Основы релятивистской механики. Монография

1.Если < 0 и координаты х1 и х2 имеют одинаковые размерности и равные масштабные единицы измерения, то следует положить = –1, и мы приходим к привычному евкли-

довому пространству. В самом деле, ничто не препятствует задать коэффициенты и так:

α= cosϕ, γ = − sin ϕ

иинтерпретировать преобразования (2.11) как поворот осей прямоугольной системы координат на угол против часовой

стрелки.

2.Если = с2 > 0, то мы имеем так называемое псевдоевклидово пространство (или, по другой терминологии, про-

странство Минковского), в котором принято считать х1 = х обычной пространственной координатой, измеряемой в ме-

трах, а х2 = t – временноYй координатой, измеряемой в секундах.

Вводя в преобразования (2.11) новый постоянный параметр V по формуле

получим стандартную форму записи преобразований Лоренца. А именно:

Параметр V и универсальная постоянная с имеют размерность [м/с], т.е. размерность скорости. При этом очевидно, что параметр V представляет собой величину скорости движения пространственных осей Ох и О х относительно друг

51

друга. Для любых двух систем отсчета величина этой скорости должна оставаться меньшей, чем с! Следовательно, универсальная постоянная с имеет смысл предельно большой скорости. Придать ей какой-либо физический смысл приведенные здесь алгебраические выкладки, конечно, не могут. Однако, привлекая известные электродинамические рассуждения, которые помещены в пункт 2.4, ее естественно отождествить со скоростью распространения электромагнитных волн в вакууме.

Преобразования (2.15) были впервые представлены в начале XX века голландским физиком и математиком Хендриком Антоном Лоренцом. Они, по сути дела, являются обобщением преобразований Галилея, так как последние получаются из них вследствие предельного перехода c → ∞.

2.3.Кинематические инварианты преобразований Лоренца

Рассмотрим кинематику движения материальной точки в трехмерном евклидовом пространстве, определяемого зависимостью ее радиус-вектора r от времени t . Пусть это движение отнесено к прямоугольной системе координат Oxyz . Имеем

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ,

тогда:

v(t) = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

– скорость точки;

a(t) = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

– ускорение точки.

Найдем инварианты этого движения при переходе посредством преобразований Лоренца к другой системе отсчета.

Преобразования Лоренца (2.15) могут быть записаны в матричном виде так:

52

где дается той же формулой (2.16).

Введем для матрицы Лоренца и четыре-векторов следующие обозначения:

Теперь в принятых обозначениях матричное равенство (2.17) приобретает компактную символическую форму записи:

Прямым вычислением легко устанавливается равенство c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = c2t2 − x2 − y2 − z2,

53

говорящее о том, что выражение

s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2

есть инвариант преобразований Лоренца. Этот инвариант называется квадратом длины четыре-вектора s, а корень

s = c2t2 − x2 − y2 − z2

– длиной четыре-вектора s.

Элементы матрицы Лоренца постоянны, а четыре-векто- ры при движении точки в трехмерном пространстве являются функциями времени. Причем каждый вектор – функция своего времени, именно s = s(t), s′ = s′(t′). Соответственно, дифференцируя равенство (2.21), запишем

называется квадратом интервала. Запишем его через квадрат скорости точки:

Далее удобно ввести в рассмотрение инвариант

называемый дифференциалом собственного времени точки, скользящей по трехмерной траектории.

Поделив обе части равенства (2.22) на d , получим преобразование производной:

54

Еще раз дифференцируя обе части последнего равенства по , получим преобразование второй производной:

(то, что в предыдущем пункте мы временно уже использовали букву , вкладывая в нее другой смысл, не должно вызывать недоразумения).

Тогда

55

Выразим инвариант (2.33) через скорость и ускорение точки в явном виде:

Внося эти последние два равенства в квадрат четыреускорения (2.33), получим для этого инварианта следующие представление:

56

Эта-то форма инварианта квадрата 4-ускорения и сыграет принципиальную роль при написании нами в главе 4 законов релятивистской механики!

2.4. Преобразования Лоренца. Электродинамический вывод

Изучаемые в электродинамике электромагнитные явления описываются определенного вида силовыми векторными полями. Векторы напряженностей этих полей связаны системой дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла. В случае свободного пространства эта система записывается так:

где ε0 = 10−9 36π = 8,854 · 10–12 Ф/м, 0 = 4p · 10–7 = = 1,257 · 10–6 Г/м – размерные постоянные, найденные экспериментально и называемые соответственно электрической и магнитной проницаемостями вакуума.

Выпишем уравнения (2.37), (2.38) в прямоугольной системе координат:

57

Перейдем в этих уравнениях с помощью общего линейно-

го преобразования

x′ = αx + βt, y′ = y, z′ = z,

t′ = γx + δt (2.40)

от системы отсчета (x, y, z, t) к новой системе отсчета (x , y , z , t ) и определим постоянные коэффициенты , , , , исходя из требования инвариантности уравнений Максвелла этим преобразованиям.

Частные производные преобразуются по правилам

58

Отсюда для коэффициентов преобразования необходимо следуют такие два равенства:

пространстве.

Выразим с помощью обратного преобразования первоначальные компоненты электромагнитного поля через его новые компоненты:

где = α2 − c2 γ2 .

59

Для того чтобы получить в переменных со штрихами систему уравнений, в точности по виду совпадающую с исходной системой Максвелла, нужно еще положить

Учитывая вышеприведенные соотношения, нетрудно получить формулы преобразования дивергенций при переходе от новых координат к старым. Они выглядят так: