Основы релятивистской механики. Монография

угол между двумя соседними минимумами некой стационарной плоской кривой. А этот угол не может быть наблюдаемым, так как время движения планеты от одного перигелия до другого не обязано совпадать и не совпадает со временем классического периода обращения. По всей видимости, приверженцы угла (2.73) как раз это совпадение по умолчанию и подразумевают. Но если обратиться к вычислениям, то несоответствие сразу выявляется. Угол поворота Меркурия, именно за время классического периода, пересчитанного на 100 земных периодов, является экспериментальным результатом.

Пересчет смещения перигелия орбиты планеты в земные года осуществляется следующим образом. Если за один классический период большая полуось планеты смещается на угол, то за 100 земных лет ее смещение будет составлять

где аз = 149,6 · 109 м – большая полуось земной орбиты; ап – большая полуось планетной орбиты.

В случае орбиты Меркурия ам = 57,91 · 109 м. Соответственно для Меркурия имеем:

Это вот соотношение и служит для физиков главным аргументом в пользу угла смещения, даваемого формулой (2.73). Даже больше того – доказательством ее правомочности. Ведь если в формулу (2.73) внести параметры орбиты Меркурия, то она даст значение = 0,1037 , и, умножив этот угол на 415, получим 43 угловые секунды в столетие, что с высокой степенью точности совпадает с результатами наблюдений.

71

Действительно, для Меркурия можно подобрать лагранжиан (и не один), из которого вытекает движение по орбите от одного минимума до другого, совпадающее с нужным углом поворота. Но время этого поворота не есть время классического периода обращения. И это не дает право на применение к этому углу вычисления по формуле (2.75)! Здесь еще уместно подчеркнуть, что формула (2.73) отражает только форму орбиты, но не закон движения по ней. Например, если планета движется по круговой орбите, у которой нет ни максимумов, ни минимумов. К такой орбите близка орбита планеты Венера. В этом случае формула (2.73) вообще невыводима.

Итак, уравнения электродинамики, факт зависимости массы электрона от его скорости и «аномальное» смещение перигелия Меркурия стали основными причинами большого кризиса в физике в конце XIX столетия и привели к необходимости пересмотра основ старой классической механики Ньютона, безраздельно господствовавшей в естественнонаучном мире более двух веков.

72

ГЛАВА 3. ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ВМЕСТО ЗАКОНОВ НЬЮТОНА

3.1. Релятивистская орбита

Как мы уже говорили, Эйнштейн предложил силу (2.71) в качестве релятивистского обобщения силы инерции Ньютона (2.2), полагая ее согласующейся с новым представлением о принципе относительности. Но вот на что заменить классический закон всемирного тяготения (2.3)? Или, может, для него не требуется никакой замены и его форма (2.3) универсальна? Единственная работа, в которой я нашел предложение по явному формульному обобщению закона (2.3), – это статья академика Л.Б. Окуня 1989 г. под названием «Понятие массы (Масса, энергия, относительность)» [6]. В пункте этой статьи, озаглавленном «Гравитационное притяжение в теории относительности», имеется такое утверждение: «Исходя из общей теории относительности, можно показать, что в этом случае сила, действующая на легкую частицу, равна

Здесь имеется в виду, что для частиц, обладающих массой покоя, выполняется знаменитое соотношение

1 − ν2 c2

Подставляя это выражение энергии в формулу (8.1) статьи Л. Б. Окуня, запишем ее в виде

73

где

1 − ν2 c2

Мы намерены, исходя из силы гравитационного притяжения ОТО (3.2) и силы инерции СТО (2.71), получить релятивистскую траекторию движения планеты вокруг Солнца и вычислить смещение ее перигелия.

Переписывая силу СТО (2.71) в виде

приравнивая правые части выражений (3.2) и (3.4) и сокращая на множительβm , получаем такое уравнение движения:

Обратим внимание на то, что здесь мы имеем дело с движением, у которого вектор ускорения нецентральный и, стало быть, секторная скорость непостоянна, что приводит к несоблюдению классического закона площадей.

Умножение обеих частей уравнения (3.5) скалярно на вектор скорости v дает

Умножаем обе части уравнения (3.5) векторно на радиусвектор r и принимая во внимание только что записанное равенство, получим:

74

равенства (3.6), (3.8) – суть уравнения с разделенными переменными:

которые дают два первых интеграла уравнения движения (3.5):

где A и l0 – постоянные интегрирования.

После разложения экспонент получим выражения для квадрата линейной скорости и ее вращательного момента, с учетом первых релятивистских поправок:

75

где a – длина большой полуоси классического эллипса.

