Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

В формулировке задачи NNE начальное распределение поля скорости v0 = v0(x), распределенная массовая сила f = f(x) и кинематический коэффициент вязкости ν = const > 0 считаются заданными. Заметим, что система (5.52a)–(5.52b) непосредственно вытекает из системы (1.15) в предположении, что плотность ρ является постоянной, что означает однородность жидкости. При этом, как и в формулировках задач SSE, SNE и NSE в п. 4.1, 4.2 и 5.3, вводим ν := μ/ρ, где, напомним, μ — это коэффициент динамической вязкости, и считаем, что ρ = 1.

5.4.2. Понятие слабого обобщенного решения. Решение задачи NNE понимается в обобщенном смысле. Прежде чем сформулировать точное определение слабого обобщенного решения, проведем некоторые предварительные рассмотрения.

Функционал конвекции. Введем в рассмотрение трилинейную форму

Назовем эту форму функционалом конвекции. Этот функционал имеет ряд свойств, которые неоднократно будем использовать в дальнейшем и которые состоят в следующем.

Если одна из функций u, v и w равна нулю на Γ, то, интегрируя

Априорная оценка решения. Выведем формально априорную оценку для обобщенного решения задачи NNE.

112 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Предположим (формально), что {v, p} — это гладкое (классическое) решение задачи. Умножим уравнение количества движения (5.52a) скалярно в L2(Ω)2 на v и проинтегрируем по частям в слагаемом, содержащем v, учитывая при этом однородное граничное условие (5.52c). Получим

(v, ∂tu)2 + b(v, v, v) = −ν[v, v] + f, v H(Ω) − ( p, v)2, (5.57)

где обозначаем f, v H(Ω) := (f, v)2, имея в виду, что при заданном f L2(Ω) функционал ϕ → (f, ϕ)2 принадлежит H(Ω) — пространству, сопряженному к H(Ω).

В силу (5.55) и того, что ( p, v)2 = 0 вследствие соленоидальности v, из (5.57) выводим первое энергетическое тождество

Уточним: здесь и далее считаем, что f L2(0, T ; H(Ω) ). Применяя неравенство Коши с ε := ν к правой части (5.58), выводим

Комбинируя (5.58) и (5.59), приходим к первой энергетической оценке

Отсюда аналогично утверждению (5.35) в доказательстве теоремы 5.2 выводим оценку

О регулярности конвективного слагаемого. Докажем следующую вспомогательную техническую лемму.

Лемма 5.9. (Оценка конвективного слагаемого.) Если v

удовлетворяет (5.62), то

Доказательство. Оцениваем функционал конвекции по неравенству (5.56) и по первому неравенству Лерэ (2.11):

Возводя обе части этого неравенства в квадрат и интегрируя по t, приходим к (5.63) и этим завершаем доказательство леммы.

Определение слабого обобщенного решения I: «предварительная» версия. К настоящему моменту мы не можем точно сформу-

лировать свойства регулярности для v := ∂∂tv . Также мы оставим

на будущее вопрос о принятии решениями начальных данных, то есть пока не обсуждаем то, в каком смысле понимается равенство v(0) = v0. Избегая пока этих вопросов, сформулируем «предварительное» определение слабого обобщенного решения (с.о.р. (I)) задачи NNE следующим образом.

Определение 5.3. Функция v = v(t) называется слабым обобщенным решением (I) (с.о.р. (I)) задачи NNE, если она удовлетворяет условиям регулярности

114 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

и интегральному равенству

T

−(v(t), Φ)2 ψ (t) dt +

0

+ T −b v(t), Φ, v(t) + ν[v(t), Φ] − f(t), Φ H(Ω) ψ(t) dt = 0

0

Φ H(Ω), ψ D(0, T ). (5.68)

Орегулярности v . Следующая лемма отвечает на вопрос о регулярности производной по t возможного слабого обобщенного решения.

Лемма 5.10. (О регулярности v .) Пусть f L2(0, T ; H(Ω) )

и v — это с.о.р. (I) задачи NNE. Тогда

Напомним, что через L(H(Ω), H(Ω) ) стандартно обозначается пространство линейных непрерывных операторов, действующих из H(Ω) в H(Ω) , и заметим, что определение оператора A формулой (5.70) корректно в силу теоремы Рисса (теорема 2.1) и теоремы 2.2, см. в п. 2.2.

