Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

является линейным непрерывным функционалом, определенным на пространстве H(Ω). Действительно, линейность функционала F очевидна. Непрерывность следует из неравенства Коши — Буняковского и неравенства Пуанкаре — Фридрихса (лемма 2.2). Более точно, справедлива оценка

|(f, Φ)| ≤ f 2,Ω Φ 2,Ω ≤ cp(Ω) f 2,Ω Φ H ,

где cp(Ω) — постоянная из неравенства Пуанкаре — Фридрихса. Из этой оценки по определению нормы линейного функционала (см. определение 2.2) следует, что

где через H(Ω) обозначено пространство линейных непрерывных функционалов, сопряженное к H(Ω). Значит, функционал F ограничен и, следовательно, непрерывен.

В силу этого по теореме Рисса (теорема 2.1) существует единственный элемент F H(Ω) со свойствами

(в зависимости от размерности n) неравенству Лерэ и, наконец, по

где постоянная c1 зависит только от постоянных в неравенствах Лерэ и Пуанкаре — Фридрихса.

В силу произвольности пробной функции Φ на основании этой

3 Линейность очевидна.

82 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

является непрерывным, т. е. принадлежит пространству H(Ω) . Снова применяем теорему Рисса и заключаем, что существует единственный элемент G H(Ω) со свойствами

Очевидно, функционал G определяется по функции v однозначно, и значит элемент G определяется по v однозначно в силу утверждения единственности в теореме Рисса. Таким образом по формулам (4.28) и (4.29a) конструируем оператор A: H(Ω) → H(Ω), который переводит элемент v в элемент G, т. е.

Легко видеть, что оператор A является нелинейным.

С помощью представлений (4.26a), (4.29a) и (4.30) записываем интегральное равенство (4.22) в виде

Введем в рассмотрение оператор AF: H(Ω) → H(Ω) по формуле

С учетом (4.32) и в силу произвольности пробной функции Φ интегральное равенство (4.31) сводится к операторному уравнению

Таким образом, мы свели обобщенную формулировку задачи SNE в виде интегрального (вариационного, другими словами) уравнения (4.22) к эквивалентному ей операторному уравнению (4.33). Как очевидно из структуры этого уравнения, его решение — это неподвижная точка оператора AF. Для доказательства существования неподвижной точки прим´еним теорему Лерэ — Шаудера.

Этап 2. Сначала заметим, что H(Ω) является сепарабельным банаховым пространством: сепарабельность следует, например, из существования базиса в H(Ω), см. теорему 4.4. Значит, H(Ω) удовлетворяет требованиям теоремы Лерэ — Шаудера. Проверим, что оператор AF также удовлетворяет всем требованиям этой теоремы.

Во-первых, покажем, что оператор A компактен, откуда сразу вытекает компактность оператора AF. Произвольно возьмем слабо сходящуюся в H(Ω) последовательность {vm}m=1,2,...:

Вспомним из курса функционального анализа, что если последовательность сходится слабо в некотором пространстве X, то она ограничена в этом пространстве. В силу этого свойства, в частности, имеем, что существует постоянная c2, не зависящая от номера члена последовательности m, такая что

Еще вспомним теорему Реллиха (теорема 2.5), в силу которой из (4.34) следует сильное предельное соотношение

Теперь, используя (4.35), неравенство Коши – Буняковского и оценку (2.18) из замечания 2.8, конструируем следующую цепочку соотношений:

в которой Φ H(Ω) — это произвольная пробная функция, а постоянные c3 и c4 зависят от постоянной c2 и постоянной cr(Ω) из оценки (2.18).

Полагая Φ := Avm −Av, сокращая на Avm −Av H и учитывая (4.36), из этой цепочки неравенств выводим, что

84 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

то есть последовательность {Avm}m=1,2,... сильно сходится к Av при m → ∞. Итак, оператор A переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, а значит, является компактным (см. замечание 2.2). Отсюда следует, что AF также является компактным.

Во-вторых, построим априорную4 оценку для решения уравнения v = λAFv в H(Ω), где λ [0, 1].

