Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Градиентом вектор-функции v: Rn → Rm является n × m-мат- ричная функция

Модуль градиента вектор-функции v: Rn → Rm определяется по формуле

Конечно, при m = 1 здесь речь идет о градиенте скалярной функции v: Rn → R.

Конвективное слагаемое в различных моделях, как правило, записываем в виде (v · )ϕ:

все компоненты u1(x), . . . , um(x) вектор-функции u принадлежат пространству Lp(Ω), W l,p(Ω) или D(Ω). Другими словами, в этом случае под Lp(Ω)m подразумевается пространство Lp(Ω; Rm), под W l,p(Ω)m — пространство W l,p(Ω; Rm) и под D(Ω)m — пространство

D(Ω; Rm).

Дивергенция вектор-функции ϕ: Rnx → Rn — это скалярная функция, имеющая вид

div ϕ = n ∂ϕi .

i=1 ∂xi

2.2. ОБ АБСТРАКТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 33

Для всевозможных симметричных тензоров (симметричных n× n-матричных функций) S = (Sij ) через div S обозначается их дивергенция — вектор с компонентами

Тензорное произведение (свертка двух матриц) является скаляром и имеет вид

В пособии не преследовалась цель ввести строгое единообразие для производных по временн´ой и пространственным переменным. Поэтому, например, производные скалярной или векторной функции v по временн´ой переменной t в разных главах могут иметь вид

vt, ∂tv или ∂∂tv . Поскольку главы достаточно обособлены друг от

друга, недоразумения такие различия в обозначениях при чтении вызвать не должны.

2.2. Об абстрактных функциональных пространствах

Пособие посвящено теоретическому анализу уравнений, описанных в главе 1. Целью этого анализа является описание свойств решений уравнений и систем в подходящих функциональных классах. В настоящем параграфе приведем некоторые понятия и теоремы функционального анализа, обладающие универсальностью и касающиеся функциональных пространств самого общего вида («абстрактных» нормированных, в том числе банаховых, и гильбертовых пространств). В последующих параграфах этой главы будем изучать уже конкретные функциональные пространства — пространства гладких (непрерывных, дифференцируемых) функций и пространства Лебега и Соболева.

Определение 2.1. Линейным функционалом, определенным на нормированном пространстве X, называется линейное отображение из X в R. Действие линейного функционала f на элемент u X обозначается через f, u X .

Определение 2.2. Сопряженным пространством к пространству X называется нормированное пространство X линейных ограниченных функционалов, определенных на X.

Стандартная норма линейного функционала в X определяется по закону

f X = sup |f, ψ X |.

ψ X ≤1

Соответственно, функционал f называется ограниченным, если норма его конечна.

Замечание 2.1. Напомним из курса функционального анализа, что для линейных функционалов, определенных в нормированных пространствах, понятия ограниченности и непрерывности равносильны.

Определение 2.3. Банахово пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством. По умолчанию подразумеваем, что гильбертово пространство является сепарабельным.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. (Ф. Рисс.) Для любого линейного непрерывного функционала f на гильбертовом пространстве H (т. е. f H ) существует единственный элемент u H, такой что

f, v H = (u, v)H v H.

Причем f H = u H .

Здесь и далее через (u, v)H обозначается скалярное произведе-

ние элементов u и v в гильбертовом пространстве H. Доказательство теоремы 2.1 можно найти во многих учеб-

никах по функциональному анализу. См., например, [26, гл. IV, § 17.2].

Напомним, что под сильной сходимостью последовательности {un} к пределу u в нормированном пространстве X при n → ∞ понимается сходимость по норме этого пространства, т. е.

un − u X −→ 0.

n→∞

Сильная сходимость последовательности {un} к u стандартно обо-

значается через un −→ u.

n→∞

Определение 2.4. Говорим, что последовательность {un} cлабо сходится к пределу u в нормированном пространстве X при n → ∞, если имеет место предельное соотношение

ϕ, un X −→ ϕ, u X ϕ X .

n→∞

2.2. ОБ АБСТРАКТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 35

Слабая сходимость последовательности {un} к u стандартно

обозначается через un u.

n→∞

Определение 2.5. Говорим, что нормированное пространство X непрерывно вкладывается в нормированное пространство Y , если из u X следует, что u Y , и существует постоянная c > 0

Определение 2.6. Говорим, что пространство X компактно вкладывается в пространство Y , если X → Y и для любых un, u

Компактное вложение X в Y обозначается через X →→ Y .

Определение 2.7. Говорим, что оператор A: X → Y является вполне непрерывным или, иными словами, компактным, если он переводит любое ограниченное множество из X в относительно компактное множество в Y .

