Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

9.2. ОБОБЩЁННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ 181

9.2. Обобщённые характеристики и гиперболичность уравнений

В данном разделе формулируются основные определения теории характеристик для систем квазилинейных уравнений с операторными коэффициентами и вводится понятие гиперболичности системы.

Пусть функции U(t, x, λ) для фиксированных (t, x) R × RN лежат в некотором банаховом пространстве B вектор-функций от λ [0, 1] и операторы Ai(t, x, λ, U), i = 1, . . . , N, являются линейными операторами на B.

Пусть U(t, x, λ) является решением системы дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами

i=1

для искомых собственного значения τ(t, x) и собственного векторфункционала F B при заданных ξi(t, x). Скобками обозначено действие функционала на функцию из B.

Определение 9.1. Поверхность Γ RN+1 является характеристической, если её вектор нормали (τ, ξ) удовлетворяет (9.10) с

F = 0.

Определение 9.2. Равенство

называется условием (соотношением) на характеристике.

Определение 9.3. Система уравнений (9.9) называется t-ги- перболической, если для любых действительных ξi все собственные числа τα действительны, а множество собственных функционалов Fα является полным:

если α (Fα , U) = 0, то U = 0.

Отметим, что для гиперболических систем совокупность соотношений на характеристиках (9.11) эквивалентна исходной системе уравнений (9.9).

В случае N = 1 характеристики системы

определяются уравнениями x (t) = k(t, x), где k — собственное значение задачи

При этом условие на характеристике можно записать в виде

Система уравнений (9.12) является гиперболической, если все собственные значения задачи (9.13) действительны, а соответствующая система собственных функционалов является полной.

9.3. Характеристики уравнений вихревой мелкой воды

Для интегро-дифференциальной системы уравнений мелкой воды (9.7) задача на собственные значения принимает вид

1

(F1, (u − k)ϕ1) + g ϕ2 dλ (F1, 1) + (F2, Hϕ1) + (F2, (u − k)ϕ2) = 0.

0

Здесь F = (F1, F2) — искомый собственный вектор-функционал, ϕ = (ϕ1, ϕ2) B — пробная вектор-функция. В силу независимости компонент ϕ1 и ϕ2 уравнение расщепляется на систему из двух уравнений:

Далее будем считать, что якобиан замены переменных положителен и профиль скорости монотонно возрастает по глубине:

H = Φλ > 0, uλ > 0.

Обозначим через u0 и u1 значение скорости на дне и свободной поверхности: u0 = u(t, x, 0), u1 = u(t, x, 1).

Пусть сначала значения искомого собственного числа вне отрезка изменения скорости: k C\[u0, u1]. Выражая из уравнения (9.16)

9.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВИХРЕВОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ 183

функционал F2 через F1 и подставляя это представление в (9.15), приходим к уравнениям

Из второго уравнения следует, что собственное значение k C \ [u0, u1] удовлетворяет характеристическому уравнению

Пусть теперь k (u0, u1). Обозначим через μ значение лагражевой переменной λ, для которой k = u(t, x, μ).

Непосредственной проверкой можно показать, что функционалы Fiμ , i = 1, 2, μ (0, 1), компоненты которых определены равен-

и характеристики непрерывного спектра kμ = u(μ). Собственные функционалы, отвечающие дискретному спектру, определяются равенствами (9.18), а каждой характеристике непрерывного спектра соответствуют два собственных функционала (9.19) и (9.20). При этом функционалам дискретного спектра соответствуют регулярные функции f = (gH/(u − k)2, −g/(u − k)), а функционалам непрерывного спектра — обобщённые.

Заметим, что при отсутствии сдвига скорости (uλ = 0) характеристическое уравнение принимает вид

которое определяет характеристики классических уравнений мелкой воды k = u ± √gh.

Вещественные характеристики дискретного спектра. Рассмотрим характеристическую функцию χ(k) на вещественной оси вне отрезка [u0, u1]. Первая и вторая производные выражаются формулами:

Отсюда следует, что χ(k) выпукла вверх и монотонно убывает при k < u0 и возрастает при k > u1. При этом χ(k) → 1 при k → ±∞ и χ(k) → −∞ при k → u0 − 0 и k → u1 + 0 (считаем, что uy(t, x, y) ограничена на дне и свободной поверхности, см. ниже). Следовательно, χ(k) имеет два действительных корня k1 < u0 и k2 > u1 (рис. 2).

Определим теперь условия, при которых будут отсутствовать комплексные корни. Представим характеристическую функцию при k = z C \ [u0, u1] в следующем виде:

Из данного представления следует, что χ(z) является аналитической функцией в области C \ [u0, u1]. Если uy(t, x, y) = uλ /H ограничена при λ = 0 и λ = 1, то второе и третье слагаемые в (9.21) представляют собой полюсы, а интеграл типа Коши имеет логарифмические особенности в точках z = u0 и z = u1.

