Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Далее установим оценку внутренней регулярности для с.о.р. задачи SSE.

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Пусть Ω C2 — строго внутренняя подобласть области Ω. Тогда с.о.р. v задачи SSE принадлежит пространству Соболева H2(Ω )n и

имеет место оценка внутренней регулярности

в которой положительные постоянные c (ν, Ω , Ω) и c (Ω , Ω) зависят только от величины ν и формы областей Ω и Ω и не зависят от f и v.

Доказательство. Разобьем обоснование теоремы на четыре этапа.

Этап 1. Зафиксируем Ω — строго внутреннюю подобласть в Ω такую, что Ω Ω Ω, причем вложение Ω Ω тоже строгое.

Положим

Рассмотрим функцию ξ D(Rn), такую, что 0 ≤ ξ ≤ 1 и

Такая функция существует: вспомним замечание 3.2.

Возьмем пробную функцию Φ в (4.2) в виде Φ = rot(ξ2 rot vh)h, где через φh обозначается усреднение (сглаживание) всевозможных функций φ, см. определение 2.17 в п. 2.7. Напомним, что оператор rot определен в п. 2.8 в определении 2.18.

Непосредственным вычислением заметим, что

где последнее из равенств имеет место в силу того, что div vh = 0. Теперь по свойствам оператора усреднения из леммы 2.8 с по-

мощью (4.5) выводим представления

где c1(ξ) = max ξ2 и c2( ξ) — положительная постоянная, завися-

Ω

щая только от max | ξ|.

Ω

Комбинируя (4.8) с (4.9)–(4.11), выводим неравенство

Этап 3. Возьмем ε = ν/2, подынтегральное выражение в левой части представим в форме

ξ2| vh|2 =|Δ(ξvh) − (Δξ)vh − vh ξ|2 = =|Δ(ξvh)|2 + | ξ|2vh2 + | vh ξ|2 −

− 2Δ(ξvh) · (Δξ)vh − 2Δ(ξvh) · ( vh ξ) +

+2(Δξ)vh · ( vh ξ),

ис учетом этого преобразуем (4.12) к следующему виду:

74 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Теперь отбрасываем знакоопределенные (неотрицательные) второе и третье слагаемые в меньшей части неравенства и оцениваем б´ольшую часть сверху аналогично тому, как проводилось оценивание правой части равенства (4.8) на втором этапе доказательства. В частности, к каждому из трех последних интегралов в правой части (4.13) применяем неравенство Коши с ε. В результате приходим к

оценке

12 − ε ν |Δ(ξvh)|2dx ≤

в котором положительная постоянная c5(ξ, ξ) зависит только от max |ξ| и max | ξ|, и после переобозначений и несложных техниче-

ских преобразований выводим оценку

Δ(ξvh) 22,Ω + ξvh 21,2,Ω ≤ ν82 c1(ξ) fh 22,Ω +

Этап 4. Теперь в меньшей части неравенства оцениваем снизу сначала по неравенству (2.9), а затем по неравенству (2.16) из леммы 2.7, что законно, так как функция x → ξ(x)vh(x) является гладкой и финитной в Ω и, наконец, замечаем, что интеграл по Ω от положительного выражения превосходит интеграл по Ω , так как Ω Ω , и вспоминаем, что ξ ≡ 1 на Ω . Получаем

где c6(Ω ) — постоянная из неравенства (2.16).

В большей части (4.15) по свойству (iii) леммы 2.8, по неравенству Пуанкаре – Фридрихса и в силу того, что Ω Ω, замечаем, что

где c7(Ω ) — постоянная из оценки (2.22) в лемме 2.8 и cp(Ω) —

c (ν, Ω , Ω) и c (Ω , Ω) = c (Ω , Ω), как и указано в формулировке теоремы: очевидно из построений на этапе 1, что подобласть Ω и

76 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

функция ξ подбирались в зависимости только от формы (геометрии) подобласти Ω и области Ω.

Остается заметить, что правая часть в неравенстве (4.18) определена и конечна по теореме 4.1 и не зависит от h. В силу этого по утверждению (iv) леммы 2.8 заключаем, что v H2(Ω )n и что оценка (4.18) имеет место с функцией v на месте vh, а это и есть

Применяя теорему 4.2, можем по с.о.р. задачи SSE восстановить функцию давления p = p(x). Более точно, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.3. (О восстановлении давления.) Пусть выполнены условия теорем 4.1 и 4.2 и v H(Ω) ∩ H2(Ω )n — это с.о.р. задачи SSE. Тогда существует функция p H1(Ω ), такая что пара (v, p) удовлетворяет системе уравнений Стокса (4.1a), (4.1b) почти всюду в Ω .

