Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

где постоянная c(1) зависит только от T и μ.

Доказательство предложения 7.1 подробно изложено, на-

Оценивая интеграл с лапласианом с помощью неравенства Гельдера и оценки (7.10), находим

Здесь c не зависит от ε. Переходя к пределу при ε → 0 в равенстве (7.11), получаем

162 7. ЗАДАЧА СТЕФАНА

7.4. Теорема существования с.о.р.

Теорема 7.2. Пусть ψ H01(Ω). Тогда существует по крайней мере одно с.о.р. v задачи (7.2).

Доказательство. (i) Пусть bρ (v) (0 < ρ 1) — гладкая аппроксимация функции b(v) следующего вида:

bρ (v) = b(v) при v ≤ −ρ и v ≥ ρ, bρ (v) > 0 при − ρ < v < ρ,

bρ (v) = b (v) при v = −ρ и v = ρ.

Таким образом, bρ C1 (R) и bρ −→ b сильно в C1(R \ {v = 0}).

loc ρ→0

Пусть {ψρ (x)}ρ→0 — последовательность равномерно ограниченных бесконечно дифференцируемых финитных в Ω функций,

В теории строго параболических квазилинейных дифференциальных уравнений имеет место следующее утверждение.

Предложение 7.2. При любом малом фиксированном ρ > 0 и при любом показателе α (0,1) задача (7.13) имеет единственное классическое решение

обозначено пространство функций φ: ¯T → R, непрерывно диффе-

Q

ренцируемых по совокупности переменных x и t и таких, что ∂tφ и ∂x2ixj φ (i, j = 1, . . . , d) непрерывны по Гельдеру с показателями α/2 и α соответственно.

где ϕ C∞(Q+) — произвольная функция.

Для любого ε > 0 найдется N N такое, что при всех k > N

имеем

ρk < ε, bρk (vρk ) = b(vρk ) для vρk ≥ v1 + ρk.

Устремляя ε к нулю, заключаем, что

Поскольку последовательности {b(vρk )} и {bρk (vρk )−b(vρk )} равномерно ограничены, в силу (7.21) и теоремы Лебега о сходимости

теплота фазового перехода.

166 7. ЗАДАЧА СТЕФАНА

но это противоречит тому, что v(x , t ) = v1, так как b(v) может быть меньше b−1 только при v < v1 (по определению b(v)). Значит, неравенство (7.23) справедливо. Аналогично доказывается

168 8. ЗАДАЧА ГОМОГЕНИЗАЦИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

1

uδ (0) = uδ (1), uδ (x)dx = um, (8.1b)

0

где a = a(y) является измеримой периодической функцией с пе-

риодом 1 и ограниченной снизу и сверху постоянными a и a ,

0 < a < a < +∞:

f — функция, определенная и непрерывная на [0, 1], um = const

— заданная константа и (8.1b)2 называется условием калибровки (нормирования). Предположим для простоты, что δ = 1/N, N N и, таким образом, что функция x → a(x/δ) периодична по x с периодом δ.

Функция uδ = uδ (x) является искомой функцией, и мы легко покажем, что при каждом фиксированном δ > 0 задача (8.1) имеет единственное решение как в случае, когда a = a(y) является гладкой функцией, так и в случае, когда a = a(y) является негладкой функцией1.

Наша цель в этой главе состоит в поиске предела семейства {uδ }δ>0 при δ → 0. Мы фактически получим предел u0 функции uδ как решение задачи, называемой усредненной задачей.

Прежде чем перейти собственно к исследованию, сделаем комментарий о месте задачи 8.1 в математическом моделировании в механике сплошных сред.

Замечание 8.1. К уравнению (8.1a) в стационарном2 простран- ственно-одномерном случае сводятся уравнение Ламе (1.18) и уравнение баланса тепла (1.19), см. в п. 1.6. Соответственно, (8.1a) имеет ясный смысл в теории упругости и в термодинамике. В теории упругости a — это коэффициент упругости. При этом uδ — смеще-

ние, a pδ = a x duδ — напряжение. В задачах термодинамики a —

δ dx

это коэффициент теплопроводности. При этом uδ — это температу-

ра, а qδ = −a x duδ — это поток тепла.

δ dx

1 В случае когда a = a(y) — негладкая функция, речь идет, конечно, о слабом обобщенном решении.

2Как обычно, стационарным случаем называем тот случай, когда искомые

изаданные величины в задаче не зависят от переменной времени t.

8.2. Лемма о быстро осциллирующих функциях

Для всевозможных интегрируемых функций φ: (0, 1) → R введем обозначение

т. е. φ — это среднее значение функции φ на отрезке (0, 1). Следующая лемма играет ключевую роль в изучении задачи

(8.1) при δ → 0.

Лемма 8.1. Пусть φ: R → R — 1-периодическая в R функция,

Доказательство. Возьмем произвольно η C1[0, 1]. Рассмотрим интеграл

1

φδ (x)η(x)dx.

0

Сделаем замену переменной: s = Nx, dx = ds/N. Получаем

1 1

φδ (x)η(x)dx = φ(Nx)η(x)dx =

0 0

Запишем правую часть в виде суммы интегралов:

1 N−1 k+1

. . . = N k=0 k φ(s)η(s/N)ds = . . .