Основы релятивистской механики. Монография

и

Обратим внимание – из разложения (1.115) здесь участвует только один коэффициент а2, что и надо было ожидать.

В правой части (1.117) заменяем дифференцирование по времени дифференцированием по угловой координате

и, вспоминая подстановку r = 1λ :

2rr − r2 = −l2 (2λλ′′ + λ′2 ).

Теперь уравнение (1.117) приобретает вид

31

Видим, что мы пришли к уравнению, в точности совпадающему с уравнением (1.77) орбиты Гербера. Отличие лишь в значении малого параметра , которое в данном случае содержит как множитель постоянный коэффициент a2 из раз-

r

ложения (1.115) функции V . Соответственно решение

c

уравнения (1.119) дается формулой (1.84), а углы и вычисляются по формулам (1.87), (1.96), в которых малый параметр определяется равенством в (1.118).

1.8. Классический лагранжиан с малым поправочным слагаемым

Пусть функция Лагранжа (1.24) представима в виде

а – малый параметр. При этом функция L1 может быть любой, в том числе явно зависящей от скорости v, но пусть она все-таки явно не зависит от угловой координаты (в противном случае дальнейшие выкладки получились бы чрезмерно сложными).

Плоское движение в полярной системе координат описывается двумя такими уравнениями Лагранжа:

32

из которых следуют два первых интеграла движения – интеграл энергии и интеграл сохранения момента импульса. Вот они:

Вносим в эти первые интегралы наше представление функции Лагранжа (1.120). Тогда они приводятся к виду

При этом мы использовали известное выражение квадрата скорости

и вытекающее из него полезное тождество

Исключением угловой скорости из первых интегралов (1.124), (1.125) выводится уравнение траектории.

Внося (1.125), (1.126) в интеграл энергии (1.124), получим

33

Чтобы получить уравнение для определения орбиты, т.е. зависимости полярного радиуса r от угла , надо от дифференцирования по времени перейти к дифференцированию по угловой координате. Это можно сделать, исходя из первого интеграла (1.125), определяющего величину момента скорости. Записываем

Чтобы строить решения в виде разложения по малому параметру, как мы это делали в предшествующих пунктах по выработанной методике, лучше перейти от уравнения (1.132) к квазилинейному уравнению. Для этого достаточно продифференцировать обе части этого уравнения, например, по переменной . Имеем

34

Теперь рассмотрим решение уравнения (1.133) для двух известных поправок к классической функции Лагранжа.

1.9.Лагранжиан Шварцшильда

В1916 г. немецкий ученый Карл Шварцшильд предложил в качестве метрики четырехмерного пространства-вре- мени такой интервал:

r

где α = 2k . c2

Функция Лагранжа определяется как величина 4-ско-

рости, т.е. как 1 ds . Делим обе части выражения (1.134) c dt

на c2dt2 и вводим в него величину обычной пространственной скорости:

35

из которого выведем явное выражение для поправочного слагаемого к классической функции Лагранжа:

Раскладывая здесь корень по степеням, обратным к c2 , получим

Здесь третье слагаемое в скобках преобразуется так:

Внося его в предыдущее выражение, записываем

Таким образом, принимая во внимание, что ни постоянное слагаемое, ни постоянный множитель не влияют на уравнения движения, приходим к следующему представлению функции Лагранжа:

Или, используя обозначение поправочной функции:

L = L0 + εL1 + O(ε2 ).

Полагая, что здесь в качестве малого параметра взято прежнее значение (1.76), для L1 получаем такое выражение:

36

В правую часть уравнения (1.133) входят еще производ-

А с учетом асимптотических равенств

эти производные можем записать еще и так:

37

Теперь, если в формулу (1.138) внести равенства v2 = 2E + 2kλ + O (ε), r2 = 2E + 2kλ − l2λ2 + O (ε),

то выражение L1 тоже предстанет в виде многочлена третьей степени от , а именно:

Наконец, эти последние два представления (1.142) и (143) вносим в правую часть уравнения (1.133) и приходим к его окончательной простой форме:

где, как и раньше, h = l2 . k

Далее применяем к этому уравнению в точности ту же схему, которую мы использовали для решения таких же уравнений (1.75), (1.99) в пунктах 1.5, 1.6.

Вводим безразмерную орбитальную функцию ξ = hλ и переписываем уравнение (1.144) в безразмерной форме:

Это уравнение с точностью до слагаемого порядка 2 совпадает с эйнштейновским уравнением (1.100) для приведенной орбитальной функции. Соответственно и результаты решения его в точности те же самые. Имеем приведенную орбитальную функцию:

ξ = 1 + e cosϕ + ε (6 + 3e2 + 6eϕ sin ϕ − e2 cos2ϕ)+ O (ε2 ); (1.146)

угол смещения перигелия орбиты:

δ = 12πε = 6πk . hc2

Однако угол поворота перигелия за время Т классического периода уже будет другим, так как он должен быть определен из первого интеграла (1.125), отличающегося

38

от первого интеграла (1.52) неким поправочным слагаемым. Это поправочное слагаемое возникло из-за явной зависимости функции L1 от скорости v, которая, в свою очередь, определяется угловой скоростью ϕ . Еще, здесь можно отметить, что из-за этого поправочного слагаемого при движении по орбите Шварцшильда вектор ускорения a = r̈не будет центральным. То есть он в данном случае не коллинеарен ра- диус-вектору r. Соответственно, и классический закон площадей для такой орбиты не соблюдается.

Итак, переписываем уравнение (1.125) с учетом равенства (1.140):

Здесь

ξ = ξ0 + εξ1 + O (ε2 ),

ξ2 = ξ02 + 2εξ0ξ1 + O (ε2 ).

Производя в уравнении (1.147) разложение по параметруи разделяя переменные, приводим его к виду

По формуле (1.138) вычисляем

39

Таким образом:

Вносим (1.149) в уравнение (1.148) и интегрируем его по t от 0 до Т, а по – от 0 до 2 + :

Удерживая здесь только члены первого порядка по и по , запишем

Здесь ξ0 и ξ1 те же, что и в случае эйнштейновского потенциала, т.е. даются формулами (1.103), (1.105). Вносим их в (1.151) и вычисляем интегралы. Тогда

Нетрудно заметить, что постоянная Е, входящая в первый интеграл энергии, связана с эксцентриситетом орбиты е известным классическим соотношением:

40