9.3.ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВИХРЕВОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ 185

χ

Рис. 2. Вид характеристической функции χ(k) для вещественных k

z

CR

Cδ0 γδ+ Cδ1

k1 u0 γδ− u1 k2

Рис. 3. Контур обхода на комплексной плоскости

Рассмотрим на плоскости комплексного переменного z область, ограниченную контуром Γ, состоящим из окружности CR достаточного большого радиуса R, окружностей Cδ0 и Cδ1 достаточно малого радиуса δ с центрами в точках u0 и u1, а также верхнего и нижнего берегов γδ± разреза вдоль отрезка [u0, u1] (рис. 3). В данной области функция χ(z) имеет два корня k1,2, лежащих на действительной оси, и нам требуется, чтобы других корней не было. Согласно принципу аргумента приращение аргумента мероморфной функции f(z) (то есть аналитической функции с изолированными

особыми точками в виде полюсов) при обходе вдоль границы области выражается через количество нулей N и полюсов P функции f(z) в этой области (с учётом их кратности):

arg f(z) = 2π(N − P ),

при условии, что f(z) не имеет на границе нулей и полюсов. Вот почему условием отсутствия комплексных корней у функции χ(z) в области, ограниченной контуром Γ, будет равенство

В силу того что χ(z) → 1 при z → ∞, приращение аргумента χ(z) вдоль CR будет равно 1 при достаточно большом R. В окрестности точек u0 и u1 функция χ(z) имеет особенности, состоящие из простого полюса и логарифмической особенности. Приращение аргумента вдоль Cδ0 Cδ1 для логарифмических особенностей будет стремиться к 0 при δ → 0, поэтому приращение аргумента будет вычисляться по количеству полюсов: Cδ0 Cδ1 arg χ(z) → 4π при δ → 0 (контуры обходятся по часовой стрелке). Таким образом, приходим к следующему условию отсутствия комплексных корней:

γ + γ − arg χ(z) = 0.

Или, обозначая через χ+(u) и χ−(u) предельные значения χ(z) на отрезке u [u0, u1] при z → u из верхней и нижней полуплоскостей, предыдущее условие можно записать в виде

Условие гиперболичности. Для гиперболичности системы уравнений вихревой мелкой воды необходимо показать, что система собственных функционалов является полной. Оказывается, что условие отсутствия комплексных корней (9.22) является также достаточным для полноты набора собственных функционалов.

9.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВИХРЕВОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ 187

Лемма 9.1. Пусть u(t, x, ·), H(t, x, ·) C1+α [0, 1] и выполняет-

ϕ = 0.

Доказательство можно найти в монографии [14, Гл. 9, § 1, с. 257]. Таким образом, приходим к следующему условию гиперболич-

ности.

Теорема 9.1. При выполнении условий (9.22) уравнения вихревой мелкой воды являются гиперболическими.

Характеристическая форма и инварианты Римана. В случае выполнения условий гиперболичности исследуемая система уравнений может быть записана в характеристической форме, представляющей из себя совокупность соотношений на характеристиках (9.11).

Действуя собственными функционалами (9.18) на систему (9.8), получаем соотношения на характеристиках дискретного спектра:

9.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 189

Тогда первое соотношение на характеристике непрерывного спек-

Таким образом, совокупность соотношений на характеристиках состоит из уравнений (9.25), (9.27), (9.28). Величины ri(t, x), ω(t, x, λ), R(t, x, λ), определённые формулами (9.24), (9.26), (9.29), сохраняются вдоль соответствующих характеристик и называются инвариантами Римана.

9.4. Основные свойства гиперболических уравнений вихревой мелкой воды

В следующих подразделах приводится описание некоторых важных свойств системы уравнений длинноволнового приближения: корректность постановки задачи Коши, наличие решений типа простых волн и гидравлических прыжков.

9.4.1. Задача Коши. В данном разделе рассматриваются вопросы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений длинных волн:

1

ut + uux + g Hx dλ, Ht + (Hu)x = 0,

(9.30)

0

u(0, x, λ) = u0(x, λ), H(0, x, λ) = H0(x, λ).

Предполагается, что начальные данные удовлетворяют условиям гиперболичности и выполняются неравенства u0λ > ε > 0, H0 > ε.

Обозначим через QT цилиндрическую область

QT = {(t, x, λ) : t [0, T ], x [x0(t), x1(t)], λ [0, 1]},

где x = x0(t) и x = x1(t) являются характеристическими поверхностями дискретного спектра k1 и k2 (k1 < k2):

x0(t) = k2(t, x0), x0(0) = a, x1(t) = k1(t, x1), x1(0) = b (a < b).