Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

172 8. ЗАДАЧА ГОМОГЕНИЗАЦИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

т. е.

где dδ = const — еще одна константа интегрирования, которую определяем из условия (8.1b)2 и получаем

dδ = 1 x b x *F (x ) − cδ +dx !dx − um. (8.14)

δ

00

Очевидно, функция uδ = uδ (x), задаваемая формулами (8.12)– (8.14), является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, 1] в силу гладкости функций a и f и условия (8.2)2.

Результат только что проведенных рассуждений сформулируем в виде леммы.

Лемма 8.2. При заданных δ > 0 (δ = 1/N, N N), a C1(R) и f C[0, 1] функция uδ , определенная формулами (8.12)–(8.14), является единственным классическим решением задачи (8.1).

8.3.2.Предельный переход при δ → 0. Теперь устремим δ

кнулю. По лемме 8.1 функция x → b(x/δ) сходится слабо в L2(0, 1)

кпостоянной функции (константе) b = a−1 , которая не равна нулю, так как она находится между (a )−1 и a−1. Таким образом, из (8.12) следует, что

Тогда из уравнений (8.10) и (8.11) выводим, что duδ /dx и pδ сходятся слабо в L2(0, 1) к функциям du0/dx и p0, определенным выражениями

где

циентом или пределом функции a в смысле гомогенизации. По построению имеем, что a ≤ a0 ≤ a . Рассуждениями, аналогичными аргументам из п. 8.3.1, выводим, что задача (8.17) имеет единственное классическое решение, и, исходя из представления (8.15a) и условия калибровки (8.17)3, устанавливаем точную формулу для него.

Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 8.1. Семейство {uδ }δ>0 классических решений задачи (8.1) при δ → 0 слабо в L2(0, 1) сходится к единственному классическому решению u0 усредненной задачи (8.17).

8.4. Гомогенизация в случае негладкой функции a

Пусть

при этом допускается, что a терпит разрывы. Тогда решение задачи (8.1) можем понимать только в обобщенном смысле и, следуя, например, подходу из п. 3.1 (см. определение 3.1 и замечание 3.1), формулируем следующее определение.

174 8. ЗАДАЧА ГОМОГЕНИЗАЦИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Определение 8.1. Функция uδ H1(0, 1) называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи (8.1), если она удовлетворяет условиям (8.1b) и интегральному равенству

Вспомним определение обобщенной производной (определение 2.14), в силу которого равенство (8.19) эквивалентно тому, что функ-

x duδ

ция x → a δ dx (x) — это первообразная функции f, т. е. для

предполагаемого решения uδ должно выполняться равенство (8.10). Далее, повторяя рассуждения п. 8.3.1 и 8.3.2, приходим к следующим результатам.

Теорема 8.2. Пусть δ > 0 (δ = 1/N, N N), a L∞(R) и

fC[0, 1]. Тогда

(i)функция uδ , определенная формулами (8.12)–(8.14), является единственным с.о.р. задачи (8.1) в смысле определения 8.1;

(ii)семейство {uδ }δ>0 с.о.р. задачи (8.1) при δ → 0 слабо в L2(0, 1) сходится к единственному классическому решению u0 усредненной задачи (8.17).

Обратим внимание на то, что слабый предел семейства обобщенных решений является классическим решением предельной задачи, поскольку эффективный коэффициент a0 является постоянным, и уравнение (8.17)1 поэтому понимается в обычном (классическом) смысле.

Завершим изложение этой главы двумя комментариями.

Замечание 8.2. Условие (8.18) допускает, например, коэффициенты a вида

где kl = constl, kl (a , a ) и yi — постоянные значения координаты y такие, что 0 < y1, yn < 1 и yi < yi+1 при каждом i = 1, . . . , n − 1.

В рамках теории упругости такой случай коэффициента a соответствует слоистому композитному материалу, пакеты слоев в котором периодически чередуются и в каждом слое коэффициент упругости постоянен. С физической точки зрения, построение усредненной модели (8.17) означает, что мы заменяем модель (8.1) композитного материала, поставленную на микроскопическом уровне, на котором необходимо рассматривать каждый отдельный слой, на модель, поставленную на макроскопическом уровне, на котором описание композита дается приближенно с помощью однородного материала, и на котором уже нет необходимости выделять каждый отдельный слой.

Вычислим явно эффективный коэффициент для случая (8.20):

Замечание 8.3. Введенное в формулировке задачи (8.1) условие, что малый параметр δ принимает значения N−1, где N N, не является существенным и может быть снято. При этом, правда, несколько усложняется доказательство леммы 8.1. В свою очередь, обобщение проведенного в этой главе исследования с одномерного случая на многомерный является очень нетривиальным и требует применения глубоких положений теории гомогенизации. С основами этой теории в целом можно ознакомиться, например, в [19, 33], а конкретно с обобщением рассматриваемого в этой главе исследования на случай произвольной размерности — например, в [20].

уравнений для горизонтальной скорости u(t, x, y) и глубины слоя жидкости h(t, x):

y

ut + uux − uy ux(t, x, ξ) dξ + ghx = 0,

0

(9.6)

h

ht + u(t, x, y) dy = 0.

x

0

Заметим, что в плоскопараллельном течении вектор завихренности ортогонален плоскости течения. Через безразмерные переменные (обозначенные здесь волной) величина вихря выражается формулой

Таким образом, в длинноволновом приближении вихрь имеет вид (волна опущена):

ω= −uy.

Вслучае безвихревого течения (uy = 0) система уравнений (9.6) сводится к уравнениям теории мелкой воды:

ut + uux + ghx = 0, ht + (uh)x = 0.

Введём переменную λ [0, 1] и функцию Φ(t, x, λ), являющуюся решением задачи Коши:

Φt + u(t, x, Φ)Φx = v(t, x, Φ), Φ(0, x, λ) = λh0(x).

Поверхности y = Φ(t, x, λ) при фиксированном λ являются материальными поверхностями (состоят из одних и тех же частиц). Таким образом, переменная λ является лагранжевой для материальных поверхностей и параметризует область течения от дна при λ = 0 до свободной поверхности при λ = 1.

Сделаем замену переменных от эйлеровых переменных (t, x, y) к эйлерово-лагранжевым переменным (t, x, λ) по формуле

y= Φ(t, x, λ).

Вобщем случае данная замена переменных однозначна до тех пор, пока материальные поверхности проецируются на ось x однозначно.