Умножая скалярно в H(Ω) обе части этого уравнения на v, с учетом (4.32), (4.29a) и (4.30), получаем интегральное равенство

В силу этого из (4.38) выводим неравенство v 2H ≤ λν F H v H , откуда

Итак, оператор AF: H(Ω) → H(Ω) удовлетворяет всем требованиям теоремы Лерэ — Шаудера и, следовательно, имеет неподвижную точку v H(Ω). Согласно построениям, проведенным на первом этапе доказательства, v является с.о.р. задачи SNE в смысле

4 Обратим внимание на то, что в формулировке теоремы Лерэ – Шаудера не требуется гарантий, чтобы решение уравнения v = λAFv существовало, и речь таким образом идет об условной, то есть априорной, оценке.

определения 4.2, причем оценка Лерэ (4.23) следует из цепочки соотношений (4.39).

Остается заметить, что оценка Лерэ также несложно выводится непосредственно из интегрального равенства (4.22) при подстановке в это равенство решения v на место пробной функции Φ. Этот вывод аналогичен выводу оценки Лерэ из интегрального равенства (4.38). Значит, в принципе оценка Лерэ выполняется для любого возможного с.о.р. задачи SNE, а не только для того, существование которого установили выше с помощью теоремы Лерэ — Шаудера5.

Теорема доказана.

Замечание 4.5. Обратим внимание на то, что мы доказали на самом деле несколько более общий результат, чем теорема 4.7. А именно доказательство теоремы 4.7 служит обоснованием существования с.о.р. задачи SNE и в том случае, когда заданной функцией в уравнении количества движения (4.21a) является функционал F H(Ω) , не обязательно связанный с какой-либо функцией f L2(Ω)n формулой (4.24). При этом, конечно, интегральное равенство (4.22) в определении 4.2 и оценка Лерэ (4.23) принимают соответственно вид

Перейдем к исследованию вопроса о единственности с.о.р. задачи SNE. Докажем следующую теорему.

Теорема 4.8. (О единственности медленных течений.)

Пусть заданная распределенная массовая сила f L2(Ω)n удовлетворяет дополнительному условию

в котором cr(Ω) — это постоянная из оценки (2.18) в замечании 2.8 и cp(Ω) — постоянная из неравенства Пуанкаре – Фридрихса. Тогда существует не более одного с.о.р. задачи SNE в смысле определения 4.2.

5 В литературе известны и другие способы доказательства теоремы 4.7, не связанные с применением теоремы Лерэ — Шаудера, см., например, [24, 34].

Доказательство теоремы 4.9 можно найти в [9, гл. V, § 5, теорема 6]. Так же как и обоснование теорем 3.2 и 4.2, оно основано на специальном выборе пробной функции Φ в вариационной формулировке задачи, т. е. в интегральном равенстве в определении с.о.р. Однако стоит отметить, что доказательство теоремы 4.9 не сводится к модификации доказательств теорем 3.2 и 4.2: оно технически гораздо более сложное и существенно базируется на теории гидродинамических потенциалов, которая лежит за пределами нашего пособия.

Наконец, заметим, что в силу теорем 4.7 и 4.9 результат теоремы 4.5 перестает быть условным, и в условиях теоремы 4.7 можем восстановить давление p H1(Ω ) в любой строго внутренней подобласти Ω Ω. Соответственно, система уравнений Навье – Стокса (4.21a), (4.21b) выполняется почти всюду в Ω .

90 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Доказательство. Действительно, (5.1) можно записать в ви-

де

dtd e− 0t C1(τ)dτ y(t) ≤ C2(t) e− 0t C1(ξ)dξ ,

а затем проинтегрировать в пределах от нуля до t, что и дает (5.2).

Лемма 5.2. (Интегральная форма леммы Гронуолла.)

Пусть y: [0, T ] → R — непрерывная неотрицательная функция, C1 и C2 — неотрицательные функции из пространства L1(0, T ) и C — неотрицательная постоянная. Тогда из неравенства

5.2. Пространства Бохнера

Введем определения и изложим основные свойства пространств функций с выделенной переменной t, которые далее систематически используются в этой главе.

5.2.1.Определение пространств Бохнера. Пусть Ω Rn

иT > 0. Через QT обозначим пространственно-временной цилиндр

Ω × (0, T ). Для u: QT → Rm (m N) отображение u(t): x → u(x, t) при фиксированном значении t (0, T ) — это элемент некоторо-

го функционального пространства, например, пространства Лебега или Соболева, т. е. функция t → u(t) отображает интервал (0, T ) в некоторое пространство функций. Пространства функций, отображающих интервал времени (0, T ) в некоторое банахово пространство, называются пространствами Бохнера.