Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

12 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

Грубо схематически сплошные среды можно подразделять на

жидкости, газы и деформируемые твердые тела. Вместе с этим заметим условность такой классификации. Например, твердый кусок смолы ведет себя как деформируемое твердое тело, если его наблюдать в течение короткого интервала времени (минута, час), но имеет свойство плавно растекаться по поверхности за достаточно большое время (месяц, год), т. е. на большом масштабе времени ведет себя как жидкость.

Механика сплошных сред изучает механические и тепловые процессы, протекающие в сплошных средах под влиянием приложенных внешних воздействий со стороны других тел. Как естественная наука, механика сплошных сред подразделяется на эксперимен- тально-физическую и теоретическую. Настоящий учебный курс посвящен вопросам только теоретической механики сплошных сред.

Метод теоретической механики сплошных сред заключается в том, что на основе общих физических законов и систематизированных данных экспериментов строится математическая модель поведения того или иного класса сплошных сред.

Математическая модель представляет собой систему соотношений (уравнений и неравенств), связывающих величины, характеризующие различные свойства среды. Обычно это — дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и конечные алгебраические уравнения, к которым добавляются начальные и граничные условия.

Для понимания физических основ формирования математических моделей механики сплошных сред вначале полезно обратиться к молекулярному (микро) описанию. Пусть некоторый объем V сплошной среды содержит N молекул μi (i = 1, . . . , N). Тогда знание массы mi молекулы μi, ее положения xi0 и скорости vi0 в момент времени t0, а также действующей на нее силы fi определяет положение и скорость этой молекулы в любой момент времени t через решение дифференциального уравнения второго закона Ньютона (с начальными условиями)

mix¨i = fi, xi(t0) = xi0, x˙ i(t0) = vi0 (i = 1, . . . , N).

Если бы такое определение удалось, то можно было бы ответить на любой вопрос о поведении среды в объеме V . Однако этот путь неприемлем, так как число N очень велико (например, в 1 см3 воздуха при нормальных условиях содержится 2,7 · 1019 молекул), а силы fi точно не известны. Поэтому микроописание сплошных сред

не представляется возможным и заменяется макроописанием, в котором основными являются средние величины и, соответственно, макроописание движения сплошной среды и его взаимодействия с другими физическими телами — это осредненное описание.

Рассмотрение средних величин является методологической основой конструирования математических моделей сплошных сред.

Наиболее широко распространены две макротеории: молеку- лярно-кинетическая и феноменологическая.

Вмолекулярно-кинетической теории, по-другому еще называемой кинетической теорией газов, используется базовая модель, основанная на статистическом (вероятностном) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играет уравнение Больцмана для функций распределения молекул по их положениям в пространстве и по скоростям. Газокинетическая модель существенна и успешно применяется для описания поведения сильно разреженных газов и слабоконцентрированных дисперсий.

Вфеноменологической теории используется базовая модель, связанная с представлением о средних величинах, непрерывно распределенных по занимаемому физическим телом объему, а законы изменения средних величин устанавливаются на основе дополнительных предположений, согласующихся с общими физическими законами. Эта модель всесторонне апробирована практикой и приемлема для описания поведения жидкостей, достаточно плотных газов и деформируемых твердых тел. Она и принимается за основу математического моделирования в настоящем пособии и в учебном курсе.

Сформированная на основании базовой феноменологической модели математическая модель поведения конкретного класса сплошных сред должна обладать свойствами корректности, каковыми являются существование, единственность и устойчивость решения

вкаком-либо заданном функциональном классе. В действительности установить свойства корректности на строгом или хотя бы формальном математическом уровне удается не всегда, ввиду чего для оценки качества математических моделей широко используется критерий практики.

Предметом настоящего пособия и учебного курса как раз являются математические модели поведения конкретных сплошных

14 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

сред, а метод курса состоит в проведении математического исследования с использованием положений математического и функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Целями исследования являются доказательство наличия у моделей указанных свойств корректности и выявление полезных качественных свойств решений.

Теперь перейдем к изложению аксиоматики и построению конкретных моделей, которые будут изучаться в дальнейшем.

1.2.Основные аксиомы механики сплошных сред

1.Аксиома сплошности. Реальная физическая среда отождествляется с идеальным объектом, лишенным атомарно-молеку- лярной структуры и заполняющим пространство непрерывным образом. Следовательно, в любой момент времени сплошная среда занимает некоторую область Ω в пространстве и отождествляется

сней.

2.Аксиома пространства и времени. Физическая позиция

события и время события независимы. Пространство физических позиций — трехмерное евклидово пространство R3. Любая точка O может быть взята за начало отсчета, а положение любой точки A

характеризуется ее радиус-вектором OA.