При этом функция p в Ω определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. Возьмем в равенстве (4.2) произвольную пробную функцию Φ J˙(Ω ). Здесь напомним, что пространство J˙(Ω ) вводится согласно п. 2.8. Тогда в силу установленного в теореме 4.2 свойства регулярности v H2(Ω )n интегральное равенство

(4.2) можно с помощью формулы Грина преобразовать к виду

(ν v − f) · Φ dx = 0.

Ω

Так как J˙(Ω ) плотно в J0(Ω ) и ν v − f L2(Ω ), то по лемме 2.10 заключаем, что ν v − f — это градиент некоторой функции p H1(Ω ), так что ν v − f = p, и p есть искомое давление.

Остается заметить, что p определяется в Ω очевидно однозначно. Соответственно, p определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной.

Завершим изложение этого параграфа рассмотрением спектральной задачи, ассоциированной со стационарными уравнениями Стокса. Забегая несколько вперед, заметим, что получаемый при этом рассмотрении результат далее будет нам полезен в этой главе при доказательстве теоремы 4.7 и в главе 5 при изучении нестационарных уравнений Стокса.

Теорема 4.4. Пусть Ω Rn — область с кусочно-липшицевой границей Γ. Тогда существуют последовательность вещественных чисел {λ = λk}k=1,2,... и соответствующая ей система линейно независимых решений {v = vk}k=1,2,... H(Ω) спектральной задачи

так, что {vk}k=1,2,... — это ортогональный базис в пространстве H(Ω) и в пространстве J0(Ω).

Замечание 4.2. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным в замечаниях 3.1 и 4.1, заключаем, что задача (4.19) является обобщенной формулировкой задачи

Доказательство теоремы 4.4. Спектральная задача (4.19) является задачей вида (2.4) (см. в п. 2.2), в которой X = H(Ω), Y = J0(Ω) и скалярное произведение в H(Ω) определяется формулой (2.25) (или (2.7), что то же самое). Напомним, что по теореме Реллиха (теорема 2.5) имеет место вложение H(Ω) →→ J0(Ω). В силу этого, применяя теорему 2.4, сразу приходим к утверждению теоремы 4.4.

Замечание 4.3. Укажем в явном виде оператор, для которого последовательности {λk}k=1,2,... и {vk}k=1,2,... из теоремы 4.4 являются множествами собственных чисел и функций, соответственно.

По теореме 4.1 имеем, что отображение f → v, действующее из L2(Ω)n в некоторое линейное подпространство H H(Ω), взаимно однозначно. Здесь f — заданная функция в задаче SSE и v — с.о.р. задачи SSE. Значит, корректно определен линейный оператор ,−1: L2(Ω)n → H по правилу v = ,−1f. Сравнивая формулировки (4.2) и (4.19), несложно заметить, что {λk}k=1,2,... и {vk}k=1,2,... являются множествами собственных чисел и функций оператора ,: H → L2(Ω)n, для которого оператор ,−1 является обратным.

Более подробные сведения об операторе , можно найти в монографии [9, гл. II, § 4].

4.2. Нелинейная задача

Изучим следующую краевую задачу для стационарных уравнений Навье — Стокса динамики однородной вязкой несжимаемой жидкости.

78 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Задача SNE. В ограниченной области Ω Rn (n = 2, 3) с кусочно-липшицевой границей Γ = ∂Ω требуется найти распределения полей скорости v: Ω → Rn и давления p: Ω → R, удовлетворяющие уравнениям количества движения

уравнению неразрывности

и однородному граничному условию

В формулировке задачи SNE распределенная массовая сила f = f(x) и кинематический коэффициент вязкости ν = const > 0 считаются заданными. Заметим, что система (4.21a)–(4.21b) непосредственно вытекает из системы (1.15) в предположении, что плотность ρ является постоянной, что означает однородность жидкости, и что движение является установившимся (другими словами, стационарным), т. е. входящие в уравнения искомые функции v и p и заданная функция f не зависят от t. При этом, как и в формулировке задачи SSE в п. 4.1, вводим ν := μ/ρ, где, напомним, μ — это коэффициент динамической вязкости, и считаем, что ρ = 1.

