Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

132 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Считаем, что жидкость занимает фиксированную ограниченную односвязную область Ω R2x с гладкой границей Γ := ∂Ω C 3. На границе области ставится условие непротекания

и в начальный момент времени ставится условие

в котором a — это заданное начальное распределение поля скорости. Поскольку поле скорости — соленоидальное, что, напомним, является следствием несжимаемости жидкости, то функция a должна удовлетворять условиям согласования

В (6.2d), (6.3)2 и далее через n обозначается вектор внешней единичной нормали к Γ.

Таким образом, мы сформулировали следующую задачу непротекания для системы уравнений Эйлера в случае плоских течений однородной идеальной несжимаемой жидкости.

Задача NEE. В пространственно-временном цилиндре QT := Ω × (0, T ], где Ω — область физических позиций, описанная выше, и T — произвольно фиксированный положительный момент времени, требуется определить распределения полей скорости v = v(x, t) и давления p = p(x, t), удовлетворяющих уравнениям (6.2a)–(6.2c) (или, эквивалентно, (6.1)), граничному условию (6.2d) и начальному условию (6.2e).

Изучение этой задачи будем проводить в терминах других искомых функций, нежели скорость v и давление p, что мотивируется применяемыми в дальнейшем методами функционального анализа. Поэтому в следующем пункте проведем преобразование исходной постановки (задачи NEE).

6.1.2. Формулировка задачи в терминах искомых переменных Гельмгольца. С техническими целями введем в рас-

смотрение третью пространственную координату и запишем вектор

Если известен вихрь ω, то функция тока ψ служит решением уравнения Пуассона

Действительно, подставляя (6.6) в уравнение div v = 0, выводим в точности уравнение (6.7).

Определение 6.1. Функции ψ и ω называются (искомыми) переменными Гельмгольца.

Теперь положим

Далее для простоты считаем, что f = g, т. е. f — потенциальная сила. Тогда

Продифференцируем (формально) (6.2b) по x, (6.2a) по y и возьмем разность получившихся выражений (соответственно, их левых и правых частей) c учетом (6.9). К результирующему уравнению добавим уравнение Пуассона (6.7) и формулы (6.6) для восстановления поля скорости. Таким образом мы составляем систему уравнений Эйлера в переменных Гельмгольца:

Замечание 6.1. По построению очевидно, что для гладких входящих функций системы (6.2a)–(6.2c) и (6.10a)–(6.10c) равносильны друг другу, с дополнительным учетом (6.9).

будет основано на теореме Тихонова – Шаудера о неподвижной точке. Для того чтобы применить эту теорему, необходимо провести основательную подготовительную работу, которая заключается в изучении решений каждого из уравнений системы (6.10a)–(6.10c) по отдельности в предположении, что коэффициенты и правые части уравнений заданы. Эту подготовительную работу мы проведем далее в п. 6.3–6.5, а в ближайшем параграфе начнем с того, что введем в рассмотрение пространства Гельдера непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций, в терминах которых будет проводиться исследование.

странством функций, непрерывных по Гельдеру с показателем α

Определение 6.3. В случае если α = 1, пространство Гельдера называем пространством Липшица (пространством липшицевых

пространство l раз непрерывно-дифференцируемых функций, про-

В двухмерном (n = 2) случае имеем [3, гл. III, § 11, п. 8]

1

F (θ) = − 2π ln |θ|.

Функция Грина обладает следующими основными свойствами.

Лемма 6.1. Справедливы следующие утверждения:

(i)G(x, y) = G(y, x) при x = y;

(ii)g C ∞(Ω × Ω);

в которых c(Ω) — это постоянная, зависящая только от формы области Ω.

Обоснование всех утверждений леммы 6.1 можно найти, например, в [3]. В настоящем пособии мы его приводить не будем.

6.4. Почти-липшицевость поля скорости

Изучим решение (6.19) задачи (6.14): докажем следующую лем-

му.

Лемма 6.2. (О почти-липшицевости поля скорости.) Если ψ H2(Ω) — решение задачи (6.14) в области Ω с указанными выше в п. 6.1.1 свойствами и функцией ω в правой части уравне-

138 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Так как Ω ограничена, то найдутся точка x R2 и число R > 0 такие, что Ω лежит в круге радиусом R с центром в x.

|z|≤R

Комбинируя (6.27) и (6.29), выводим оценку (6.24), в которой c(Ω) = 2πR c (Ω).

В силу этого, применяя (6.21) и переходя затем к полярным координатам для точного вычисления интегралов, оцениваем I1 следующим образом:

Теперь оценим I2, используя формулу Лагранжа конечных при-

ращений и (6.22):

I2 = | xG(x, z) − yG(y, z)| dz ≤

02d

Вэтой цепочке неравенств обозначили xτ := xτ +y(1−τ), заметили,

что d ≤ |xτ − z| ≤ 2R при z Ω \ B2d, где, напомним, d = |x − y| и величина R зафиксирована в начале доказательства, зависит от формы Ω и превосходит diam Ω.

Комбинируя (6.32) и (6.33), выводим (6.25) и этим завершаем доказательство леммы.

Замечание 6.3. Функция ζ(θ) = θ(1+| ln θ|) называется почтилипшицевой, поскольку она является непрерывной по Гельдеру в окрестности нуля (например, на отрезке [0, 1]) с любым показателем α (0, 1), но не является липшицевой:

ζ Cα [0, 1] α (0, 1), ζ / Lip [0, 1].

Если в формулировке леммы 6.2 функция ω имеет смысл вихря в описании некоторого течения идеальной несжимаемой жидкости и, соответственно, ψ имеет смысл функции тока, то для поля скоростей v этой жидкости согласно (6.6) (или (6.10c), что то же самое) имеем

|v(x) − v(y)| = | xψ(x) − yψ(y)|,

140 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

т. е. поле скоростей является почти-липшицевым по пространственным переменным3. С этим наблюдением и связано название леммы 6.2.

6.5. Оператор сдвига вдоль траекторий и его свойства

Введем в рассмотрение следующую конструкцию, основанную

где c = const, т. е. v — это почти-липшицева функция по пространственным переменным.

Рассмотрим задачу Коши для системы (вообще говоря) нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормаль-

Переменные x и t входят в постановку этой задачи параметрически, а вектор-функция s → y(s; x, t) является искомой.

Напомним, что если v — это поле скорости сплошной среды, то

§ 2, теорема 2.1] существует по меньшей мере одно решение задачи (6.37) на [0, T ]. В силу (6.36) по критерию Осгуда [28, гл. III, § 6, следствие 6.2] решение единственно. Заметим, что, так как v · n = 0 на Γ, то траектории частиц не входят в область Ω и не выходят из

3В общем случае v, ψ и ω зависят также от t, но, как уже отмечено в

п.6.3, зависимость эта — параметрическая и символ t мы опускаем.

4 Имеется в виду неподвижная (инерциальная) система координат физических позиций.