3. Аксиома о средних. Любой достаточно малый (но все еще содержащий большое число молекул) физический объем среды δV отождествляется с «материальной точкой». При стягивании достаточно малого объема среды δV в точку (скажем, точку ξ) средние характеристики этого объема (например, масса, количество движения, энергия) имеют конечный предел и порождают сплошное распределение этих величин в пространстве. «Предельную» точку

ξ назовем при этом материальной частицей.

Область ωt R3, состоящая в любой момент времени t из одних и тех же частиц, называется движущимся объемом (жидким, материальным объемом). Иначе говоря, это конечный объем, со-

держащий в процессе движения одну и ту же порцию субстанции. 4. Принцип отвердевания. Изменение массы, количества дви-

жения, момента количества движения, энергии любого движущегося объема происходит за счет взаимодействия с внешними объектами так же, как и для абсолютно твердого тела, занимающего этот объем ωt и имеющего те же самые физико-механические характеристики.

5. Аксиома движения. Как следует из первой аксиомы, сплошная среда — это континуум материальных точек, непрерывно распределенных в некоторой области пространства.

Задать движение сплошной среды — значит задать движение всех ее точек. Это реализуется заданием семейства γ t взаимно однозначных отображений начального состояния ω0 в текущее состояние сплошной среды ωt,

являющихся гомеоморфизмами области ω0 на ωt.

Для любой точки ξ ω0 отображение t → γ t(ξ) кусочно-непре- рывно дифференцируемо. Таким образом, текущая координата точки x(t) определяется по ее начальному положению ξ: x(t) = γ t(ξ) ≡ γ (ξ, t). Тем самым создается возможность индивидуализировать все точки сплошной среды. Вектор ξ играет роль «номера» частицы и в дальнейшем с ней отождествляется. Производная ∂γ (ξ, t)/∂t век- тора-положения частицы ξ называется скоростью частицы ξ в момент t и обозначается v(ξ, t).

1.3.Физические характеристики сплошной среды

Всоответствии с представлениями о массе реальной среды масса объема V сплошной среды является неотрицательным числом, которое обозначим через M(V ). Как функция множества V → M(V ), масса является мерой, а следовательно, обладает свойством счетной аддитивности, т. е. масса конечного или счетного числа отдельных измеримых непересекающихся подмножеств есть сумма масс подмножеств. Если потребовать непрерывность отображения V → M(V ), т. е. выполнение предельного соотношения

M(V ) → 0 при meas V → 0,

что физически вполне естественно после принятия гипотезы сплошности и аксиомы о средних, то согласно теории меры будет существовать неотрицательная функция плотности ρ = ρ(x, t) распределения массы в пространстве физических позиций x в момент времени t.1 В этом случае масса элементарного объема представляется в виде dM = ρ dx и для конечного объема V Ω в момент

1 В этом рассуждении переменная t играет роль параметра, т. е. ρ мы рассматриваем как отображение x → ρ(x, t) при всевозможных фиксированных значениях t ≥ 0.

16 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

времени t имеем

M(V ) = ρ(x, t)dx.

V

Следующей физической характеристикой сплошной среды является внутренняя энергия Ei(V ). Она является неотрицательной, счетно-аддитивной функцией множества, а следовательно, и массы. В предположении непрерывности по массе внутренняя энергия допускает представление

Ei(V ) = e(x, t) dM = e(x, t)ρ(x, t)dx, t ≥ 0.

MV

Здесь функция e называется удельной внутренней энергией (внутренней энергией элементарной массы).

Внутренняя энергия Ei включает в себя всевозможные виды энергий внутренних движений материи сплошной среды. В первую очередь это тепловая энергия, пропорциональная кинетической энергии движения молекул.

Другими важнейшими физическими характеристиками сплошной среды, в терминах которых формулируются математические модели, являются количество движения объема

Также определяется полная энергия объема

E(V ) = Ek(V ) + Ei(V ), V Ω,

как сумма внутренней и кинетической энергий.

1.4. Интегральные законы сохранения

Если рассмотреть введенные в п. 1.3 характеристики сплошной среды M, Ei, K, Lv, Ek и E для движущегося объема V := ωt = γ t(ω0), где объем ω0 в начальное время фиксирован, то, во-первых, они будут зависеть только от времени, а во-вторых, в силу принципа отвердевания мы можем для этих величин записать те же уравнения баланса (законы сохранения), что и для твердого тела. А именно имеют место закон сохранения массы

уравнение баланса количества движения

где F(ωt) — главный вектор приложенных к объему сил, уравнение баланса момента количества движения

где N(ωt) — мощность сил, действующих на объем ωt, а Q(ωt) — приток энергии к объему ωt.

Заметим, что в ряде литературных источников принципом отвердевания называют как раз систему этих четырех уравнений. Уравнения (1.2) лежат в основе всех математических моделей механики сплошных сред. Уточним в них вид правых частей.

