Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

62 3. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА. СПЕКТР ЛАПЛАСИАНА

3.1. Краевая задача для уравнения Пуассона

Перейдем непосредственно к исследованию корректности однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве

H01(Ω)m.

Будем далее считать, что Ω Rn — это ограниченная область с кусочно-липшицевой границей Γ = ∂Ω, а f L2(Ω)m — заданная функция, n, m N.

Решение задачи (3.1) понимается в слабом обобщенном смысле.

Определение 3.1. Функция u H01(Ω)m называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи (3.1), если она удовлетворяет интегральному равенству

Замечание 3.1. Формально интегральное равенство (3.2) выводится из системы (3.1) следующим образом. Предполагаем на секунду, что u является дважды дифференцируемой функцией и удовлетворяет уравнению (3.1)1 везде в Ω и граничному условию (3.1)2 в каждой точке Γ, т. е. u — это классическое решение. Домножаем обе части (3.1)1 скалярно в L2(Ω)m на произвольную пробную функцию ϕ, получаем таким образом интегральное равенство

Теперь в левой части (3.3) применяем формулу Грина

(Δu, ϕ)2 = −( u, ϕ)2 + ( u)ϕ · n dΓ = −( u, ϕ)2,

Γ

где интеграл по Γ обращается в нуль в силу условия ϕ Γ= 0, и приходим в точности к (3.2).

Из этого построения следует, что если u является классическим решением задачи (3.1), то оно является с.о.р. в смысле определения 3.1. С другой стороны, обращая рассуждения, видим, что если с.о.р. оказывается дважды непрерывно дифференцируемой функцией, то оно является классическим решением задачи (3.1). В этом смысле понятия с.о.р. и классического решения хорошо согласованы.

Справедлива следующая теорема о корректности задачи (3.1).

в котором постоянная c(Ω) зависит только от формы области Ω и не зависит от u и f.

Доказательство. Интегральное уравнение (3.2) для искомой функции u H01(Ω)m является вариационной задачей вида (2.2) (см. в п. 2.2), в которой X = H01(Ω)m, Y = L2(Ω)m и скалярное произведение в H01(Ω)m определяется формулой (2.7). По теореме Реллиха (теорема 2.5) имеет место вложение H01(Ω)m →→ L2(Ω)m, причем выполняется оценка вложения (2.1) в форме неравенства Пуанкаре – Фридрихса (см. лемму 2.2 и замечание 2.5). В силу этого, применяя теорему 2.2, сразу приходим к утверждению теоремы 3.1, причем постоянная c(Ω) в (3.4) зависит только от постоянной в неравенстве Пуанкаре – Фридрихса.

Далее, установим оценку внутренней регулярности для с.о.р. задачи (3.1).

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Пусть

Ω и Ω — две произвольные строго внутренние подобласти области Ω такие, что ∂Ω , ∂Ω C2 и Ω строго вложено в Ω .

Тогда с.о.р. u задачи (3.1) принадлежит пространству Соболева

H2(Ω )m и имеет место оценка внутренней регулярности

Доказательство основано на специальном выборе пробной функции ϕ в интегральном равенстве (3.2).

Введем в рассмотрение оператор взятия конечной разности

где ei — вектор стандартного декартова базиса в Rnx. Несложно установить следующие свойства этого оператора:

(i) (δihf, g)2 = −(f, δi−hg)2 f, g L2(Ω)m,

(ii) если f L2(Ω)m, supp f лежит строго внутри Ω и существует обобщенная производная fxi L2(Ω)m, то имеют место оценка

Рассмотрим функцию ξ D(Rn), такую, что 0 ≤ ξ ≤ 1 и

(

1, x Ω , ξ(x) = h0

0, x / Ω 2 h0 .

3

Замечание 3.2. Функция ξ с указанными свойствами существует: например, можно взять функцию, аналогичную функции ζh, определенной формулой (2.21) в п. 2.7. Точную форму этой функции находить не будем, хотя это несложно. Главное, важно заметить, что эта форма определяется только формой области Ω и величиной h0.

Теперь подставим в качестве пробной функции в (3.2) функцию ϕ := ξv0 H01(Ω)m, где v0 H1(Ω)m — произвольная функция. Заметим, что в силу конструкции функции ξ носитель ϕ лежит строго

В этом равенстве при |h| < h0 берем v0 = δi−hv1, где v1 H1(Ω)m

где обозначено (u ξ)kl := ukξxl . Здесь возьмем модули от левой и правой частей и в правой части оценим по неравенству Коши — Буняковского и неравенству (3.6). В результате выводим неравен-

Выбираем здесь v1 = δih(ξu), после чего делим3 обе части неравенства на δih(ξu) 2,Ω и применяем снова неравенство Коши — Буняковского. После несложных технических выкладок находим

где постоянная c = c(ξ) зависит только от норм ξ 2,Ω , ξ 2,Ω и ( ξ) 2,Ω . Поскольку вид самой функции ξ зависит только от формы области Ω и величины h0 (см. замечание 3.2 выше), справедливо также писать, что c = c(ξ) — это c = c(Ω ), как и указано в формулировке теоремы.

Наконец, устремляя в оценке (3.8) параметр h к нулю, в силу (3.7) и того, что ξ ≡ 1 на Ω , выводим неравенство

uxi 2,Ω ≤ (ξu)xi 2,Ω ≤ c(Ω ) f 2,Ω + u H1(Ω ) , i = 1, . . . , n,

комбинируя которое с оценкой (3.4), окончательно выводим оценку (3.5). Очевидно, оценка (3.5) означает принадлежность u пространству u H2(Ω )m. Теорема доказана.

