Основы релятивистской механики. Монография

№ 4520 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Н.Е. ЦАПЕНКО

ОСНОВЫ

РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

МЕХАНИКИ

Монография

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Глава 1. Уравнения движения в терминах функции Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1. Координатные преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Уравнения движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Движение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Потенциал Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Потенциал Гербера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Потенциал Эйнштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7. Более общая потенциальная функция . . . . . . . . . . . . 30 1.8. Классический лагранжиан с малым поправочным слагаемым . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.9. Лагранжиан Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10. Лагранжиан Робертсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 2. Проблемы в основаниях классической механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.1. Системы отсчета и законы Ньютона . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Преобразование Лоренца.

Алгебраический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3. Кинематические инварианты преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Преобразования Лоренца.

Электродинамический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5. Об основных причинах большого кризиса

в физике конца XIX – начала XX века . . . . . . . . . . . . . . . 64

Глава 3. Законы теории относительности вместо законов Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.1. Релятивистская орбита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Вычисление наблюдаемого угла смещения перигелия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3

Глава 4. Естественное обобщение законов классической механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

4.1. Релятивистское обобщение законов Ньютона . . . . . . 83 4.2. Уравнение движения в задаче двух тел . . . . . . . . . . . 86 4.3. Задача двух тел.

Релятивистская орбита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Движение почти по гиперболе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5. Движение почти по параболе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.6. Движение по прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Приложение 1.

Сводка используемых табличных интегралов . . . . . . . . . .128

Приложение 2.

Доказательство леммы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

Приложение 3.

О статье А. Эйнштейна 1915 г.

«Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности» . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

4

ВВЕДЕНИЕ

Мы должны быть благодарны Господу, что Он создал мир так, что все простое в нем – правда, а все сложное – ложь.

Григорий Сковорода

Монография посвящена разработанной автором новой механической релятивистской теории. Первый и главный практический результат этой теории – новая формула вычисления угла смещения планетных перигелиев – был опубликован еще 20 лет назад в виде короткого реферата с тремя основными формулами (см. [11]). Причиной, побудившей меня к работе над этой темой, явился давний интерес к работам А. Эйнштейна по теории относительности. Общая теория относительности (ОТО), по сути дела, есть релятивистская теория гравитации. Одним из следствий ее является известная формула углового смещения перигелия классической эллиптической орбиты:

где с – скорость света в вакууме; е, а – эксцентриситет и большая полуось классической эллиптической орбиты; М – масса Солнца; G – гравитационная постоянная.

Эта формула для планеты Меркурий дает результат, очень хорошо согласующийся с наблюдаемым, и поэтому считается одним из важнейших экспериментальных подтверждений ОТО.

Но каким образом получается этот результат? Формула (1) выражает угол между двумя соседними минимумами некой плоской кривой (релятивистской траектории). Вследствие длительных наблюдений было установлено, что за 100 земных лет большая полуось орбиты Меркурия, совершая 415 оборотов вокруг Солнца, отклоняется от перво-

5

начального направления (т.е. от начала отсчета) примерно на 42,6±1 угловые секунды. Подставляя в формулу (1) параметры орбиты Меркурия и умножая на 415, получим вековое смещение перигелия в 43,03 , что позволяет считать его совпадающим с фактически наблюдаемым.

Во-первых, корректно ли теоретическое значение угла умножать на наблюдаемые 415 оборотов? Безоговорочно ли в таком случае результат подтверждает теорию?

Во-вторых, в результате решения уравнений получается функция, описывающая релятивистскую орбиту, которая, в отличие от классического эллипса, незамкнутая и непериодическая. Что для такой орбиты означает понятие оборота? Движение от какой точки до какой принять за единицу оборота?

В-третьих, в ОТО не вычисляется время поворота планеты на угол . А, как без знания времени (или, что по сути то же, без вычисления угловой скорости) от величины угла между экстремумами стационарной кривой перейти к углу поворота за какой-либо временной промежуток, в частности за 100 земных лет?

В-четвертых, существенным обстоятельством является то, что формула (1) применима исключительно к криволинейным орбитам с явно выраженными минимумами и максимумами. В ней нельзя эксцентриситет e положить равным нулю. А разве не может быть движения по круговой орбите? Как раз почти по такой орбите двигается Венера. При этом релятивистские эффекты как следствие фундаментальных законов природы все равно имеют место. Как их в таком случае рассчитывать?

Таким образом, угловое смещение, даваемое формулой

(1) отражает релятивистский эффект в виде небольшого искажения формы классической орбиты, но оно не обязательно должно совпадать с угловым смещением полярного радиуса планеты за наперед известное время классического периода обращения.

6

Как же должна бы быть выведена формула для вычисления угла смещения перигелия, устраняющая поставленные выше вопросы?

Уравнение релятивистской орбиты, полученное тем или иным способом, всегда представимо в виде следующего асимптотического разложения:

Для нахождения наблюдаемого угла смещения перигелия нужно использовать другое условие. А именно, как известно, угловая скорость движения по орбите определяется формулой

где l(ϕ) означает величину кинетического момента вектора линейной скорости точки относительно начала координат. Причем l(ϕ) = l0 – постоянная величина при движении с центральным вектором ускорения, т.е. с вектором ускорения коллинеарным радиус-вектору во все время движения. Внося разложение (2) в уравнение (4) и разделяя в нем переменные, получим

7

Интегрируем левую часть этого уравнения от 0 до Т, а правую – от 0 до 2 + . Имеем

Это и есть как раз та формула, по которой нужно вычислять величину угла смещения большой полуоси эллипса за время классического периода обращения. Он и должен соответствовать наблюдаемому углу смещения перигелия планеты. В случае Меркурия для правильно вычисленной траектории r(ϕ) произведение 415 должно быть близко к наблюдаемому вековому смещению, т.е. близко к 43 . В том-то и дело, что релятивистские траектории r(ϕ) , выводимые из законов теории относительности, не отвечают этому требованию! В главе 3 показано, что в этом случае численное значение для Меркурия в 4 раза превышает реально наблюдаемое.

1 Здесь число 415 вычисляется, как отношение времени классического периода обращения вокруг Земли ко времени обращения вокруг Меркурия (см. формулу на стр. 71)

8

Развиваемая в книге теория строится вне рамок теории относительности и никак не соотносится ни с одной из так называемых альтернативных теорий гравитации. В ее основание положены новое определение силы инерции и новое определение силы гравитационного взаимодействия. С опорой на эти определения выведена релятивистская траектория r(ϕ) движения планеты, которая, будучи подставленной в формулу (7), дает правильное значение векового смещения перигелия Меркурия!

Москва февраль 2024 г.

Н.Е. Цапенко

9

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА

1.1. Координатные преобразования

Движение геометрической точки в n-мерном векторном пространстве описывается набором из n функций времени

называемых ее координатами. Это же движение в другой системе координат описывается другим координатным набором:

Функции этого набора будем называть обобщенными координатами.

Координаты (1.1) и обобщенные координаты (1.2) должны быть связаны взаимно однозначным преобразованием, а именно:

Компоненты скоростей и обобщенных скоростей преобразуются друг в друга так:

Коэффициенты преобразований (1.5) образуют квадратную матрицу

10