Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

В формулировке задачи NSE начальное распределение поля скорости v0 = v0(x), распределенная массовая сила f = f(x) и кинематический коэффициент вязкости ν = const > 0 считаются заданными. Заметим, что система (5.21a)–(5.21b) непосредственно вытекает из системы (1.16) в предположении, что плотность ρ является постоянной, что означает однородность жидкости. При этом, как и в формулировках задач SSE и SNE в п. 4.1 и 4.2, вводим ν := μ/ρ, где, напомним, μ — это коэффициент динамической вязкости, и считаем, что ρ = 1.

Решение задачи NSE понимается в обобщенном смысле.

Определение 5.2. Функция v = v(t) называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи NSE, если она удовлетворяет условиям регулярности

начальному условию (5.21d) в смысле сильного следа и интегральному равенству

Снова напомним, что (·, ·)2 — это скалярное произведение в L2(Ω), пространство H(Ω) — это подпространство пространства H01(Ω)n, состоящее из соленоидальных функций, и что в H(Ω) скалярное произведение [·, ·] вводится формулой (2.25), а норма — формулой (2.26), см. п. 2.8. Через H(Ω) обозначается пространство функционалов, сопряженное к H(Ω).

Следует сделать ряд замечаний и пояснений к определению 5.2. Во-первых, правая часть в интегральном равенстве (5.23) подразумевает, что при фиксированных значениях t заданная распределенная массовая сила f является функционалом, принадлежа-

щим пространству H(Ω) .

Во-вторых, в условии регулярности (5.22)2 мы пишем ddtv , под-

разумевая функцию v, как элемент пространства Бохнера. При таком подходе v — это функция одной переменной со значениями в

dtd и

частная производная ∂t∂ — это один и тот же оператор. С другой

102 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

стороны, если рассматривать v как функцию переменных x и t со значениями в R, то производная v по t в (5.22)2 — это частная

производная ∂∂tv .

В-третьих, заметим, что формальный вывод интегрального равенства (5.23) из системы (5.21) проводится рассуждениями, аналогичными рассуждениям из замечаний 3.1 и 4.1. Также аналогично замечанию 4.1 обратим внимание на то, что в определении 4.2 отсутствует искомое распределение давления p. Как и для задач SSE и SNE, можно поставить вопрос о восстановлении давления p по найденному с.о.р. v задачи NSE. Этот вопрос мы ставим в настоящем параграфе после вопросов о существовании и единственности с.о.р.

В-четвертых, мы говорим, что v удовлетворяет (5.21d) в смысле сильного следа, если выполняется предельное соотношение

5.3.2. Существование и единственность решений. Сформулируем и докажем теорему о существовании и единственности с.о.р. задачи NSE.

Теорема 5.2. Пусть v0 J0(Ω) и f L2(0, T ; H(Ω) ). Тогда существует единственное с.о.р. v = v(t) задачи NSE.

При этом имеет место включение

Доказательство. Разобьем доказательство на пять этапов.

Этап I. Построение приближенных решений методом Галеркина. Сначала докажем существование слабого обобщенного решения. Для этого прим´еним метод Галеркина.

Пусть {w1, . . . , wk, . . .} — полная ортонормированная система в H(Ω) и полная ортогональная система в J0(Ω), например, составленная из собственных векторов оператора ,, см. теорему 4.4 и замечание 4.3.

Разложим начальную функцию v0 J0(Ω) в ряд Фурье в J0(Ω) по базису {wj }j=1,2,...:

∞

v0(x) = gk(0)wk(x), где gk(0) = (wk, v0)2.

k=1

Для любого m N определим приближенное решение vm в виде

Здесь g1m, . . . , gmm — искомые функции переменной t, которые надо найти как решение системы интегральных уравнений

Отметим, что конструкция интегральных уравнений (5.27) основана на форме интегрального равенства (5.23): как видно, (5.27) получается из (5.23) формальной заменой пары {v, ϕ} на {vm, wj }.

Систему (5.26)–(5.28), в которой значения gk(0) заданы, назовем приближенной системой Галеркина для задачи NSE, а функции vm назовем галеркинскими приближениями.

