Основы релятивистской механики. Монография

известную как матрица Якоби. Невырожденность этой матрицы обеспечивает взаимную однозначность преобразований (1.3), (1.4). При этом определитель матрицы Якоби служит коэффициентом искажения элементарных объемов, выраженных через координаты {xi} и обобщенные координаты {qi}, т.е.

Преобразования (1.5) позволяют записать такие тождества:

Нетрудно также убедиться, что полная производная по времени может быть внесена под знак частной производной по координате. Действительно:

Два тождества – (1.9) и (1.10) помогут нам составить еще одну важную систему тождеств с участием вторых производ-

11

ных от координат по времени, т.е. с участием компонент ускорения. А именно рассмотрим полную производную

Напомним, что здесь индексы i и j пробегают значения от 1 до n. Суммирование равенств (1.11) по индексу i дает

Заимствуя термин из механики, назовем функцию Т кинетической энергией.

Чтобы кинетическую энергию выразить в обобщенных координатах и скоростях, нужно равенства (1.5) подставить в выражение (1.13). Тогда получим

12

Таким образом, равенства (1.12) представляют собой выражения компонент вектора ускорения, преобразованные транспонированной матрицей Якоби.

Возьмем теперь произвольную дважды дифференцируемую функцию координат и скоростей:

образуем из нее вектор с компонентами

и посмотрим, как преобразуются его компоненты при преобразовании координат согласно формулам (1.4). Имеем

13

1.2. Уравнения движения

Пусть координаты точки, движущейся в n-мерном векторном пространстве, подчиняются системе из n дифференциальных уравнений второго порядка:

В механике такая ситуация интерпретируется как движение системы с n степенями свободы в силовом поле с компонентами

При этом весьма часто встречаются системы, в которых компоненты силового поля представимы в виде формул (1.17). Тогда функция Φ(x1,x2 ,...xn,x1,x2 ,...xn ) называется потенциалом силового поля {f1,f2,...,fn }. Соответственно си-

известную как функция Лагранжа, приводим уравнения движения к следующей стандартной форме записи:

Благодаря формулам преобразований (1.18) эта система

вобобщенных координатах qj(j = 1, 2, …, n) предстает точно

втаком же виде:

14

Итак, мы пришли к инвариантной (неизменной по отношению к любым координатным преобразованиям) форме записи системы из n дифференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения, т.е. уравнения, записанные в форме (1.26), называются уравнениями движения Лагранжа.

Система уравнений Лагранжа (1.26) допускает сразу, в общем случае, вывод одного из ее первых интегралов. Записываем полную производную функции Лагранжа по времени:

Отсюда, очевидно, следует

называется функцией Гамильтона.

Внесем в (1.29) выражение (1.24), определяющее функцию Лагранжа:

15

Исходя из представления кинетической энергии (1.14), можно показать, что имеет место равенство

выражающее так называемую лемму Эйлера (см. вывод, приложение 2). Поэтому функция Гамильтона может быть записана так:

Тогда первый интеграл (1.28), который принято называть интегралом энергии, приобретает вид

Системы, в которых потенциал Ф не зависит от скоростей, называются консервативными. В этом случае равенство (1.32) уменьшается на одно слагаемое, и оно становится таким:

В физике это соотношение известно как закон сохранения энергии.

Нужно еще сказать, что функция Гамильтона позволяет вполне очевидным способом перейти от системы из n дифференциальных уравнений второго порядка, которой является система уравнений Лагранжа, к эквивалентной ей системе из 2n дифференциальных уравнений первого порядка.

Этот переход осуществляется следующим образом. Определим с помощью равенств

n новых неизвестных функций времени – так называемых обобщенных импульсов. Тогда, согласно определению (1.29), функция Гамильтона записывается так:

16

Но из системы уравнений Лагранжа следует, что

∂L = d ∂L = pj ,

∂qj dt ∂qj

и мы приходим к системе, известной как система уравнений движения Гамильтона:

1.3.Движение в трехмерном пространстве

Вкачестве обобщенных координат принимаем сферические координаты – полярный радиус, угловую широту и долготу. То есть полагаем

Через них прямоугольные координаты выражаются так:

Рассмотрим сначала наиболее очевидный и часто встречающийся случай, когда в функции Лагранжа L=Т – Ф кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости,

17

а потенциальная энергия не зависит от угловых координат и угловых скоростей. Такой потенциал называют радиальным. Итак, пусть

и соответственно уравнения (1.38)–(1.40) в данном случае предстают в виде

Видим, что эти уравнения могут описывать два характерных движения – движение по прямой, соответствующее нулевому значению угловой долготы = 0, и плоское движе-

ние, соответствующее значению = π . В первом случае оста-

18

Во втором случае имеем два уравнения:

На них и остановимся.

Из уравнения (1.51) получаем еще один первый интеграл

выражающий закон сохранения момента вектора скорости. Внося (1.52) в уравнение (1.50), получим уравнение,

определяющее движение полярного радиуса по плоскости

Здесь можно напомнить, что правая часть в этом уравнении с механической точки зрения интерпретируется как величина центральной силы.

Первый интеграл (1.52) предоставляет нам правило перехода от дифференцирования по времени к дифференцированию по угловой координате, которое выглядит как

d = l d . Согласно этому правилу переходим от уравнения dt r2 dϕ

движения (1.53) к уравнению его траектории:

где штрихами обозначено дифференцирование по угловой координате .

В уравнении (1.54) удобно применить замену

19

Далее рассмотрим движения, производимые различными радиальными потенциальными функциями.

1.4. Потенциал Ньютона

Это самый известный и самый простой потенциал. Он имеет вид

Решением этого уравнения является одна из трех кривых второго порядка. В случае эллипса (рис. 1.1) в полярной системе координат решение записывается так:

Мы выбрали решение с одной постоянной интегрирования е (0 < e < 1), выполняющей роль эксцентриситета, так, чтобы полярная ось была совмещена с большой полуосью эл-

20