Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

и интегрируя по s от a до a + b, получаем требуемую оценку для куска S.

Число таких кусков конечно в силу того, что Γ — компактное множество. Поэтому, складывая все полученные результаты, выводим оценку (2.13).

Теперь остается использовать результат о плотности ∞ ¯ m

C (Ω)

в H1(Ω)m аналогично тому, как это было сделано в доказательстве леммы 2.1, и заметить, что L2(Ω)m → L1(Ω)m, и тем самым на

основании неравенства (2.13) завершить доказательство леммы 2.6.

2.6.6. О вложении в пространство H2(Ω) ∩ H01(Ω). Для обоснования следующего результата вспомним хорошо известное

неравенство Юнга

справедливое для всевозможных положительных чисел a, b, ε, p, p ,

Теперь сформулируем и докажем следующее утверждение.

Лемма 2.7. Пусть Ω Rn — ограниченная область с границей

ΓC2. Тогда для всевозможных функций u H01(Ω)m таких, что u L2(Ω), справедливо неравенство

в котором постоянная c(Ω) зависит только от формы области Ω и не зависит от u.

(В формулировке неравенства (2.16) использовали обозначения 2.5 и 2.7.)

Доказательство. 1. Как и в доказательствах предыдущих результатов в этом параграфе, все рассуждения проводим для достаточно гладких функций.

52 2. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Пусть u C3(Ω) и u|∂Ω = 0. По формуле Грина для гладких

2. Возьмем какую-либо точку ξ Γ и в ней локальные координаты y = (y1, y2, y3). Пусть y1 и y2 лежат в плоскости, касательной к Γ в точке ξ, а y3 направлена по внешней нормали к Γ в точке ξ. Выражение

инвариантно относительно поворота системы координат, поэтому его можно переписать для (y1, y2, y3) в виде

Выбирая здесь ε = (2K0C)2, подставляя в предыдущее неравенство и приводя подобные, получаем нужную оценку для суммы квадратов норм всех вторых производных функции u в L2(Ω)m. Добавляя теперь к левой и правой частям этой оценки нормы самой функции u и ее градиента u в L2(Ω)m и извлекая квадратный корень из результата, в итоге приходим к требуемому неравенству (2.16).

2.6.7. Теорема Реллиха. В завершение этого параграфа приведем результат о компактности вложения H1(Ω)m в L2(Ω)m в случае ограниченной области Ω.

Теорема 2.5. (Ф. Реллих.) Пусть Ω Rn — ограниченная область с кусочно-липшицевой границей. Тогда H01(Ω)m →→ L2(Ω)m.

Замечание 2.8. В силу теоремы Реллиха и первого и второго неравенств Лерэ (см. леммы 2.4, 2.5) заключаем, что если Ω

— ограниченная область в R2 или R3 с липшицевой границей, то H01(Ω)m →→ L4(Ω)m и имеет место оценка

в которой постоянная cr(Ω) зависит только от постоянной в первом или втором (в зависимости от размерности пространства n) неравенстве Лерэ.

2.7. Усреднение функций

Усреднение (сглаживание, регуляризацию) недостаточно регулярных функций можно строить разными способами. В настоящем пособии, там, где это необходимо, применяется сглаживание с помощью функции вида «шапочки». Эта процедура заключается в следующем.

Пусть функция ω D(Rt) такова, что ω ≥ 0, ω||t|≥1 = 0 и

R|t|<1

Вкачестве ω(t) можно взять, например, функцию

где постоянная C1 подобрана так, чтобы выполнялось условие (2.19). А именно имеем C1 = e/(√π Ψ(1/2, 0; 1)) ≈ 2,252284, где

Ψ(a, b; z) = 1 ∞e−zt ta−1(1 + t)b−a−1dt (Re a > 0, Re z > 0) Γ(a)

0

— это вырожденная гипергеометрическая функция 2-го рода (конфлюентная гипергеометрическая функция Трикоми) [2, § 6.5, формула (2)], Ψ(1/2, 0; 1) ≈ 0,680921.

Пусть h — произвольное положительное число. Функция

ωh(z) = 1n ω |z| , z Rn, h h

называется ядром усреднения (радиуса h). Ядро усреднения, оче-

видно, обладает следующими свойствами:

где Cα — некоторая не зависящая от h постоянная.

в которой положительная постоянная c не зависит от h, то f W l,p(O) и имеет место оценка6

(vi)Если существует fzi , то (fzi )h = (fh)zi .

(vii)Если supp f A, то

supp fh Ah = {z Rn : dist(z, A) ≤ h}.

Напомним, что в пункте (vii) через supp f обозначается множество в области определения функции f, на котором она не равна нулю.

