Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Глава 4. Стационарные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1. Линеаризованная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2. Нелинейная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава 5. Нестационарные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1. Леммы Гронуолла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2. Пространства Бохнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2.1. Определение пространств Бохнера . . . . . . . . . . 90 5.2.2. Основные свойства пространств Бохнера . . . . . . 92 5.2.3. Лемма Петре. Теорема Обэна — Лионса . . . . . . . 96 5.3. Линеаризованная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2.Существование и единственность решений . . . . 102

5.3.3.О повышении регулярности решений и

восстановлении давления . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4. Нелинейная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.2. Понятие слабого обобщенного решения . . . . . . . 111 5.4.3. Единственность с.о.р. задачи NNE . . . . . . . . . . 115 5.4.4. Существование с.о.р. задачи NNE . . . . . . . . . . . 117 5.5. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5.1. Линейная нестационарная задача . . . . . . . . . . . 123 5.5.2. Линейная стационарная задача . . . . . . . . . . . . . 127

Глава 6. Нестационарная задача динамики идеальной несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1.1. Формулировка задачи в терминах искомых

переменных «скорость – давление» . . . . . . . . . . 131 6.1.2. Формулировка задачи в терминах искомых

переменных Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.3. О целях и методах исследования задачи NEE . . 134 6.2. Пространства Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3. Функция Грина для уравнения Пуассона . . . . . . . . . 136 6.4. Почти-липшицевость поля скорости . . . . . . . . . . . . . 137 6.5. Оператор сдвига вдоль траекторий и его свойства . . . 140 6.6. Корректность задачи NEE. Теорема Като . . . . . . . . . 146

7.1. Классическая формулировка задачи Стефана . . . . . . 154 7.2. Обобщенная формулировка задачи Стефана . . . . . . . 156 7.3. Теорема единственности с.о.р. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4. Теорема существования с.о.р. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Глава 8. Задача гомогенизации композитного материала . . . 167 8.1. Постановка изучаемой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.2. Лемма о быстро осциллирующих функциях . . . . . . . 169 8.3. Гомогенизация в случае гладкой функции a . . . . . . . 171 8.3.1. Разрешимость исходной задачи . . . . . . . . . . . . . 171 8.3.2. Предельный переход при δ → 0 . . . . . . . . . . . . . 172

8.4.Гомогенизация в случае негладкой функции a . . . . . 173

9.3.Характеристики уравнений вихревой мелкой воды . . 182

9.4.Основные свойства гиперболических уравнений

вихревой мелкой воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.4.1. Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.4.2. Простые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.4.3. Гидравлические прыжки на сдвиговом потоке . . 194

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

уравнение нередко возникает как составная часть сложных моделей механики сплошных сред, например в теории течений идеальной жидкости и теории фильтрации. Первоисточниками для третьей главы являются учебники [10] и [15].

Вчетвертой главе изучаются вопросы корректности краевых задач для стационарных уравнений Стокса и Навье — Стокса динамики однородной вязкой несжимаемой жидкости. Формулируются понятия слабых обобщенных решений этих задач. Доказываются теоремы существования и единственности таких решений. Методы доказательств этих теорем основаны на технике построения априорных оценок решений задач с помощью интегральных неравенств Коши — Буняковского, Лерэ, Пуанкаре и т. п., приложении теоремы Рисса о представлении функционалов в гильбертовых пространствах и теоремы Лерэ — Шаудера о неподвижной точке компактного оператора. Также рассматриваются вопрос повышения регулярности решений линейной задачи (задачи для уравнений Стокса) при повышении гладкости входных данных и спектральная задача для оператора, ассоциированного с первой краевой задачей для уравнений Стокса. Первоисточником для четвертой главы является монография [9].

Впятой главе изучаются вопросы корректности начально-кра- евых задач для нестационарных уравнений Стокса и Навье — Стокса. Формулируются понятия слабых обобщенных решений этих задач. Доказываются теоремы существования и единственности таких решений. Основными методами доказательств этих теорем являются метод Галеркина, техника построения априорных оценок решений задач с помощью интегральных неравенств, приложение теоремы Рисса о представлении функционалов в гильбертовых пространствах и леммы Гронуолла. Первоисточниками для пятой главы являются монографии [24] и [9] и учебник [25].

Шестая глава посвящена доказательству существования и единственности классического решения двумерной по пространственным переменным задачи непротекания для системы уравнений Эйлера динамики однородной идеальной несжимаемой жидкости. Доказательство существования решения основано на применении теоремы Тихонова — Шаудера о неподвижной точке, а доказательство единственности — на построении априорных оценок для решения и применении леммы Гронуолла. Изложение в пособии следует статье [35].

Вседьмой главе исследуются вопросы корректности задачи Стефана о фазовых переходах в чистом веществе. Отметим, что понятие решения этой задачи априори может быть сформулировано только в слабом обобщенном смысле, поскольку заданные непостоянные коэффициенты теплоемкости и теплопроводности в уравнении баланса тепла терпят разрывы первого рода, но при этом к ним применяется дифференцирование. Слабое обобщенное решение (с.о.р.) задачи Стефана формулируется в терминах максимального монотонного графика. Доказательство теорем существования и единственности с.о.р. задачи Стефана излагается по [11, гл. V, § 9].

Ввосьмой главе на простейшем примере поясняется сущность теории гомогенизации (усреднения) в механике сплошных сред. Более точно, для модели равновесия упругого композитного материала, состоящего из множества тонких слоев, решается задача усреднения — совершается предельный переход к бесконечности по числу слоев и выводится предельная «эффективная» модель равновесия композита, в рамках которой дается «среднее» описание его физических характеристик на макроскопическом уровне, т. е. когда нет необходимости учитывать каждый отдельный тонкий слой. Ввиду простоты постановки исходной задачи методика исследования ограничивается положениями, известными из основного курса математического анализа. Первоисточником для восьмой главы является параграф § 16.4 в учебнике [25].

Девятая глава посвящена знакомству с теорией обобщённых характеристик и обобщённой гиперболичности систем дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Описание теории приводится на основе интегро-дифференциальных уравнений вихревой мелкой воды, описывающих движение слоя идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести в приближении длинных волн. Свойства таких систем подобны и являются обобщением свойств классических гиперболических систем дифференциальных уравнений. Изложение носит обзорный характер, подробное изложение и исследование других длинноволновых моделей содержится

вмонографии [14].

Завершается пособие библиографическим списком, состоящим из 38 источников.

В целом изложение в пособии является замкнутым. Для его успешного освоения требуется знание основ механики жидкости и газа, классической теории дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа. Все главы являются

автономными в том смысле, что для чтения каждой из них нет необходимости подробно знакомиться с содержанием какой-либо из предыдущих: там, где это необходимо, даются точные ссылки на ранее установленные результаты. Также, в методических целях, изложение материала значительно более детализировано по отношению к первоисточникам.