Основы релятивистской механики. Монография

липса, а полюс помещен в его правый фокус. Постоянная h называется фокальным параметром. Большая и малая полуоси эллипса выражаются через его эксцентриситет и фокальный параметр посредством равенств

Рис. 1.1

Внося уравнение орбиты (1.62) в первый интеграл (1.52), получим выражение угловой скорости движения точки вдоль эллипса:

Следовательно, период полного обращения точки от одного перигелия до другого дается интегралом

21

Или с учетом формул (1.59), (1.63) через большую полуось и постоянную k:

Это равенство выражает знаменитый третий закон Кеплера.

1.5.Потенциал Гербера

В1898 г. немецким исследователем Паулем Гербером было предложено внести в потенциал Ньютона некий поправочный множитель, учитывающий скорость изменения полярного радиуса. Он изучал движение с потенциальной функцией вида

где постоянная с выполняет роль большого параметра. Гербер положил его численно равным скорости света в вакууме. Производные потенциала (1.67) даются равенствами

Раскладывая эти производные по степеням, обратным большому параметру с, и удерживая лишь члены до второго порядка малости, запишем

22

Конечно, можно было бы сразу разложить потенциал (1.67), а потом его дифференцировать.

Заменяем в последних формулах дифференцирование по времени дифференцированием по угловой координате со-

и вносим эти представления производных в уравнение орбиты (1.56). Имеем

И еще несколько упростим запись этого уравнения, приведя его к безразмерной форме путем введения обозначений:

23

Теперь оно приобретает вид

Внося (1.78) в (1.77) и приравнивая члены с одинаковыми степенями малого параметра ε , для нулевой и первой итераций получаем следующие два уравнения:

где e – произвольная постоянная, имеющая смысл эксцентриситета классической эллиптической орбиты.

Теперь, после подстановки (1.81) в уравнение (1.80), оно приобретает такой вид:

Известным приемом подбора находим частное решение этого уравнения

и в соответствии с представлением (1.78) записываем приведенную функцию траектории:

Точки точных перигелиев и афелиев определяются из условия ξ′ = 0. Вычисляем производную с точностью до первого порядка малого параметра :

ξ′ = −e sin ϕ + ε (6e sin ϕ + 6eϕ cosϕ + 6e2 sin2ϕ). (1.85)

24

Пусть первый перигелий приходится на точку ϕ = 0 . Ищем ему соседний второй перигелий в точке ϕ = 2π + δ , где δ – малый угол смещения, пропорциональный параметру ε :

ξ′(2π + δ) = −e sin δ + ε (6e sin δ + 6e(2π + δ) cosδ + 6e2 sin2δ).

Удерживая здесь лишь первые порядки по и , приходим к условию

(а именно, точными минимумами) орбиты. Но при этом мы еще не определили временной промежуток поворота точки, перемещающейся по орбите, на этот самый угол. Этот промежуток может быть определен из уравнения (1.52) сохранения момента количества движения. Однако, из этого уравнения важнее определить другой угол – угол поворота точки за временной промежуток, равный классическому периоду обращения Т, даваемого формулой (1.65). И этот угол вовсе не обязан совпадать с углом между двумя соседними минимумами.

Переписываем уравнение (1.52) в принятых обозначениях (1.76):

25

Или, разделяя переменные:

Мы нашли приведенную орбитальную функцию ( ) в виде разложения по малому параметру (формула (1.78)). Соответственно имеют место такие асимптотические формулы:

Подставляем это последнее представление в уравнение

(1.90) и интегрируем его по t от 0 до T, а по – от 0 до 2 + + . Имеем:

Удерживая в правой части только слагаемые первого порядка по малому углу и параметру , получим

Отсюда, принимая во внимание, что под Т здесь разумеется классический период обращения, даваемый формулой (1.65), приходим к такой общей формуле углового смещения перигелия:

26

Подстановка сюда функций (1.81), (1.83) приводит к трем интегралам, вычислимым в замкнутом виде. Значения этих интегралов приведены в приложении 1. Внося эти значения в формулу (1.95) и выполняя надлежащие вычисления, получим следующее значение углового смещения при вращении точки по орбите Гербера:

Знак минус означает, что точка, вращающаяся по орбите Гербера, за время классического периода обращения еще не повернется на полные 360 .

1.6.Потенциал Эйнштейна

Всвоей работе 1915 г. «Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности» Альберт Эйнштейн пришел к уравнению движения в потенциальном поле с функцией вида

в которой В у него получилась малым параметром со значением, равным отношению постоянной из закона сохранения импульса к скорости света в вакууме.

Рассмотрим потенциал (1.97), считая В просто некой малой константой, и посмотрим, как от нее зависит значение угла смещения перигелия. Вычисляем производную по полярному радиусу:

Или через орбитальную функцию = 1/r:

∂Φ = kλ2 (1 + 3B2λ2 ). ∂r

27

Вносим это выражение в уравнение траектории (1.56):

С помощью тех же замен (1.76) приводим его к безразмерной форме:

Решение первого из этих уравнений берем также в виде функции (1.81). То есть

Тогда для первой итерации получается уравнение

решение которого, очевидно, записывается так:

Таким образом, приведенная орбитальная функция Эйнштейна выглядит как

ξ = 1 + e cosϕ + ε (6 + 3e2 + 6eϕ sin ϕ − e2cos2ϕ)+ O (ε2 ).

Опять из условия ξ′ = 0 находим точки экстремума. Имеем выражение производной:

ξ′ = −e sin ϕ + ε (6e sin ϕ + 6eϕ cosϕ + 2e2 sin2ϕ).

28

Полагая первый перигелий в точке ϕ = 0 , ищем следующий в точке ϕ = 2π + δ :

ξ′(2π + δ) = −e sin δ + ε (6e sin δ + 6e(2π + δ) cosδ + 2e2 sin2δ).

Снова, удерживая здесь только первые порядки по ма-

Видим, что эта формула будет давать известное значение, совпадающее с формулой Гербера (1.88), если постоянной В2 присвоить значение

Это же значение получается как результат вычислений Эйнштейна в его статье 1915 г.

Далее смещение перигелия за время классического периода обращения Т вычисляется по выведенной в предыдущем пункте формуле (1.95). Запишем здесь ее еще раз:

Δϕ = 2ε(1 + e)2 2∫π ξ1 dϕ + O (ε2 ).

0 ξ30

Вычисляя этот интеграл с функциями (1.103), (1.105), получим формулу угла смещения при вращении по орбите Эйнштейна:

29

1.7.Более общая потенциальная функция

Впунктах 1.4–1.6 мы по единой методике вывели уравнения орбит, по которым происходит движение, производимое потенциалами Ньютона (1.57), Гербера (1.67) и Эйнштейна (1.97). Для закрепления этой методики рассмотрим еще один радиальный потенциал вида

Здесь, как и ранее, полагаем постоянную с равной скорости света в вакууме, т.е. выполняющей роль большого параметра.

Для написания уравнения орбиты в явном виде нужно потенциал (1.112) внести в правую часть уравнения (1.56).

r

Представляем функцию V в виде разложения по сте-

c

пеням, обратным большому параметру с:

30