Как правило, выделяют два класса сил. Во-первых, это внешние массовые (объемные) силы Fe(V ). Они пропорциональны массе M(V ) объема V и обладают свойством счетной аддитивности. А именно, они действуют на каждую частицу и, следовательно, их действие пропорционально количеству частиц в объеме или, эквивалентно, в массе. Примеры таких сил: силы тяжести, инерции, электростатического притяжения и отталкивания, электромагнитного воздействия на среду. Предполагая непрерывность объемных сил по массе, можем ввести функцию плотности f = f(x, t) распределения массовых сил в пространстве физических позиций x в

18 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

момент времени t, так что

Fe(V ) = f(x, t) dM = f(x, t) ρ(x, t)dx V Ω, t ≥ 0.

MV

Момент массовых сил определяется по формуле

Le(V ) = ρ(x, t)(x × f(x, t))dx V Ω, t ≥ 0.

V

Второй класс сил — это поверхностные силы, которые действуют на элементы поверхности: силы давления, трения. Разрезая мысленно сплошную среду поверхностью, мы можем анализировать взаимодействия частей сплошной среды через поверхность разреза. Это приводит к мысли, что поверхностные силы, присутствуя в каждой точке сплошной среды, зависят от ориентации поверхности. Часто их называют внутренними, так как эти силы характеризуют внутренние взаимодействия в сплошной среде, и помечают индексом i (от англ. intrinsic — внутренний).

Разрежем мысленно область V на две части — V1 и V2 — плоскостью L. Обозначим через FS силу, действующую на часть среды V1 со стороны V2 через площадку S L. Обозначим через n внешнюю нормаль к S. Можно вычислить среднюю силу по формуле FS/|S|. В силу аксиомы о средних, при |S| → 0 существует предел средней силы, и он определяет плотность распределения внутренних поверхностных сил. По-другому этот вектор называется вектором напряжений, и в каждый момент времени t он определяется соотношением

В механике часто существование этого предельного соотношения называют принципом напряжений Коши. Теперь можно конкретизировать правые части в уравнениях (1.2b)–(1.2d) в виде поверхностных интегралов. Имеем

где dΓt(x) — инфинитезимальный (бесконечно малый) элемент поверхности ∂ωt в точке x ∂ωt, а n — внешняя нормаль к dΓt(x).

Силы Fe и Fi развивают мощности, определяемые соответствен-

но по формулам

Ne(ωt) = ρ(x, t) v(x, t) · f(x, t)dx,

∂ωt

Помимо этого следует учесть, что изменение энергии объема ωt может происходить за счет переноса тепловой энергии через границу объема ωt и за счет действия распределенного теплового излучения2. Проводя рассуждения, аналогичные тем, что применялись при введении плотности ρ(x, t) и вектора напряжений tn(x, t), получаем функции объемной плотности теплового излучения r = r(x, t) и плотности потока тепла qn(x, t), так что пол-

Теперь правая часть в уравнении (1.2d) примет вид

N(ωt) + Q(ωt) = Ne(ωt) + Ni(ωt) + Q(ωt).

Переписывая уравнения (1.2a)–(1.2d) с учетом введенных понятий, получаем законы сохранения для объема в интегральной фор- меd:

(1.3a)

dt

ωt

2 Бытовой пример распределенного теплового излучения: излучение в микроволновой печи.

20 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

Этим законам могут удовлетворять весьма общие движения сплошной среды. Для того чтобы они имели смысл, достаточно, чтобы функции, определяющие движения сплошной среды, были интегрируемы и существовали производные по времени от соответствующих интегралов. Хотя, как легко видеть, производя интегрирование по времени, можно и избавиться от требования дифференцируемости. Набор G характеристик, определяющих движение сплошной среды, состоит из тринадцати скалярных функций:

G = ρ, v = (v1, v2, v3), tn = (tn1, tn2, tn3), f = (f1, f2, f3), e, r, qn .

В конкретных математических моделях часть из них является искомыми, а часть — заданными.

1.5. Базовая модель механики сплошных сред в дифференциальной форме

Движение сплошной среды называется непрерывным или ку- сочно-непрерывным в пространственно-временном цилиндре QT = Ω × (0, T ], где Ω R3x — фиксированная область пространственных позиций x и (0, T ] — интервал времени, если набор функций G является соответственно непрерывным или кусочно-непрерывным в QT вместе с первыми производными.

Покажем, что для непрерывных движений общая система интегральных законов сохранения эквивалентна системе дифференциальных уравнений.

Пусть задано непрерывное движение сплошной среды, т. е. задан гомеоморфизм

сопоставляющий начальному положению ξ ω0 материальной частицы ее положение x(t) ωt в момент времени t, т. е. x(t) = γ t(ξ).