Основы релятивистской механики. Монография

приводим уравнения в переменных со штрихами к стандартной форме записи максвелловской системы для свободного пространства, а именно:

Произвольный параметр V имеет смысл относительной скорости движения систем отсчета.

Таким образом, преобразования пространственных координат и времени, относительно которых система уравнений Максвелла оказалась инвариантной, таковы:

61

Это как раз и есть те самые преобразования Лоренца, выведенные нами в пункте 2.2 путем только алгебраических рассуждений.

Обратим внимание, что х-компонента объемной плотности тока и объемная плотность заряда преобразуются точно так же, как х-координата и время. При этом выражения

образуют инварианты преобразований Лоренца. И еще, следствием систем уравнений Максвелла (2.37)–(2.39) и (2.47)– (2.49) являются так называемые уравнения непрерывности линий плотности электрического тока:

которые, соответственно, тоже являются инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Формулы преобразования компонент электромагнитного поля, с учетом выведенных коэффициентов, записываются так:

Нетрудно убедиться, что эти преобразования имеют следующие два инварианта:

62

Таким образом, скалярное произведение электрического и магнитного полей есть инвариант преобразований Лоренца. А вот их векторное произведение, т.е. вектор Пойнтинга, инвариантом не является. Посмотрим, как преобразуются его компоненты.

Имеем

Пx = Ey Hz − Ez Hy ,

Пy = Ez Hx − Ex Hz ,

Пz = Ex Hy − Ey Hx .

Внося в эти равенства формулы преобразования (2.58) – (2.62), получим

Эти формулы в комбинации с формулами (2.58) – (2.62) могут быть преобразованы к следующим симметричным соотношениям:

63

Принимая во внимание то, что выражения ε0E2 2 и μ0H2 2 представляют собой плотности энергии соответственно электрического и магнитного полей, возможно, последние соотношения и допускают некую физическую интерпретацию. Но какую? Ответ на этот вопрос совсем не очевиден, и лучше его пока оставить открытым.

2.5. Об основных причинах большого кризиса в физике конца XIX – начала XX века

К концу XIX столетия окончательно установился взгляд на электромагнитные и световые процессы в вакууме как на явления, описываемые системой уравнений Максвелла. Раздел физики, изучающий эти процессы, стал называться электродинамикой. Тот факт, что уравнения Максвелла не инвариантны преобразованиям Галилея, породил сомнения в их соответствии принципу относительности. Тем не менее опытные данные не позволяли сомневаться в их достоверности. Но и отказать в правомочности принципу относительности тоже было нельзя. Невозможность распространить принцип относительности, каким он виделся в классической механике, на электродинамику и была одной из причин большого кризиса физики конца XIX – начала XX века.

Путь преодоления кризиса был намечен в теории, получившей впоследствии название специальной теории относительности (СТО). Поскольку система уравнений Максвелла инвариантна преобразованиям Лоренца, то принцип относительности остается незыблемым, если требовать от уравнений, описывающих любые движения как механические, так и электродинамические, инвариантности, не преобразованиям Галилея, а преобразованиям Лоренца! Воплощая эту идею, А. Эйнштейн в работе 1907 г. «О принципе относительности и его следствиях» выдвигает релятивистский закон движения, призванный заменить второй закон Ньютона (2.2). В векторной форме этот закон записывается так:

64

dt

инерциальной системы отсчета.

В своей работе Эйнштейн выводит силу (2.71), исходя из уравнений движения медленного электрона, для которого, как он допускает, справедлив второй закон Ньютона. Затем с помощью преобразований Лоренца записывает эти уравнения в новой подвижной инерциальной системе отсчета и говорит, что они эквивалентны выражению (2.71). Вообще говоря, все, что в эйнштейновской работе предшествовало записи формулы (2.71), трудно назвать выводом в буквальном понимании этого слова. Ведь если признается ограниченность действия второго закона Ньютона, то, очевидно, что никакими координатными преобразованиями из него невозможно получить точный новый закон движения! Поэтому лучше смотреть на релятивистский закон (2.71), как на нечто, данное по определению. И сам Эйнштейн сразу же так о нем и пишет: «Вектор K мы назовем силой, действующей на материальную точку. В случае когда величина v2 мала по сравнению с c2 , вектор K в соответствии с уравнением (2.71) переходит в вектор силы механики Ньютона. В следующих параграфах будет показано, что этот вектор и в других случаях играет такую же роль в релятивистской механике, какую сила – в классической механике.

