(− 1 ) = − e − 1, 2a 2

тогда

ξ′′

+ ξ

= 2 +

e2 − 4e cos ϕ −

cos2ϕ.

(4.92)

Решение этого уравнения дается формулой

ξ = 2 +

e2 − 2eϕ sin ϕ +

cos2ϕ.

(4.93)

В соответствии с принятым разложением записываем

приведенную орбитальную функцию:

e2 − 2eϕ sin ϕ +

+ O (ε2 ).

ξ = 1 − e cos ϕ + ε 2

cos2ϕ

(4.94)

Из условия ξ′ = 0 найдем точку перигелия. Имеем

+ O (ε2 ).

ξ′ = e sin ϕ − 2eε sin ϕ + ϕ cos ϕ +

sin 2ϕ

(4.95)

Полагаем = + , где ~ . Тогда

ξ′(π + δ) = e sin(π + δ) −

− 2eε sin(π + δ) + (π + δ) cos(π + δ) +

sin 2(π + δ) + O (ε2 ) =

= −e sin δ +

2eε

sin δ + (π + δ) cos δ −

sin 2δ

+ O (ε2 ) =

= −eδ + 2eεπ + O (ε2 ) = 0.

Отсюда:

π l02

δ =

2πε =

(4.96)

(e2 − 1)a

– величина смещения перигелия по отношению к класси-

ческому перигелию = ;

= π + 2πε =

l02

= π +

(4.97)

(e2 − 1)a

c2 h2

– точка релятивистского перигелия.

103

Запишем явное выражение релятивистской траектории:

ξ0 + εξ1 + O

(ε2 )

(4.98)

−1

+ ε

+ O (ε2 )

− ε

+ O (ε2 ).

ξ0

ξ20

ξ0

Вносим сюда (4.88), (4.91), (4.93). Имеем:

−

h1 − e cos ϕ

			2 +		5	e2	− 2eϕ sin ϕ +	e	2	cos2ϕ		(4.99)

											1
	1	GM
				2			6
−											+ O	.
	c2 2	(e2 − 1)a
							(1 − e cos ϕ)2				c4

4.6. Движение почти по параболе

Парабола – это третья кривая второго порядка. Она определяется, как геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой. На рис. 4.3 изображена парабола с фокусом в точке (с, 0) и уравнением директрисы х = –с.

Рис. 4.3

104

Данное определение и рис. 4.3 позволяют сразу написать соотношение

2c − r = r cos(π − ϕ),

из которого вытекает уравнение параболы в полярных координатах r и :

r =	2c
r =	1 − cos ϕ .	(4.100)

Фокальный параметр, определяемый из уравнения (4.100) при значении угловой координаты /2, для параболы будет h = 2c .

Уравнения движения по параболе будут те же, что и уравнения движения по гиперболе, только с другим значением фокального параметра. Но это, как мы увидим, приведет к существенно отличному решению.

Итак, мы без каких-либо изменений и оговорок принимаем формулы от (4.52) до (4.57). Постоянную А выбираем из того же условия (4.58):

2	1				1
		− A	−			= 0.
		− A	−	r	2	= 0.
h r				r	2
	min			min

Но значение rmin здесь другое! А именно:
r = c =	h	.	(4.101)

min	2

Подстановка (4.101) в (4.58) дает значение А = 0! Соответственно уравнение движения (4.55) записывается теперь

так:

r2 +

h 1

= 2

−

+ O

(4.102)

h r c2 h2

3 r3

Отсюда

2 1

1 1 l02

h 1

= −

−

+ O

. (4.103)

3 r

h r r

c h

105

Разделяя переменные и выделяя разложение по малому параметру 1/с2, переписываем (4.103) так:

		l2 3r −			h
					h
	1					1		1	rdr
	1				3	1		1	rdr
1 −		0			3		+ O				= −l dt.	(4.104)
1 −							+ O				= −l dt.	(4.104)
	2c2 h2 2					r			2		0
	2c2 h2 2					r		c4	2
				r −1						r −1


			h						h

Интегрируем почленно обе части этого уравнения. Имеем

∫	rdr		− 1
∫	2	r −1		2c2
		r −1

l02

		3r −		h

∫			3
		2		32
			r −1

	h

dr + O 1

= −

l0t. (4.105)

Для вычисления этих интегралов удобно произвести замену переменной по формуле

z =

r −1,

dz =

dr.

(4.106)

Тогда

−1

∫z

2 dz + ∫z

2 dz

−

−1

−3

−

∫z

2 dz +

∫z

2 dz

+ O

= −l0t,

(4.107)

h2 1

−

z 2 (z + 3) −

−

+ O

= l (T − t),

где l0T – постоянная интегрирования.

Представим решение z(t) в виде разложения по малому параметру 1/с2:

z = z +	1	z + O	1		= z		+	1	z1	+ O	1		.
						1
				4								4		(4.108)
0	2 1				0		2		z0
	c		c					c			c

Вносим эту асимптотическую формулу в решение (4.107):