Еще определим нелинейный оператор ϕ → g(ϕ) по формуле

В силу произвольности пробных функций Φ H(Ω) и ψ D(0, T ) в равенстве (5.68), из него выводим эквивалентное равенство, записанное в терминах операторов A и g:

v = νAv − g(v) + f.

Здесь g(v) L2(0, T ; H(Ω) ) по лемме 5.9, Av L2(0, T ; H(Ω) ) по построению и f L2(0, T ; H(Ω) ) по условию. Следовательно, v L2(0, T ; H(Ω) ), т. е. имеет место (5.69).

Теперь с учетом полученных в (5.62) и леммах 5.9 и 5.10 априорных свойств возможного обобщенного решения задачи NNE введем «точное строгое» определение слабого обобщенного решения, для которого и будем изучать вопросы корректности.

В (5.68) воспользуемся леммой 5.6 и представим первое слагаемое в виде

после чего в силу произвольности пробной функции ψ из (5.68) выводим интегральное равенство (5.75) (см. ниже), которое не содержит ψ и выполняется почти всюду на (0, T ). В терминах этого равенства формулируем следующее определение.

Определение 5.4. Вектор-функция v = v(t) называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи NNE, если она удовлетворяет условиям регулярности

начальному условию (5.52d) в смысле сильного следа и интегральному равенству

v (t), Φ H(Ω) + ν[v(t), Φ] − b(v(t), Φ, v(t)) = f(t), Φ H(Ω)

Φ H(Ω) и при почти всех t (0, T ). (5.75)

Напомним (см. п. 5.3), мы говорим, что v удовлетворяет (5.52d) в смысле сильного следа, если выполняется предельное соотношение

5.4.3. Единственность с.о.р. задачи NNE. Установим следующий результат о единственности с.о.р.

Теорема 5.4. (Единственность решения)

Пусть f L2(0, T ; H(Ω) ) и v0 J0(Ω). Тогда существует не более одного с.о.р. задачи NNE в смысле определения 5.4.

Доказательство. Пусть v и v — это два с.о.р. задачи NNE в смысле определения 5.4, соответствующие одним и тем же заданным функциям f и v0. Положим w := v − v .

Тогда из (5.75) следует, что

w (t), Φ H(Ω) +ν[w(t), Φ] + b(w(t), v(t), Φ) + b(v (t), w(t), Φ)= 0

Φ H(Ω). (5.77)

116 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В силу включения w L2(0, T ; H(Ω)) функция w является допустимой пробной функцией для (5.77), и мы берем

Оценим в правой части с помощью неравенства (5.56), первого неравенства Лерэ и неравенства Коши с ε := √2 ν:

(5.56)

|b(w(t), v(t), w(t))| ≤ w(t) 24 v(t) H ≤

(2.11) √

≤2 w(t) 2 w(t) H v(t) H ≤

Комбинируя (5.80) и (5.81), интегрируя результат по t и домножая на два, с учетом того, что w(0) 22 = 0, приходим к неравенству

t

w(t) 22 ≤ 1ν v(t ) 2H w(t ) 22 dt . (5.82)

0

Так как v(·) 2H L1(0, T ), то к (5.82) можно применить лемму Гронуолла (лемма 5.2). По лемме Гронуолла получаем

5.4.4. Существование с.о.р. задачи NNE. Теперь установим следующий результат о существовании с.о.р.

Теорема 5.5. (Существование решения.)

Пусть f L2(0, T ; H(Ω) ) и v0 J0(Ω). Тогда существует по меньшей мере одно с.о.р. задачи NNE в смысле определения 5.4.

Доказательство разобьем на шесть этапов.

Этап I. Построение галеркинских приближений.

Пусть {w1, . . . , wk, . . .} — полная ортонормированная система (базис) в H(Ω) и полная ортогональная система (базис) в J0(Ω), например, составленная из собственных векторов оператора ,, см. теорему 4.4 и замечание 4.3.

Разложим начальную функцию v0 J0(Ω) в ряд Фурье в J0(Ω) по базису {wj }j=1,2,...:

снабженной начальными условиями

gjm(0) = gj (0), j = 1, . . . , m. (5.86)

Отметим, что конструкция интегральных уравнений (5.85) основана на форме интегрального равенства (5.75): как видно, (5.85) получается из (5.75) формальной заменой пары {v, Φ} на {vm, wj } и при этом подразумевается, что

118 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Систему (5.83), (5.85), (5.86), в которой значения gk(0) заданы, назовем приближенной системой Галеркина для задачи NNE, а функции vm назовем галеркинскими приближениями.

