Основы релятивистской механики. Монография

Поэтому выражение для угла приводится к виду

Наверное, здесь не лишне напомнить, что малый пара-

метр , как и повсюду выше, равен k .

2hc2

1.10.Лагранжиан Робертсона

Визвестном курсе Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица «Теория поля» в главе «Поле тяготеющих тел» приведена функция Лагранжа системы двух гравитирующих тел с произвольными массами. Вот эта функция, названная в книге лагранжианом Робертсона:

и выражение (1.154) приводится к виду

41

ние (1.155) в виде, аналогичном шварцшильдовскому лагранжиану:

Далее повторяем один к одному текст, следующий за формулой (1.138) предыдущего пункта:

Так же, как и в предыдущем пункте, представляем поправочный лагранжиан (1.156) в виде разложения по степеням :

k

42

Вносим (1.159), (1.160) в уравнение (1.133). Имеем

Как и во всех предыдущих уравнениях, вводим безразмерную орбитальную функцию = h и, кроме того, облегчающие запись следующие постоянные:

Опять представляем решение в виде

и теми же приемами отыскиваем первые две итерации:

или с учетом значений введенных постоянных:

Условие ξ′ = 0 снова приводит нас к тому же углу между двумя соседними перигелиями, т.е. к углу

δ = 12πε = 6πk . hc2

Найдем теперь угол поворота большой полуоси классического эллипса за время целого классического периода. При этом, очевидно, достаточно воспользоваться выведенным в предыдущем пункте уравнением (1.148), но с другим поправочным лагранжианом L1. По формуле (1.156) вычисляем

43

Вносим (1.166) в уравнение (1.148) и после интегрирования его по t от 0 до Т, а по – от 0 до 2 + получим формулу, сходную с формулой (1.151). А именно:

Однако здесь первая итерация 1 отличается от итерации (1.105) и дается формулой (1.165). Вносим ее в (1.167) и вычисляем соответствующие интегралы:

Подставляя эти значения в формулу (1.167), имеем окончательный вид дополнительного угла поворота большой полуоси эллипса за время классического периода об-

44

ращения, как результат движения согласно лагранжиану Робертсона:

45

ГЛАВА 2. ПРОБЛЕМЫ В ОСНОВАНИЯХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

2.1. Системы отсчета и законы Ньютона

Повседневный и весь исторический опыт убеждает, что протяженность окружающего нас пространства поддается измерению тремя числовыми координатами, а для измерения длительности происходящих в нем процессов требуется еще одна координата, отсчитывающая время. Таким образом, геометрия нашего пространства-времени четырехмерная. Кроме того, тот же опыт позволяет считать его однородным и изотропным, что означает невыделяемость

вгеометрическом смысле ни, какой-либо области, ни како- го-либо направления. В таком пространстве можно ввести бесконечно много ничем не отличимых друг от друга систем отсчета. Их называют инерциальными. Координаты любых двух инерциальных систем отсчета связаны между собой определенного вида линейными преобразованиями. О выводе общего вида этих преобразований речь пойдет в следующем пункте, а здесь укажем преобразования, послужившие началом для основных количественных законов классической механики. Это преобразования, введенные в науку

в1632 г. великим итальянцем Галилео Галилеем. Вот они:

где V – постоянная, означающая скорость движения осей Ox и Ox′ друг относительно друга.

Эти преобразования настолько просты и естественны, что тогда, в XVII веке, невозможно было не признать их единственно допустимыми.

Преобразования (2.1) были положены Галилеем в основу его принципа относительности, утверждающего независимость описания любого механического движения от выбора той или иной инерциальной системы отсчета. Другими

46

словами, классическая механика признает верными только те законы движения, которые записаны в инвариантной форме по отношению к преобразованиям Галилея. Именно таким является второй закон Ньютона, представленный в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (Лондон, 1687 г.) вместе с другими основополагающими принципами классической механики. Вот эти принципы.

