Основы релятивистской механики. Монография

Из определения (П2.1) функции Tn+1 находим

Сложение левых и правых частей равенств (П2.4), (П2.5) дает

Отсюда, учитывая формулу (П2.3) приходим к искомому выражению

которое и доказывает утверждение леммы Эйлера.

131

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

ОСТАТЬЕ А. ЭЙНШТЕЙНА 1915 г. «ОБЪЯСНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ»

Параграф 2 «Движение планет» начинается так: «Уравнения движения материальной точки в поле тяже-

сти, вытекающие из общей теории относительности, имеют вид

Из этих уравнений прежде всего следует, что в качестве первого приближения они содержат уравнения движения Ньютона.

................................................................................

Тогда первые три уравнения будут в точности ньютоновскими. Если ввести в плоскости орбиты полярные координаты r, ϕ , то сохранение энергии и момента количества движе-

где А и В – постоянные законов сохранения энергии и момента количества движения; здесь, кроме того, использованы сокращенные обозначения

Φ = − α ,

2r

u2 = dr2 + r2dϕ2 .

(8a)»

ds2

(конец цитаты).

132

Чтобы эти эйнштейновские формулы приняли совсем привычный вид классических законов сохранения, в них надо положить

где с – скорость света в вакууме. Тогда формулы (8), (8а) записываются так

Φ0 = − GM , r

v2 = dr2 + r2dϕ2 .

(8а)*

dt2

Здесь постоянные E, l связаны с постоянными А, В равенствами

Далее Эйнштейн решает уравнения (7) с точностью до величин более высокого порядка малости и в результате приходит к следующему уравнению движения материальной точки:

Оговоримся здесь, что формула (7б) взята из оригинального немецкого издания работы Эйнштейна 1915 г. [22]. Русский перевод этой работы, представленный в академическом четырехтомнике 1965 г. [16], дает эту ключевую формулу с грубой опечаткой (!?), полностью исказившей ее содержание. Вот как она там напечатана:

133

и без нумерации.

После вывода уравнений движения в форме (7б) Эйнштейн с помощью равенств (8) и замен переменных преобразует эти уравнения к виду

Оговоримся еще раз, что в последней записи потенциала Ф допущена опечатка как в оригинальном немецком издании, так и в перепечатанном русском переводе. Именно пропущен множитель 1/r. Очевидно, что потенциал не может

Уравнения (7б) вполне определены и разрешимы без привлечения классических законов сохранения (8), (8а). Причем они допускают вывод не только угла смещения перигелия, но и вывод явного уравнения релятивистской орбиты (т.е. явной зависимости полярного радиуса от угловой координаты), чего в статье Эйнштейна не сделано. Покажем, как осуществить эту процедуру.

Прежде всего отмечаем, что из уравнений (7б) следует центральность вектора ускорения (коллинеарность его ради- ус-вектору). Поэтому имеет место тот же закон сохранения количества движения (вторая формула (8)). Соответственно из представления квадрата скорости в полярных координатах (вторая формула (8а)) имеем

134

С учетом этого равенства уравнения (7б) принимают вид

Умножаем обе части последнего уравнения на компоненту

скорости uν = dxν и суммируем его по индексу . Получаем ds

в экспоненте необходимо удержать только члены до порядка α3λ 3 включительно. Тогда выражение (10) запишется так:

135

этому без потери членов второго порядка малости они могут быть опущены. Тогда имеем

136

В статье Эйнштейна это уравнение записано так:

Здесь использована другая буква: x = λ = 1r . И говорится:

«Это уравнение отличается от соответствующего уравнения теории Ньютона только последним членом в правой части».

Видим, что эйнштейновское уравнение траектории (11) отличается от выведенного нами из эйнштейновского же уравнения движения (7б) видом константы при первой сте-

пени переменной x = λ = 1r . Однако путем переобозначения

постоянных они переходят одно в другое.

Чтобы решить уравнение (11), проще всего от него перейти к квазилинейному уравнению второго порядка. Дифференцируя обе части уравнения (11) по переменной , получим

Постоянная h выполняет роль фокального параметра классической эллиптической орбиты. Вводя еще переменную ξ = hλ , записываем уравнение (12а) в безразмерной форме:

Ищем решение в виде разложения по малому параметру:

ξ = ξ0 + εξ1 + O(ε2 ).

137

Внося это представление в уравнение (12б) и приравнивая члены при одинаковых степенях , найдем

где е – новая произвольная постоянная, имеющая смысл эксцентриситета классической эллиптической орбиты.

Пусть первый перигелий приходится на точку ϕ = 0 . Ищем следующий перигелий через оборот в 2 радиан смещенным на угол порядка :

Фокальный параметр выражается через большую полуось и эксцентриситет эллипса так: h = a(1 − e2 ). Поэтому формулу (15а) обычно записывают в виде

138

Для наглядности выпишем явное выражение зависимости полярного радиуса от угловой координаты (т.е. уравнение орбиты). Переписываем функцию (13) так:

Посмотрим теперь на эйнштейновские уравнения движения (7б) с точки зрения описания прямолинейного движения. Другими словами, рассмотрим случай падения материальной точки на точечную массу М, создающую гра-

витационное поле. В этом случае u = dr и мы вместо трех ds

уравнений (7б) имеем только одно уравнение движения. А именно:

139

Так как

du = du dr = u du = 1 du2 , ds dr ds dr 2 dr

то мы приходим к линейному уравнению относительно квадрата скорости, которое в точности совпадает с уравнением (9), если в последним положить В = 0. То есть

Его решение, очевидно, записывается так:

r

Положим s = ct и перейдем от безразмерного времени к обычному:

Далее правую часть этого уравнения можно разложить

по степеням 1 и строить различные приближения к точной r

зависимости r(t) . Но вот при малых r ( r → 0 ), как следует из последней формулы, релятивистский член уничтожается. Однако в этой области сильного гравитационного поля исходные уравнения (7б), по-видимому, не применимы вообще. Какими тогда должны быть исходные уравнения движения вместо уравнений (7б), пригодные вблизи точечной массы, создающей гравитационное поле? Каким должен быть тензор Гστν в уравнениях движения материальной точки (7), вытекающих из общей теории относительности, чтобы их можно было считать точными во всем пространстве

140