106

											h2			z				12 (z										+ 3) +
														z				12 (z										+ 3) +
												6		0									0
												6
	1	1		3	h2z							1								l2														7								1
+		z 2					1 +										−			0			9							−								+ O								= l	(T − t).
+	2	z 2					1 +										−						9							−								+ O						4		= l	(T − t).
	2	0	2			1						z								2													z											4		0
	6с		2									z								2													z									c
												0																						0
Отсюда, функции z0(t), z1(t) определяются рекуррентны-
ми равенствами																													l0
						z			1 2	(z				+ 3) = 6															l0						(T − t),												(4.109)
						z				(z				+ 3) = 6																					(T − t),												(4.109)
							0					0																	h2
																													h2
										z1 =					1 l2									9z								−7
																				0								0										.									(4.110)
															3 h2											z						+1						.									(4.110)
															3 h2											z						+1
																												0
Принимая для полярного радиуса аналогичное разло-
жение
																	1																1
									r = r0				+									r1 + O																		,							(4.111)
									r = r0				+						2			r1 + O																4		,							(4.111)
																		c															c
в соответствии с подстановкой (4.106), получим
						2r				1 2				r																						l
						0		−1									0				+		1							= 3							0			(T − t),							(4.112)
								−1													+		1							= 3						h2				(T − t),							(4.112)
						h								h																						h2
											r =					l2				9							−			8
																	0																		.												(4.113)
																																			.												(4.113)
												1					6 h														r0
																	6 h														r0
В нашем случае движения по параболе выражение ква-
драта скорости таково:
		v2 =			2GM					G2 M2																	1								h 1								1
									+											3												−									+ O					.	(4.114)
						r			+			c	2							3					r			2				−			3 r				3		+ O				4	.	(4.114)
						r						c													r										3 r								c

Внося сюда разложение (4.111), получим разложение квадрата скорости на классическую и релятивистскую составляющие:

v2 =	2GM		G2 M2		1		h 1		2		r	1
		+		3		−		−			1	+ O		, (4.115)
			2		2		3			2			4
	r0											c
			c		r0		3 r0		GM r0

107

или с учетом (4.113):

v2 =	2GM		7 G2 M2				h 1
		+							+ O		.	(4.116)
	r	+	3	2			r	3	+ O	4	.	(4.116)
	r		3		c		r		c
	0					0

Очевидно, что скорость принимает наибольшее значение при наименьшем значении координаты. Наименьшим значе-

нием координаты является фокусное расстояние rmin = cф = h

(поставлен индекс «ф» во избежание путаницы с обозначением скорости света). Внося это значение в выражение квадрата скорости, получим следующую ее максимально возможную величину:

v2 =	2GM		14 G2 M2			1			1
		+							+ O		.	(4.117)
	r	+	3	2			r	2	+ O	4	.	(4.117)
	r		3		c		r		c
	min						min

Таким образом, мы нашли неявную форму решения уравнения движения по параболической орбите, т.е. неявную зависимость полярного радиуса от времени. Эта зависимость выражена формулой (4.112), которая допускает обращение. Действительно, равенство (4.112) сводится к кубическому уравнению относительно r0 и оно разрешимо. Проделаем соответствующую процедуру.

Обозначим на время

x =	r0	+ 1,	τ =	3l0	(T − t).	(4.118)
				h2
	h

Вносим эти обозначения в уравнение (4.112). Тогда оно приобретает вид

(2x − 3) 2 x = τ.

Возводя обе части этого равенства в квадрат и перенося все члены в левую часть, приходим к кубическому уравнению относительно неизвестной х:

x3 −	3	x2 − τ2	= 0.	(4.119)

2		2

108

Решение общего кубического уравнения дается известными формулами Кардано. Полагая

x = y +	1	,	(4.120)

2

переходим от уравнения (4.119) к его приведенной форме:

		y3 + py + q = 0,										(4.121)
где
p = −			3	, q = −					1	− τ2 .		(4.122)
p = −			4	, q = −						− τ2 .		(4.122)
			4					4			2
Теперь вычисляем:
	p 3			q		2			τ2		2
Q =			+				=				(1 + τ	),
Q =			+				=	16			(1 + τ	),
	3			2				16
		Q =			τ		1 + τ2 ,
		Q =					1 + τ2 ,
			4

A = 3 − q + Q = 1 (τ + 1 + τ2 )23 ,

B = 3 − q − Q = 1 (τ − 1 + τ2 )23 .

По одной из формул Кардано вещественное решение будет таким:

	y = A + B.
Вспоминая подстановку (4.120), запишем
x = y + 12	= 12 (τ + 1 + τ2 )23 + 12 (τ − 1 + τ2 )23 + 12	. (4.123)

Отсюда, в соответствии с обозначением (4.118), записываем явную зависимость классической координаты от времени:

109

r				1			(τ + 1 + τ2 )					23	1		(τ − 1 + τ2 )							2	3		1
0	=												+											−		=
h	=				2								+	2										−	2	=
			1						l								l	2				2		3
=			1						l	(T − t)	+		1 +				l			(T − t)	2				+
									0									0			2
			2			3 h2									9 h4											(4.124)

	1							l								l	2					2	3		1
	1							l								l				2					1
								0								0				2
+		2 3 h2 (T − t) −										1 + 9 h4							(T − t)					− 2 .

Будем считать, что в начальный момент t = 0 точка весьма удалена от начала координат, откуда и начинает свое движение. Другими словами, полагаем, что

τ(0) = 3

T 1.

Тогда

r0 (0)

≈

(2τ(0))2

3 = 3

l02

2 h4

9 l2

r (0) ≈ 3

T2 .

(4.125)

2 h

Заметим еще, что если в решении (4.112) положить t = T, то получим

r (T) = c =	h	,	(4.126)

0	2

т.е. Т как раз и означает полное время движения из удаленной точки до точки минимума, которая находится в вершине параболы.

В нашем предположении удаленности начала движения постоянную Т можно связать и с начальной скоростью. Так как

v2 (0) ≈ 2GM , r0 (0)

то

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]