Мы будем считать, что уравнение (2.71) справедливо и в том случае, когда сила, действующая на материальную точку, имеет неэлектромагнитную природу. В этом случае уравнение (2.71) не имеет физического смысла и его следует рассматривать как определение силы».

Спустя три года он еще раз подтверждает это же положение: «...уравнение (2.71) следует рассматривать как наиболее общее уравнение движения материальной точки –

65

уравнение, совместимое с принятыми здесь принципами и не зависящее от природы силы К».

Толкование смысла и значения закона (2.71) с тех пор не изменилось и остается точно таким же и в настоящее время. Очевидно, что слова «совместимое с принятыми здесь принципами» надо понимать, как совместимое с принципом относительности! Но каким образом оно совместимо с принципом относительности? Ведь величина силы К в общем случае не есть инвариант преобразований Лоренца! Только

вчастном случае прямолинейного движения сила К становится инвариантом. Когда же направления векторов скорости и ускорения не совпадают, никакой инвариантности нет, что доказывается непосредственными вычислениями. А это означает следующее. Наблюдатель, мчащийся в экспрессе Эйнштейна и принимающий вектор К за реальную силу, принуждающую материальную точку к ускоренному движению, мог бы придумать эксперимент, как измерить скорость экспресса относительно неподвижной платформы, без помощи спидометра и при плотно зашторенных окнах вагона. Однако принцип относительности такую возможность исключает. В этом вся его суть!

Ксказанному здесь следует еще добавить, что справедливость релятивистской формы записи силы, представленной

вСТО, с самого начала вызывала большие сомнения в связи с результатами экспериментов, полученных немецким физиком В. Кауфманом. Он в 1902 г. впервые обнаружил зависимость массы электрона от его скорости (понимая под массой коэффициент во втором законе Ньютона). Опыты Кауфмана вполне убедительно показали ограниченность действия второго закона Ньютона, во всяком случае в приложении к движению электрона. Однако при этом они все-таки не смогли подтвердить достоверность эйнштейновского релятивистского закона (2.71). Вот что об этом говорится в той же работе 1907 г., в §10, названном «О возможности экспериментальной проверки теории движения материальной точки. Опыты Кауфмана»: «Принимая во внимание трудность исследова-

66

ния, такое согласие (имеется в виду вычисленных значений

иэкспериментальных) можно считать удовлетворительным. Однако наблюдаемые отклонения являются систематическими и значительно превосходят экспериментальные ошибки измерений Кауфмана. Тот факт, что вычисления Кауфмана не содержат ошибок, следует из того, что Планк, применяя другой метод вычислений, получил результаты, полностью согласующиеся с результатами Кауфмана.

Вопрос о том, являются ли причинами систематических отклонений еще не учтенные источники ошибок или несоответствие основ теории относительности экспериментальным фактам, можно с уверенностью решить лишь тогда, когда будут получены более разнообразные экспериментальные данные.

Необходимо еще отметить, что теории движения электронов Абрагама и Бухерера дают кривые, согласующиеся с экспериментальной кривой значительно лучше, чем кривая, соответствующая теории относительности. Однако, по нашему мнению, эти теории вряд ли достоверны, поскольку их основные предположения о массе движущегося электрона не вытекают из теоретической системы, охватывающей более широкий круг явлений».

Авот что по поводу специального принципа относительности писал в 1906 г. Макс Планк в своей статье «Принцип относительности и основные уравнения механики»: «“Принцип относительности”, введенный недавно Г. А. Лоренцем

ив более общей формулировке А. Эйнштейном, утверждает, что две системы отсчета ( x, y, z,t ) и ( x′, y′, z′,t′ ), взаимосвя-

занные соотношениями (преобразования Лоренца), совершенно равноправны по отношению к основным уравнениям механики и электродинамики, и ни одна из них, следовательно, не может считаться “покоящейся”. Этот принцип, если он вообще оправдает себя, принесет с собой такое великолепное упрощение всех проблем электродинамики движущихся тел, что он вполне заслуженно ставится на первый план любого теоретического исследования в этой области.