Подставляя (5.83) в (5.85), с учетом ортонормированности системы {wj }j=1,2,... в H(Ω), приходим к системе

Таким образом замечаем, что система Галеркина представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомых функций g1m, . . . , gmm с данными Коши (5.86).

Поскольку система {wj }j=1,2,... линейно независима, то опре-

делитель Грама det (wi, wj )2 i,j=1,...,m отличен от нуля, а значит матрица Грама (wi, wj )2 i,j=1,...,m обратима. Следовательно, си-

стема (5.88) приводится к нормальному виду, и по классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [18] задача Коши (5.88), (5.86) имеет единственное решение (g1m, . . . , gmm) на некотором интервале [0, t ], где t — некоторый положительный момент времени6.

Этап II. Вывод равномерной оценки для vm. Домножая каждое из j-х уравнений в (5.85) на gjm(t) и суммируя результаты по j от 1 до m, с учетом (5.83) приходим к первому энергетическому тождеству (5.58) на сегменте (0, t ] с функцией vm на месте v. Точно следуя рассуждениям из этапа II доказательства теоремы 5.2, из первого энергетического тождества выводим для vm первую энергетическую оценку вида (5.60), из которой, в свою очередь, выводим, что

t

vm L2(0,t ;H(Ω)) + vm L∞(0,t ;J0(Ω)) ≤ v0 22 + 1ν f(t) 2H(Ω) dt.

0

(5.89) Заметим, что правая (б´ольшая) часть в этой оценке не зависит от m. На основании этой оценки можем продолжить решение vm сначала на интервал [0, 2t ], затем — на интервал [0, 3t ] и, продолжая

6 Говорим, что система (5.88), (5.86) локально разрешима.

процесс, на весь интервал [0, T ]. Комбинируя все оценки, получающиеся в этом процессе, выводим равномерную по m оценку

в которой постоянная c зависит от f L2(0,T ;H(Ω) ), v0 J0(Ω), ν и T и не зависит от m и vm.

Этап III. Вывод равномерной оценки для vm. Вспомним операторы A и g, введенные в рассмотрение в доказательстве леммы 5.10. В силу свойств этих операторов из (5.90) вытекает оценка

в которой постоянная c зависит от c и A L(H(Ω),H(Ω) ) и не зависит от m и vm.

Введем в рассмотрение оператор проектирования Pm, действующий из H(Ω) в конечномерное (m-мерное, более точно) подпро-

Очевидно, Pm — это линейный оператор. Несложно показать, что

В терминах операторов Pm, A и g система (5.85) имеет эквивалентный вид8

Этап IV. Сходимость последовательности галеркинских приближений. В силу (5.90) и (5.95) найдутся подпоследовательность

7 Считаем, что в Xm норма и скалярное произведение определены точно так же, как в H(Ω), т. е. являются индуцированными.

8 Обоснование равносильности (5.85) и (5.94) между собой является несложным упражнением из функционального анализа.

120 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

из {vm}m=1,2,..., по-прежнему обозначаемая через {vm}, и предельная функция v, удовлетворяющая требованиям регулярности (5.73) и (5.74), такие, что

на – Лионса (теорема 5.1) из (5.96) и (5.98) следует предельное

Далее, в силу (5.97) найдутся функции χik L∞(0, T ; L1(Ω)), i, k = 1, 2 такие, что

На основании (5.100) и (5.101) заключаем, что при каждом фиксированном j N имеет место предельное соотношение

Наконец, на основании (5.98) выводим предельное соотношение

Этап V. Переход к пределу в системе Галеркина. Временно зафиксируем M N. Переходим к пределу в (5.85) при m → ∞ на основании предельных соотношений (5.96), (5.102) и (5.103). Таким образом выводим систему интегральных равенств

Вспомним, что множество линейных комбинаций базисных функций wj плотно в H(Ω). А именно, любую функцию Φ H(Ω) можно с любой точностью приблизить частичными суммами ряда Фурье. Домножая каждое из j-х равенств (5.104) на j-й коэффициент Фурье функции Φ, складывая все равенства по j от 1 до M и после