Уравнение траектории, аналогично классическому случаю, получается из первого интеграла (3.11) следующим образом. Полярный радиус r и квадрат линейной скорости υ2 выражаются через орбитальную функцию λ(ϕ) по нашим прежним формулам, т.е.

Вносим их в (3.11). Имеем

и, с учетом (3.12) после несложных преобразований, получаем

Дифференцируя обе части уравнения (3.16) по переменной λ , приходим к точному уравнению, определяющему орбитальную функцию:

76

Вводим наши привычные обозначения

приводящие уравнение (3.17) к безразмерной форме:

где значение постоянной А взято из (3.15).

Удерживая в точном уравнении (3.19) лишь члены порядка первой степени малого параметра , получим его укороченную форму:

Решением первого из этих уравнений (с учетом ориентации полярной оси вдоль большой оси эллипса), очевидно, служит функция

где e – постоянная интегрирования, имеющая смысл эксцентриситета классической эллиптической орбиты.

77

Подстановка (3.24) в правую часть уравнения (3.23) дает для релятивистской поправки такое уравнение:

Таким образом, приведенная релятивистская орбитальная функция и ее первая производная получились такими:

ских перигелиев. Отсчитывая от исходного перигелия в точке ϕ = 0 , второй перигелий приходится на точку ϕ = 2π + δ , где δ – малый угол смещения порядка ε . Как и везде выше, пренебрегая членами порядка ε2 и выше, имеем

78

Таким образом, релятивистская траектория, порожденная силой инерции СТО (2.71) и силой гравитации ОТО (3.2), имеет все тот же вездесущий угол смещения перигелия, который мы уже неоднократно выводили в главе 1 и из потенциала Гербера (1.67), и из потенциала Эйнштейна (1.97),

ииз лагранжиана Шварцшильда (1.137), и из лагранжиана Робертсона (1.155). Можно сказать, что вследствие одного

итого же угла смещения все получившиеся траектории почти одинаковые, а вот угловые скорости движения по ним различны. Посмотрим теперь, каким будет наблюдаемый угол смещения при движении по орбите по законам ТО. То есть вычислим угол смещения большой полуоси эллипса за время Т классического периода обращения.

3.2.Вычисление наблюдаемого угла смещения перигелия

Внастоящее время является неоспоримым наблюдаемым фактом прецессия перигелиев всех планетных орбит земной группы. Но могут ли астрономы фиксировать точные математические точки перигелиев и афелиев, выводимые из ус-

ловия dr = 0 ? Нет, не могут, какими бы совершенными опdϕ

тическими устройствами они ни пользовались. Не могут потому, что в пределах малых углов δ радиус-векторы планеты отличаются друг от друга на величины порядка 1 / c4 (без учета размерного коэффициента). Другими словами, с точностью до порядка 1 / c4 в пределах углов 2π − δ , 2π + δ дуга эллиптической орбиты есть просто дуга окружности. И как на ней увидеть точный перигелий? Кстати, по этой же причине формула (3.31) не содержит и эксцентриситета орбиты е. Кроме того, если представить себе небесное тело вообще с круговой орбитой, не имеющей ни перигелиев, ни афелиев, то ведь релятивистские эффекты, являющиеся следствиями фундаментальных физических законов, все равно должны присутствовать! Как их в таком случае рас-

79

считывать? Об этом же пишет и А. Эйнштейн: «Особенно, если учесть, что орбита следующей планеты Венеры, представляет собой почти точный круг, а это затрудняет точное определение положения перигелия».

Но вернемся к вопросу, что же все-таки за смещение наблюдают астрономы? А наблюдать они могут только смещение большой оси эллипса по сравнению с несмещенной классической осью. А именно, зафиксировав (с той или иной степенью точности) положение большой оси и момент прохождения планетой ее перигелия, ожидается через время

GM

ление в той же точке, т.е. поворот ее радиус-вектора ровно на 2 радиан. А этот поворот оказывается большим, чем 2 на некоторый малый угол . Но этот угол отнюдь не обязан быть равным углу , вычисленному выше по строгому математическому правилу отыскания экстремума функции. Для вычисления угла нужно интегрировать уравнение

описывающее изменение угловой координаты (что мы уже несколько раз проделали в главе 1). Функция l( ) означает величину момента вектора линейной скорости точки. В случае движения с центральным вектором ускорения эта величина постоянна. Рассматриваемое движение по законам ТО, как мы уже отмечали, происходит с вектором ускорения, не коллинеарным радиус-вектору, и для интегрирования уравнения (3.32) в него нужно внести выражение для l( ) из формулы (3.14).

Записываем l(ϕ) в уже привычных безразмерных подстановках (3.18):

где

ξ = ξ0 + εξ1 + O (ε2 ) .

80