Замечание 3.3. Прокомментируем выбор пробной функции ϕ в (3.2), сделанный в доказательстве теоремы 3.2.

По существу, утверждение теоремы 3.2 — это утверждение о том, что все вторые производные ∂2u/∂xi∂xj слабого обобщенного решения u принадлежат пространству L2(Ω ). Если совершенно пренебречь математической строгостью и подойти к вопросу сугубо формально, то в (3.2) можно взять

∂2u

ϕ = (i = 1, . . . , n). (3.9) ∂x2i

3 Если δih(ξu) 2,Ω = 0, то uxi 2,Ω = 0 по свойству (ii) оператора δih и вывод искомой оценки завершается тривиально.

С таким выбором ϕ, домножая обе части (3.2) на −1, интегрируя по частям по xi в первом интеграле, перенося в правую часть второй интеграл, оценивая затем по неравенству Коши — Буняковского, добавляя «недостающие до градиента» производные и оценивая по неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным (неравенство (2.9) в п. 2.6.2), конструируем следующую цепочку соотношений:

Таким образом приходим к uxi 2,Ω ≤ √n f 2,Ω, i = 1, . . . , n, т. е. получаем искомую оценку на вторые производные, причем сразу во

всей области Ω.

Очевидно, приведенное только что рассуждение неверно, поскольку выбор пробной функции в виде (3.9) некорректен. В част-

∂2u

ности, третьи производные не определены, поскольку по тео-

∂x2i

реме 3.1 гарантируется только существование первых обобщенных производных по Соболеву у u. С другой стороны, это нестрогое формальное рассуждение наводит на идею заменить операторы дифференцирования ∂xi в форме пробной функции ϕ на приближающие их в смысле предельного соотношения (3.7) операторы δih, так что подстановка пробной функции в (3.2) становится законной и во всем рассуждении далее восстанавливается полная математическая строгость. Как можно заметить из доказательства теоремы 3.2, именно эта идея успешно реализована, а пробная функция ϕ в полном виде записывается так:

ϕ = ξδi−hδih(ξu).

Замечание 3.4. Возьмем в (3.2) пробную функцию ϕ H01(Ω)m такую, что supp ϕ Ω , где Ω — подобласть, определенная в формулировке теоремы 3.2. Тогда в силу теоремы 3.2 законно применить формулу Грина в первом интеграле в левой части (3.2), и таким образом выводим, что

откуда в силу произвольности функции ϕ следует, что уравнение Пуассона u = f выполняется почти всюду в Ω .

3.2. Спектральная задача для оператора Лапласа

Изучим спектральную задачу для оператора Лапласа в H01(Ω)m и L2(Ω)m. Результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 3.3. Пусть Ω Rn — область с кусочно-липшицевой границей Γ. Тогда существуют последовательность вещественных чисел {λ = λk}k=1,2,... и соответствующая ей система линейно независимых решений {u = uk}k=1,2,... H01(Ω)m спектральной задачи

так, что {uk}k=1,2,... — это ортогональный базис в пространстве H01(Ω)m и в пространстве L2(Ω)m.

Замечание 3.5. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным в замечании 3.1, заключаем, что задача (3.10) является обобщенной формулировкой спектральной задачи для оператора Лапласа :

− u = λu на Ω, u = 0 на Γ.

Доказательство теоремы 3.3. Спектральная задача (3.10) является задачей вида (2.4) (см. в п. 2.2), в которой X = H01(Ω)m, Y = L2(Ω)m и скалярное произведение в H01(Ω)m определяется формулой (2.7). Напомним, что по теореме Реллиха (теорема 2.5) имеет

70 4. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Определение 4.1. Функция v H(Ω) называется слабым обобщенным решением (с.о.р.) задачи SSE, если она удовлетворяет интегральному равенству

для всевозможных пробных функций Φ H(Ω).

Напомним, что H(Ω) — это подпространство пространства H01(Ω)n, состоящее из соленоидальных функций, и что в H(Ω) скалярное произведение [·, ·] вводится формулой (2.25), а норма — формулой (2.26), см. п. 2.8.

Замечание 4.1. Формальный вывод интегрального равенства (4.2) из системы (4.1) проводится рассуждениями, аналогичными рассуждениям из замечания 3.1. Обратим внимание на то, что в определении 4.1 отсутствует искомое распределение давления p. Это связано с тем, что [ p, Φ] = 0 для любых Φ H(Ω) в силу утверждения (i) леммы 2.10. Вопрос о восстановлении давления p поставим апостериори, т. е. после того как существование с.о.р. v задачи SSE будет обосновано.

Сформулируем и докажем утверждение о корректности задачи SSE во введенном классе с.о.р.

Теорема 4.1. Для любой заданной функции f L2(Ω)n существует единственное с.о.р. v H(Ω) задачи SSE в смысле определения 4.1.

При этом имеет место оценка

в которой постоянная c(Ω) > 0 зависит только от формы области Ω и не зависит от v и f.

Доказательство. Интегральное уравнение (4.2) для искомой функции v H(Ω) является вариационной задачей вида (2.2) (см. в п. 2.2), в которой X = H(Ω), Y = J0(Ω). Здесь напомним, что J0(Ω) — это подпространство пространства L2(Ω)n, состоящее из соленоидальных функций, см. п. 2.8. По теореме Реллиха (теорема 2.5) имеет место вложение H(Ω) →→ J0(Ω), причем выполняется оценка вложения (2.1) в форме неравенства Пуанкаре – Фридрихса (см. лемму 2.2 и замечание 2.5). В силу этого, применяя теорему 2.2, сразу приходим к утверждению теоремы 4.1, причем постоянная c(Ω) в (4.3) зависит только от постоянной в неравенстве Пуанкаре

– Фридрихса.