Подставляя (5.26) в (5.27), с учетом ортонормированности системы {wk}k=1,2,... в H(Ω), приходим к системе

Таким образом замечаем, что система Галеркина представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомых функций g1m, . . . , gmm с данными Коши (5.28).

Поскольку система {wj }j=1,2,... линейно независима, то опре-

делитель Грама det (wi, wj )2 i,j=1,...,m отличен от нуля, а значит матрица Грама (wi, wj )2 i,j=1,...,m обратима. Следовательно, си-

стема (5.29) приводится к нормальному виду и по классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений задача Коши (5.29), (5.28) имеет единственное решение (g1m, . . . , gmm) на всем

Этап II. Равномерные оценки галеркинских приближений. Умножая j-е уравнение в (5.27) на gjm(t) и суммируя по j = 1, . . . , m,

Умножим j-е уравнение в (5.27) на произвольную пробную функцию ψ C1[0, T ], удовлетворяющую условию ψ(T ) = 0, и проинтегрируем по частям в первом слагаемом:

T

(vm(t), wj )2 ψ(t) dt =

0

T

= − (vm(t), wj )2 ψ (t) dt − (vm(0), wj )2 ψ(0).

0

Таким образом приходим к интегральному равенству

Предельный переход при m → ∞ в левой части (5.37) проводим на основании предельного соотношения (5.36a). В правой части имеем vm(0) = v0m, где v0m — это частичные суммы ряда Фурье

функции v0, и v0m −→ v0 сильно в J0(Ω) по хорошо известному

m→∞

свойству рядов Фурье. В силу этого, из (5.37) при m → ∞ выводим интегральное равенство

Заметим, что (5.38) справедливо для любой линейной комбинации элементов wj , а так как {wj } — полный базис в H(Ω), то отсюда вытекает равенство

106 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

т. е. в точности (5.23).

Этап IV. Свойства регулярности и прием начальных данных.

Для завершения доказательства утверждения о существовании ре-

определен5.

В (5.40) перенесем второе слагаемое в левой части в правую

Заметим, что определяемое правой частью этого равенства отображение

Φ → −ν[v(t), Φ] + f(t), Φ H(Ω), Φ L2(0, T ; H(Ω)),

является линейным непрерывным функционалом, т. е. оно принад-

лежит L2(0, T ; H(Ω) ). Значит, в силу (5.42) также следует, что v L2(0, T ; H(Ω) ).

Перейдем к обоснованию равенства v(0) = v0. Умножим обе части (5.40) на ψ(t) (напомним: ψ C1[0, T ] и ψ(T ) = 0), проинтегрируем по t на отрезке [0, T ] и проинтегрируем по частям в первом слагаемом:

5 Обоснование того, что предельная функция v = v(t) непрерывна, более точно, что она удовлетворяет (5.25), проведем на этапе V доказательства.

В результате из (5.40) выводим равенство

что означает

v0 = v(0).

Существование слабого обобщенного решения доказано.

Этап V. Непрерывность по t и единственность с.о.р. Для обоснования единственности с.о.р. нам понадобится следующая лемма.

Заметим, что равенство (5.44) содержательно, поскольку обе

функции

t → u(t) 2H , t → u (t), u(t) H

интегрируемы на [0, T ].

Доказательство леммы 5.8 можно найти в [24, section 1.4], и в этом пособии мы его приводить не будем.

Приступим непосредственно к доказательству непрерывности по t и единственности с.о.р. задачи NSE.

Непрерывность по t сразу следует из леммы 5.8, в формулировке которой берем V = H(Ω), H = J0(Ω) и V = H(Ω) . Действительно, тогда мы получаем, что с.о.р. v принадлежит

108 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

C(0, T ; J0(Ω)), т. е. выполнено (5.25). Далее, на четвертом этапе доказательства установили, что если (5.25) выполнено, то v(0) = v0. Отсюда следует, что имеет место предельное соотношение (5.24), то есть решение v принимает заданное начальное значение v0 в смысле сильного следа.