Первый закон Ньютона: тело, на которое не действуют никакие силы, сохраняет состояние равномерного и прямолинейного движения относительно любой инерциальной системы отсчета. Возможна и другая формулировка этого закона, подчеркивающая однородность и изотропность пространства-времени. А, именно: существуют системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых свободное тело (т.е. тело, на которое не действуют силы) сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения.

Второй закон Ньютона: сила, приложенная к материальной точке, пропорциональна сообщенному точке ускорению.

Современная математическая форма записи этого закона такова:

Здесь коэффициент пропорциональности m называется инертной массой материальной точки. Он служит как бы мерой сопротивления точки, приложенной к ней силе.

Третий закон Ньютона гласит: две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти две точки.

Закон всемирного тяготения – еще один великий закон классической механики, принадлежащий Исааку Ньютону: величина силы, с которой притягиваются две точечные массы, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

47

В векторной форме этот закон может быть записан так:

где G = 6,672·10–11 Н·м2/кг2 – найденная экспериментально гравитационная постоянная вакуума; m1 и m2 – гравитационные массы взаимодействующих материальных точек. Причем если вектор силы F считать приложенным к точке m1, то и вектор r нужно полагать направленным от точки m2 к точке m1.

Кроме того, имеет место важный экспериментальный результат, получивший название принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс – массы, фигурирующие в формулах (2.2) и (2.3) и относящиеся к одной и той же точке, равны. Иными словами, инертная и гравитационная массы тел представляют собой одну и ту же количественную характеристику материи.

Применяя все сформулированные выше законы классической механики к задаче о движении двух изолированных гравитационно-связанных материальных точек, нетрудно вывести следующее уравнение:

Это векторное уравнение, очевидно, описывает плоское движение. Расписав его по координатам относительно полярной системы координат, мы придем к уравнениям (1.50), (1.51)

(пункт 1.3) с ньютоновым потенциалом Φ = −G m1 + m2 . В пун- r

кте 1.4 для такого потенциала было получено решение в виде движения по классической эллиптической орбите (см. рис. 1.1).

2.2. Преобразование Лоренца. Алгебраический вывод

Итак, наше четырехмерное пространство-время однородно и изотропно, что означает измеримость его инерциальными

48

системами отсчета. Найдем теперь общие преобразования координат точки при переходе от одной инерциальной системы к другой и покажем, что эти преобразования отнюдь не исчерпываются формулами Галилея (2.1). В силу возможности произвольной ориентации трех пространственных осей нам достаточно рассмотреть двумерные преобразования.

Пусть x1, x2 – координаты некоторой точки в одной си-

стеме отсчета, а x′, x′ – координаты той же точки в другой

1 2

системе отсчета. Тогда эти координаты должны быть связаны системой линейных преобразований. Записываем общий вид этих преобразований с неопределенными пока коэффициентами:

Постоянство коэффициентов в этих преобразованиях отражает однородность пространства. Свойство изотропности пространства характеризуется тем, что коэффициенты преобразований, обратных к (2.5), должны отличаться от коэффициентов , , , лишь знаками у разноименных координат. Так как обратные преобразования осуществляются по формулам

Еще одно соотношение, связывающее коэффициенты преобразований (2.5), можно вывести из следующего рассуждения.

Зафиксируем третью систему отсчета, относительно которой координаты той же точки пространства будем помечать двумя штрихами. Тогда

49

причем для коэффициентов со штрихами должны выполняться те же условия:

α′ = δ′, ′ = α′2 − β′γ′ = 1.

Внося (2.5) в (2.8), получим преобразования

Откуда в силу равноправности всех систем отсчета имеем

γβ′ = βγ′,

или,

Здесь следует признать универсальной постоянной для данного типа пространства.

Таким образом, преобразования (2.5) приобретают вид

причем коэффициенты и связаны равенством

Поэтому в формулах (2.11) лишь один коэффициент произволен. Он определяет взаимное расположение соответствующих систем отсчета.

Прямым вычислением легко убедиться, что выражение

не зависит от выбора системы отсчета, т.е. является инвариантом преобразований (2.11).

В зависимости от знака, который имеет универсальная постоянная , нужно различить два типа пространств.

50