Лемма 2.9. Для f L∞(Rn) имеет место предельное соотношение

fh(z) −→ f(z) при почти всех z Rn.

h→0

2.8. Соленоидальные и потенциальные функции

Вектор-функции, дивергенции которых равны нулю, называются cоленоидальными. Такие вектор-функции занимают особое место

втеоретической механике сплошных сред, поскольку соленоидальными являются поля скоростей несжимаемых жидкостей, см. условие несжимаемости (1.7). Также важным функциональным классом

втеоретической механике сплошных сред является класс потенциальных скалярных функций. Говорим, что функция потенциальна, если она является градиентом другой функции. Такими функциями являются, например, некоторые распределенные силы: сила тяжести, сила плавучести и т. п.

Пусть Ω Rn. Для описания соленоидальных и потенциальных функций, определенных в Ω, введем в рассмотрение следующие подпространства таких функций в пространствах Лебега, Соболева

6 Оценку (2.24) выводим предельным переходом в (2.23) при h → 0.

58 2. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Согласно замечанию 2.5, в пространстве H(Ω) можно ввести скалярное произведение

Лемма 2.10. (Разложение Вейля.)

(i)Для любых ϕ J0(Ω), p G(Ω) имеем (ϕ, p)2 = 0, т. е.

J0(Ω) G(Ω).

(ii)Для любой a L2(Ω)n найдутся единственная ϕ J0(Ω) и единственная p G(Ω), такие что

a = ϕ + p почти всюду в Ω.

Иными словами, L2(Ω)m — это прямая сумма подпространств

J0(Ω) и G(Ω).

Разложение пространства L2(Ω)m в прямую сумму J0(Ω) и G(Ω)

называется разложением Вейля.

В доказательстве будем использовать оператор ротор, который вводится следующим определением.

Определение 2.18. Пусть Ω R3 и в Ω введен стандартный декартов базис {e1, e2, e3}:

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

Ротором дифференцируемой вектор-функции u: Ω → R3 называется функция, определенная в декартовом базисе {e1, e2, e3} формулами

Доказательство леммы 2.10. Прямо по определению оба множества J0(Ω) и G(Ω) являются подпространствами пространства L2(Ω)m. В силу формулы Грина (лемма 2.1) сразу выводим, что J0(Ω) G(Ω) и завершаем этим обоснование утверждения (i).

Представим теперь L2(Ω)m в виде прямой суммы

L2(Ω)m = J0(Ω) K.

Такое представление возможно в силу хорошо известной теории гильбертовых пространств. По пункту (i) имеем, что G(Ω) K. Остается доказать, что K = G(Ω).

Пусть u K, нужно показать, что u = ϕ для некоторой ϕ

H1(Ω).

Для любой v J0(Ω) имеем равенство (u, v)2 = 0. Положим v = rot wh, где w C1(Ω)m — произвольная обращающаяся в нуль в окрестности Γ = ∂Ω функция, а wh — ее усреднение. Очевидно, что v J0(Ω). Следовательно, для всевозможных w с указанными свойствами имеет место равенство

0 = (u, rot wh)2 = (uh, rot w)2 = (rot uh, w)2.

Отсюда выводим, что rot uh = 0, и значит криволинейный интеграл

Приведем два примера задач на разложение вектор-функции в сумму соленоидальных и потенциальных вектор-функций.

Пример 2.1. Пусть v C1(Ω)n. Ищем разложение в виде

где u — искомая соленоидальная вектор-функция и p — искомая скалярная функция. Формально взяв дивергенцию от обеих частей (2.27), выводим уравнение Пуассона

Далее, условие div u = 0 и формула Грина влекут (формально) выполнение тождества

u · n|Γ = 0. С учетом этого равенства, домножая скалярно (2.27) на n, приходим к условию Неймана

Иными словами, вопрос о разложении функции v C1(Ω)n сводится к вопросу о решении задачи Неймана (2.28), (2.29) для искомой функции p.

Как известно из курса уравнений математической физики, эта задача имеет классическое решение, единственное с точностью до аддитивной постоянной. Определив p, берем u = v − p.

Пример 2.2. Пусть v L2(Ω)n. Снова ищем разложение v в виде (2.27). Функцию p H1(Ω) определяем как решение вариационной задачи

Эта задача имеет решение p, единственное с точностью до аддитивной постоянной. Действительно, заметим, что правая часть (2.30) определяет линейный непрерывный функционал на H1(Ω), точнее, отображение ϕ → (v, ϕ)2 из H1(Ω) в R линейно и в силу неравенства Коши — Буняковского принадлежит H1(Ω) — сопряженному пространству к H1(Ω). В силу этого по теореме Рисса (теорема 2.1) существует единственный элемент F H1(Ω) такой, что [F, ϕ] = (v, ϕ)2 для всех ϕ H1(Ω). Таким образом заключаем, что p = F — это решение задачи (2.30). Теперь, как и в предыдущем примере, берем u = v − p.