Перейдем к обоснованию единственности. Предположим, что при одних и тех же данных f и v0 имеются два с.о.р. u и v. Через U обозначим их разность: U := u − v.

Вычтем из равенства (5.23) с функцией u равенство (5.23) с функцией v, получим

d

dt(U(t), ϕ)2 + ν[U(t), ϕ] = 0,

ϕ H(Ω), при почти всех t (0, T ).

Подставим сюда ϕ := U(t), что является законным выбором пробной функции при почти всех t [0, T ], и применим к первому слагаемому лемму 5.8. Таким образом приходим к равенству

1 d U(t) 2 + ν U(t) 2 = 0.

2 dt 2 H

Отсюда очевидно следует

1 d U(t) 2 ≤ 0 2 dt 2

и далее, интегрируя,

U(t) 22 ≤ U(0) 22 = 0 t [0, T ].

Следовательно, u(t) = v(t) для каждого t, что завершает дока-

Замечание 5.3. Методом от противного несложно доказывается, что в силу утверждения о единственности слабого обобщенного решения вся последовательность галеркинских приближений {vm}m=1,2,... сходится к v, и выбирать подпоследовательность из нее на этапе III доказательства нет необходимости.

5.3.3. О повышении регулярности решений и восстановлении давления. На основании теоремы 5.2 в силу линейно-

сти задачи NSE, полагая б´ольшую регулярность Ω, v0 и f, несложно получить любую желаемую регулярность решения (v, p). Ограничимся здесь одним достаточно простым результатом такого типа.

Теорема 5.3. Пусть Ω C 2, f L2(0, T ; J0(Ω)), v0 H(Ω). Тогда с.о.р. v задачи NSE обладает свойствами регулярности

В частности, (5.21a) и (5.21b) выполняются почти всюду в QT .

Напомним, что J02(Ω) = cl J˙(Ω), H02(Ω)3 , см. п. 2.8.

Доказательство. Вернемся к рассмотрению системы Галеркина. Умножая j-е уравнение в (5.27) на gjm(t) и складывая все такие уравнения по j = 1, . . . , m, получаем равенство

T T

≤ ν v0m 2H + f(t) 22 dt + vm(t) 22 dt.

00

Приводя подобные слагаемые в левой и правой части, находим

В силу хорошо известных свойств ряда Фурье имеем, что

v0m −→ v0 сильно в H(Ω), v0m H ≤ v0 H .

m→∞

110 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В силу этого из (5.50) выводим оценку

vm L2(0,T ;J0(Ω)) ≤ c (c не зависит от m),

переходя к пределу в которой в силу свойства полунепрерывности снизу для нормы, получаем оценку

v L2(0,T ;J0(Ω)) ≤ c

и таким образом заключаем, что имеет место (5.46).

Теперь обратимся к рассмотрению системы исходных уравнений (5.21a)–(5.21c) и прим´еним результат о регулярности решений для стационарных уравнений Стокса (теорема 4.2): при почти всех t [0, T ] имеем

ν v(t) − p(t) = −f(t) + v (t) L2(Ω)3,

откуда по теореме 4.2 заключаем, что v(t) J02(Ω) и p(t) H1(Ω). Более того, в силу оценки (4.4) из теоремы 4.2, отображение

−f(t) + v (t) → {v(t), p(t)}

является линейным и непрерывным из L2(Ω) в J02(Ω)×H1(Ω), а так

как

−f + v L2(0, T ; L2(Ω)3),

то очевидно имеют место включения (5.45) и (5.47), что и завершает доказательство теоремы.

5.4.Нелинейная задача

5.4.1.Постановка задачи. В этом разделе изучим следующую начально-краевую задачу для нестационарных уравнений Навье — Стокса динамики однородной вязкой несжимаемой жидкости.

Задача NNE. В пространственно-временном цилиндре QT = Ω×(0, T ), где Ω R2 — ограниченная область физических позиций x с липшицевой границей Γ = ∂Ω и T = const > 0 — произвольно заданный момент времени, требуется найти распределения полей скорости v: QT → R2 и давления p: QT → R, удовлетворяющие уравнениям количества движения