Решение задачи SNE понимается в обобщенном смысле.

Определение 4.2. Функция v H(Ω) называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи SNE, если она удовлетворяет интегральному равенству

для всевозможных пробных функций Φ H(Ω).

Снова напомним, что H(Ω) — это подпространство пространства H01(Ω)n, состоящее из соленоидальных функций, и что в H(Ω) скалярное произведение [·, ·] вводится формулой (2.25), а норма — формулой (2.26), см. п. 2.8.

Замечание 4.4. Формальный вывод интегрального равенства (4.22) из системы (4.21) проводится рассуждениями, аналогичными рассуждениям из замечаний 3.1 и 4.1. Также, аналогично замечанию 4.1, обратим внимание на то, что в определении 4.2 отсутствует искомое распределение давления p.

Как и для задачи SSE, можно поставить вопрос о восстановлении давления p по найденному с.о.р. v задачи SNE. Этот вопрос мы ставим в настоящем параграфе наряду с вопросами о существовании и единственности с.о.р. Более того, с него и начнем изучение задачи SNE.

Докажем следующую теорему, которая пока имеет условный характер, поскольку существование с.о.р. задачи SNE еще не обосновано.

Теорема 4.5. (О восстановлении давления.) Пусть v

H(Ω) — с.о.р. задачи SNE, обладающее дополнительным по отношению к определению 4.2 свойством регулярности v H2(Ω )n, где Ω C2 — некоторая строго внутренняя подобласть области Ω. Пусть f L2(Ω)n. Тогда существует функция p H1(Ω ), такая, что пара (v, p) удовлетворяет системе уравнений Навье — Стокса (4.21a), (4.21b) почти всюду в Ω .

При этом функция p в Ω определяется по v единственным образом с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство аналогично обоснованию теоремы 4.3.

В (4.22) возьмем произвольную пробную функцию Φ J˙(Ω ). Здесь напомним, что пространство J˙(Ω ) вводится согласно п. 2.8. Тогда по условиям регулярности v H2(Ω )n и f L2(Ω)n интегральное равенство (4.22) можно с помощью формулы Грина и с

учетом соленоидальности функции v преобразовать к виду

(ν v − (v · )v + f) · Φ dx = 0.

Ω

Еще заметим, что по теореме вложения Соболева [4, § 3.1, следствие 1 теоремы 3.1.1; 23, гл. 1, § 8, теорема 1] из включения v

2 n ( ) следует, что v ¯ , откуда очевидно выте-

H (Ω ) n = 2, 3 C(Ω )

кает включение (v · )v L2(Ω ). Теперь, так как J˙(Ω ) плотно в J0(Ω ) и ν v−(v·)v+f L2(Ω ), то по лемме 2.10 заключаем, что ν v − (v · )v + f — это градиент некоторой функции p H1(Ω ), так что ν v − (v · )v + f = p, и p есть искомое давление.

Остается заметить, что при известных v и f давление p определяется в Ω очевидно однозначно. Соответственно, p определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной.

Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании с.о.р. у задачи SNE.

80 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Доказательство существования с.о.р. будет произведено с использованием теоремы Лерэ — Шаудера. Приведем сейчас ее формулировку.

Теорема 4.6. (Ж. Лерэ, Ю. Шаудер.) Пусть A: X → X —

вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве X. Если все возможные решения уравнений

u = λAu

для λ [0, 1] не выходят за пределы некоторого шара

Теперь докажем существование с.о.р. задачи SNE.

Теорема 4.7. Для любой заданной функции f L2(Ω)n существует по меньшей мере одно с.о.р. v H(Ω) задачи SNE в смысле определения 4.2.

При этом каждое2 с.о.р. удовлетворяет оценке Лерэ

в которой cp(Ω) — это постоянная из неравенства Пуанкаре — Фридрихса.

Доказательство. Разобьем обоснование теоремы на два этапа. На первом этапе мы сводим исходную формулировку в виде вариационного уравнения (4.22) к эквивалентной задаче на определение неподвижной точки оператора. На втором этапе проверяем, что построенный (на первом этапе) оператор удовлетворяет условиям теоремы Лерэ — Шаудера и поэтому имеет по меньшей мере одну неподвижную точку.

Этап 1. Заметим, что отображение

2 Допускаем, что решений может быть больше, чем одно.