Замечание 2.2. По критерию компактности в метрическом (а значит и нормированном) пространстве [5, гл. 3, теорема 3.16.1] это определение эквивалентно следующему: оператор A: X → Y является вполне непрерывным (компактным), если он всякую слабо сходящуюся в X последовательность отображает в сильно сходящуюся в Y , т. е.

Пусть X и Y — два гильбертовых пространства, таких, что X → Y . Пусть (·, ·)X — скалярное произведение в X, а (·, ·)Y — скалярное произведение в Y . Рассмотрим следующую вариационную задачу.

По заданному элементу f Y найти элемент u X такой, что

Имеет место теорема о корректности этой задачи.

Теорема 2.2. Задача (2.2) имеет единственное решение. При этом имеет место оценка

где c > 0 — это постоянная из неравенства вложения (2.1).

2.2. ОБ АБСТРАКТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 37

Тогда существуют последовательность вещественных чисел {λ = λn}n=1,2,... и соответствующая ей система линейно независимых решений {u = un}n=1,2,... X спектральной задачи

так, что {un}n=1,2,... — это ортогональный базис в пространстве X и в пространстве Y .

Доказательство. Докажем сначала существование базиса из решений в пространстве Y .

Рассмотрим оператор B: Y → Y , определенный для любого f Y посредством решения u X (заметим, что тогда также u Y )

по формуле Bf := u.

Такое определение оператора B корректно в силу теоремы 2.2, т. е. значения Bf определяются однозначно для всех f Y . Покажем, что этот оператор удовлетворяет условиям теоремы Гильберта — Шмидта (теорема 2.3), из которой сразу будет следовать справедливость доказываемого утверждения. Найдем нужные для применения теоремы Гильберта — Шмидта свойства оператора B.

1)Оператор B — линейный. Это очевидно.

2)Оператор B является инъективным, т. е., если u1 = u2, то Bu1 = Bu2. Это тоже очевидно, так как B — линейный и его ядро

ности вложения X в Y выводим сильное предельное соотношение

Bfn −→ Bf в Y . Последнее и означает вполне непрерывность опе-

n→∞

ратора B: Y → Y .

4) Докажем, что B замкнут. Имеем, что если fn −→ f и Bfn −→

n→∞ n→∞

v в Y , то v = Bf. Это означает, что график оператора B замкнут,

т.е. сам оператор B замкнут.

5)Докажем, что B — самосопряженный. Имеем, что если g Y и v = Bg X, то

что и означает самосопряженность оператора B.

38 2. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Итак, оператор B удовлетворяет всем условиям теоремы Гильберта — Шмидта. Остается заметить, что все собственные числа оператора B являются вещественными, так как B — самосопряженный, и что в силу конструкции оператора B множество его линейно независимых собственных функций — это множество линейно независимых решений задачи (2.4). Доказательство того, что в Y существует базис {un}, состоящий из решений задачи (2.4), завершено.

В силу (2.4) и вложения X в Y несложно выводим, что эта же система {un} является ортогональным базисом в X.

i=1

u: Ω → R через Dα u обозначаются частные производные порядка

странство функций u, принадлежащих вместе со своими производ-

Определение 2.9. Линейное подпространство ∞ ¯ , состоя-

C (Ω)

щее из функций с компактным носителем в Ω, назовем пространством основных функций и будем обозначать его через D(Ω).

Определение 2.10. Пространством распределений на Ω назовем пространство всех непрерывных линейных функционалов, определенных на D(Ω).

Обозначение 2.4. Пространство распределений обозначим через D (Ω).

Определение 2.11. Для всякого G D (Ω) производная Dα G лежит в D (Ω) и понимается в смысле распределений по формуле

Dα G, ϕ D(Ω) = (−1)|α| G, Dα ϕ D(Ω) ϕ D(Ω).

2.4. Пространства Лебега

Пусть Ω — ограниченная область в Rn, ∂Ω — граница области

измеримых функций (вектор-функций при m ≥ 2) u: Ω → Rm, для

или норма

u L∞(Ω)m = u ∞,Ω = ess sup |u(x)| (в случае p = ∞)

x Ω

конечна.

Напомним определение существенного супремума.

Определение 2.12. Пусть f: Ω → R. Говорим, что постоянная

M — это существенный супремум f на Ω, M = ess supΩ f, если существует множество E Ω такое, что meas E = 0 и f не превосходит M на множестве Ω \ E, и если для любого ε > 0 найдется множество A Ω такое, что meas A > 0 и f(x) ≥ M − ε при x A.

Определение 2.13. Пространства Lp(Ω)m (1 ≤ p ≤ ∞) называются пространствами Лебега.

Пространства Lp(Ω)m являются банаховыми пространствами. Также пространство L2(Ω)m является гильбертовым пространством