Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

1225. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

+T v(t), Φ 2 ψ (t) dt = −(v0, Φ)2 ψ(0),

(v0 − v(0), Φ)ψ(0) = 0,

откуда в силу достаточной произвольности Φ и ψ следует равенство v(0) = v0, что и завершает доказательство теоремы.

Завершим рассмотрения в этом параграфе следующим наблюдением, полностью повторяющим замечание 5.3.

Замечание 5.4. Методом от противного несложно доказывается, что в силу теоремы единственности (теорема 5.4) вся последовательность галеркинских приближений {vm}m=1,2,... сходится к v и выбирать подпоследовательность из нее на этапе IV доказательства теоремы 5.5 нет необходимости.

5.5. Метод Фурье

Заметим, что подход, связанный с применением метода Галеркина для обоснования существования слабых обобщенных решений задач NSE и NNE в п. 5.3 и 5.4, является конструктивным в том смысле, что мы не только доказываем существование решения, но и одновременно строим его приближение. Целью этого параграфа

является построение точных решений для линейных задач с периодическими граничными условиями. Для этого прим´еним родственный методу Галеркина метод Фурье.

5.5.1. Линейная нестационарная задача. Начнем с рассмотрения линейной нестационарной задачи и конструирования для нее решения {v, p} в виде рядов Фурье.

Задача PNSE. В пространственно-временном параллелотопе QT = Ω × (0, T ), где Ω = (0, L)3 R3 — область (куб) физических позиций x со стороной L = const > 0 и величина T = const > 0 — произвольно заданный момент времени, требуется найти распределения полей скорости v: QT → R3 и давления p: QT → R, удовлетворяющие уравнениям количества движения

В (5.111b) через ei обозначаются векторы стандартного декартова базиса в R3:

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

Положим, что заданные функции удовлетворяют условиям регулярности

В (5.112b) и далее используется следующее обозначение.

124 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Обозначение 5.1. Через ϕ Ω обозначается среднее значение

какой-либо интегрируемой на Ω функции ϕ = ϕ(x):

Ω

Здесь |Ω| = L3 — объем куба Ω.

Формулировка задачи PNSE отличается от формулировки задачи NSE наличием условия периодичности (5.111c) на месте однородного граничного условия (5.21c).

Условие (5.111c) означает, что значения v и p совпадают на

где vk = vk(t) и pk = pk(t) (k Z3) являются искомыми функциями.

Подставляя (5.116) в (5.111), формально выводим систему соотношений

Соотношение (5.117c) исключаем из рассмотрения, а (5.117a), (5.117b) и (5.117d) скалярно в L2(Ω) умножим на φm (m Z3). Учитывая условие ортонормальности (5.115c), приходим к системе уравнений

в силу условия div v0 = 0.

Решим систему (5.118). Домножим обе части (5.118a) скалярно

– Виртингера9. Приводить доказательство подробно здесь не будем, а заметим только, что ряды (5.116c) и (5.116d) сходятся в пространствах L2(0, T ; H2(Ω)3) и L2(0, T ; H1(Ω)) соответственно, и ряд

5.5.2. Линейная стационарная задача. Теперь вернемся к изучению стационарных задач и сконструируем решение в виде рядов Фурье для системы стационарных уравнений Стокса, снабженных периодическими данными.

Задача PSSE. В кубе Ω = (0, L)3 R3 требуется найти распределения полей скорости v: Ω → R3 и давления p: Ω → R, удовлетворяющие уравнениям количества движения

Положим, что заданная распределенная массовая сила f = f(x) удовлетворяет условиям регулярности

Формулировка задачи PSSE отличается от формулировки задачи SSE наличием условия периодичности (5.124c) на месте однородного граничного условия (4.1c).

Как и в п. 5.5.1, введем в рассмотрение полную ортонормальную систему (базис)

9 Неравенство Пуанкаре – Виртингера формулируем далее в лемме 5.11.

128 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

где vk и pk (k Z3) являются искомыми векторами и скалярами, соответственно.

Подставляя (5.128) в (5.124), формально выводим систему со-

Соотношение (5.129c) исключаем из рассмотрения, а (5.129a) и (5.129b) скалярно в L2(Ω) умножим на φm (m Z3). Учитывая условие ортонормальности (5.115c), приходим к системе уравнений

Здесь заметим, что f0 = 0 в силу (5.125)2.

Решим систему (5.130). Домножим обе части (5.130a) скалярно

и при m = 0 значение v(m=0) можно взять произвольно. Зафиксируем для определенности

Непосредственным вычислением убеждаемся, что при всех m Z3 функции vm, заданные формулой (5.133), удовлетворяют уравнению (5.130b).

Итак, задаваемое формулами (5.131), (5.133) и (5.134) множество функций {vm, pm}m Z3 служит решением системы (5.130).

Справедлива следующая теорема о корректности задачи PSSE.

Теорема 5.7. Пусть выполнены условия (5.125). Тогда существует единственное сильное обобщенное решение {v, p} задачи PSSE, удовлетворяющее требованиям калибровки

Это решение имеет представление в виде рядов Фурье (5.128a) и (5.128b), коэффициенты Фурье в которых определяются формулами (5.131), (5.133) и (5.134).

Доказательство. Начнем с обоснования существования решения.

Так как f L2(Ω)3, то имеет место тождество Парсеваля

k = 0

где постоянная c(L) зависит только от L. Из (5.137) и (5.138), в свою очередь, следует, что в L2(Ω) сходится ряд (5.128b) и в L2(Ω)3 сходится ряд p = pk φk.

k Z3

130 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Аналогично, используя (5.136) и (5.133), выводим, что в L2(Ω)3 сходятся ряды (5.128a) и v = vk φk.

k Z3

Таким образом, построенная в виде рядов (5.128a) и (5.128b) пара функций {v, p} корректно определена и в силу конструкции служит сильным обобщенным решением задачи PSSE. Кроме того, вследствие (5.134) она удовлетворяет требованиям калибровки (5.135).

Утверждение существование доказано. Для доказательства единственности решения будем использовать неравенство Пуанкаре – Виртингера.

Лемма 5.11. (Неравенство Пуанкаре – Виртингера.)

Пусть Ω Rn является связным ограниченным множеством. Тогда найдется постоянная c(Ω) такая, что

u − u Ω 2,Ω ≤ c(Ω) xu 2,Ω u H1(Ω).

Доказательство леммы 5.11 принципиально проводится аналогично обоснованию неравенства Пуанкаре – Фридрихса (лемма 2.2), и его можно найти в [33, chapter 3, § 3.3].

Перейдем непосредственно к доказательству единственности. Пусть есть два сильных обобщенных решения {v1, p1} и {v2, p2}

задачи PSSE, соответствующих одной и той же заданной правой части f и удовлетворяющих требованиям калибровки (5.135). Обозначим V := v1 − v2. Вычтем из уравнения (5.124a) с {v1, p1} уравнение (5.124a) с {v2, p2} и умножим результат на V скалярно в L2(Ω)3. Таким образом, с учетом свойства ортогональности ( p1 − p2, V)2,Ω = 0 приходим к равенству −ν(ΔV, V)2,Ω = 0.

Интегрируя в этом равенстве по частям, с учетом (5.124c)1 выводим V 22,Ω = 0, откуда в силу неравенства Пуанкаре – Виртингера и требования калибровки (5.135)1 вытекает, что V = 0, т. е. v1 = v2. Отсюда, в свою очередь, p1 = p2 и далее (в силу (5.135)2) p1 = p2, что завершает доказательство утверждения