67

Правда, благодаря новейшим важным измерениям В. Кауфмана вопрос кажется уже решенным, и причем именно

вотрицательном смысле, так что всякое дальнейшее исследование, казалось бы, излишним. Но, принимая во внимание не очень простую теорию этих опытов, я не могу исключить, что при более детальной разработке принцип относительности окажется совместимым с наблюдениями. Я не склонен также придавать решающее значение тому возражению, что согласно принципу относительности, движущийся электрон подвергался бы особой работе деформации, так как можно вычислить эту работу через кинетическую энергию электрона. Правда, остается открытым вопрос об электродинамическом толковании инерции, но, с другой стороны, возникает то преимущество, что для получения определенной зависимости инерции от скорости, электрону не надо приписывать ни шарообразную, ни вообще какую-либо определенную форму.

Впрочем, как бы то ни было, столь простая и общая физическая идея, как содержащаяся в принципе относительности, заслуживает того, чтобы ее проверили не только однимединственным образом, и если принцип неверен, то это надо доказать доведением до абсурда; самым лучшим способом является отыскание тех следствий, к которым он ведет. Исходя из этой точки зрения, можно по крайней мере считать, что нижеследующее исследование представит некоторую пользу. Здесь обсуждается задача определения такой формы основных уравнений механики, которой следует заменить обычные уравнения движения Ньютона свободной материальной точки, если принцип относительности обладает всеобщей справедливостью».

Добавим еще следующее. Само по себе определение силы

ввиде формулы (2.71) мало что дает в практическом плане. Чтобы оно заработало, например, чтобы с его помощью можно было бы вычислять реальные траектории частиц, нужно левую часть (2.71) к чему-то приравнять, скажем, к выражению силы из какого-либо закона взаимодействия так же,

68

как это делается с силами в классической механике. Но такого применения закона (2.71) что-то я нигде не встречал. Почему бы не попробовать использовать силу (2.71) вместо ньютоновой силы F = ma во всех уравнениях, где последняя фигурирует (ведь, как заявлено, сила (2.71) играет ту же роль в релятивистской механике). В следующей главе мы попытаемся осуществить эту идею, но приравняем силу K не к силе F из классического закона всемирного тяготения,

ак гравитационной силе из общей теории относительности. Еще одно ключевое явление, не объяснимое законами

классической механики, было открыто в 1859 г. французским астрономом Урбаном Леверье. Оно заключается в аномальном по отношению к законам Ньютона движении ближайшей к Солнцу планеты – Меркурия.

Замеченная аномалия состоит в том, что радиус, соединяющий Солнце и Меркурий, за время Т, равное классическому периоду, поворачивается на угол, превосходящий полный оборот (т.е. угол в 2π радиан) на некий дополнительный малый угол Δϕ . Можно сказать и так, что сама большая ось орбиты Меркурия поворачивается на угол Δϕ вокруг Солнца (рис. 2.1).

По совокупности имевшихся у него данных многолетних наблюдений Леверье заключил, что положение перигелия смещается за столетие приблизительно на 38 угловых секунд. К концу XIX века, это значение было уточнено другими исследователями. Так, согласно Ньюкомбу, столетний поворот составляет 41,24′′ ± 2,09′′ . В 1943 г. Клеменс приводит результат с еще уменьшенной погрешностью: Δϕ = 42,56′′ ± 0,94′′ за 100 земных лет.

Обнаруженный эффект не мог сразу же не породить всевозможных попыток его теоретического объяснения. Выдвигались такие гипотезы, как влияние необнаруженной планеты между Меркурием и Солнцем, увлечение Меркурия эфиром вследствие осевого вращения Солнца, не сферичность Солнца и другие причины, не могущие быть количественно подтвержденными. Другое дело – высказывания

69

сомнений в универсальности законов Ньютона! Но какого: закона движения (2.2) или закона взаимодействия (2.3)? Или, может быть, их обоих? Физики прежде всего заподозрили нуждающимся в уточнении именно закон всемирного тяготения (2.3). Стали предприниматься попытки исправления этого закона путем введения в его правую часть неких корректирующих множителей.

Рис. 2.1

В настоящее время в преобладающей части (если не во всей) специальной литературы утвердилось мнение, что открытое Леверье смещение верно описывается формулой

к которой, как мы видели в главе 1, приводят несколько различных лагранжианов. И все-таки это мнение представляется мне не неприложным. И вот почему. Угол есть полярный

70