Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

6.5. ОПЕРАТОР СДВИГА ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИЙ И ЕГО СВОЙСТВА 141

Замечание 6.4. Оператор сдвига вдоль траекторий Φt0 реализует лагранжев подход к описанию движения в области Ω: он соотносит каждой частице сплошной среды, находящейся в момент времени t в положении x, ее начальное положение x0 = Φt0(x). Таким образом, согласно принятой в теоретической механике сплошных сред терминологии, имеем, что (x, t) — это эйлеровы координаты частицы, а (x0, t) — это лагранжевы координаты частицы5.

Введём в рассмотрение якобиан отображения x → Φt0(x):

∂y(0; x, t) . ∂x

Вспомним формулу Эйлера для этого якобиана [27, гл. II, §5, формула (II.5-6)]:

В силу того, что div v = 0 (см. (6.35)1), y(0; x,0) = x и, следовательно, J(x,0) = 1, из (6.39) выводим, что J(x, t) ≡ 1, а это означает, что

где c1 и c2 — положительные постоянные и функция ζ определена формулой (6.26).

Тогда существуют постоянные c3 > 0 и α (0, 1) такие, что

при достаточно малых |x1 − x2| и |t − τ|.

5 Заметим, что оператор сдвига вдоль траекторий Φt0 связан с гомеоморфизмом γt, заданным в п. 1.2 формулой (1.1) (или, что то же самое, в п. 1.5 формулой (1.4)) и определяющим движение частицы, соотношением

6.5. ОПЕРАТОР СДВИГА ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИЙ И ЕГО СВОЙСТВА 143

Если σ < 1 на [0, T ], то | ln σ| = − ln σ. В этом случае, интегрируя

Таким образом, если выполнено σ < 1, то в силу (6.52) справедлива требуемая оценка (6.42), в которой c3 = k.

Покажем, что условие σ < 1 не уменьшает общности, поскольку при малых σ0 значение σ не достигает единицы. Действительно, потребуем следующее условие малости для |x1 − x2|: положим, что

Имеем, что обе частицы проходят через одну и ту же точку x, но в разные моменты времени. Значит, существует точка x Tx,t такая, что

6 Более строго: доказана непрерывность по Гельдеру с некоторым показателем α (0, 1) функции x → Φt0(x), причем эта непрерывность равномерна по переменной t, поскольку c3 от t не зависит.

7 Здесь проводим аналогию с механикой сплошной среды, что уместно в общем контексте.

144 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

т. е. частица с лагранжевой координатой y(0; x, t) проходит в момент времени τ через точку x . По-другому это же событие можно выразить формулой

Используя соотношения (6.53)–(6.56), в силу уже установленного ранее в доказательстве неравенства (6.42) конструируем следующую цепочку равенств и неравенств:

Здесь следует заметить, что если взять |t−τ| достаточно малым, то в силу непрерывности функции (x, t) → y(0; x, t) можно гарантировать, что |x−x | тоже достаточно мало, так что законно применить неравенство (6.42).

Таким образом, из цепочки соотношений (6.57) следует неравенство (6.43), что завершает доказательство леммы.

Замечание 6.5. Внимательно следуя рассуждениям в доказательствах лемм 6.2 и 6.3, дополнительно заключаем, что постоянная c3 зависит только от геометрии области Ω и величины T . Это наблюдение важно для дальнейших рассмотрений в доказательстве теоремы Като (теоремы 6.1).

6.5. ОПЕРАТОР СДВИГА ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИЙ И ЕГО СВОЙСТВА 145

Следствие 1. Пусть в уравнении (6.10a) функция v = v(x, t) задана и удовлетворяет условиям леммы 6.3. Пусть начальная

функция в условии (6.10e) задана и непрерывна на ¯. Тогда слабое

Ω

обобщенное решение ω задачи Коши (6.10a), (6.10e) существует, единственно и имеет вид

где Φt0 — оператор сдвига вдоль траекторий, ассоциированный с векторным полем v = v(x, t).

Доказательство. Ограничимся краткой схемой доказательства, не вдаваясь в детали.

Для дифференцируемой функции ω0 непосредственным вычислением в силу свойств Φt0 убеждаемся в том, что определенная формулой (6.58) функция ω служит единственным решением задачи (6.10a), (6.10e) в классическом смысле.

Всякую непрерывную функцию ω0 можно приблизить непре- рывно-дифференцируемыми функциями ω0n (n = 1, 2, . . .). Соответственно, решение ω можно получить как предел последовательности решений ωn приближенных задач. При этом предельное решение уже не будет классическим, и уравнение (6.10a) следует понимать в смысле распределений, т. е. в смысле интегрального равенства

Единственность решения непосредственно следует из линейности задачи и представления (6.58).

Следствие 2. Пусть выполнены условия леммы 6.3. Пусть функция ω0 = ω0(x) задана и существуют постоянные θ (0, 1) и N > 0, такие, что

Тогда слабое обобщенное решение ω задачи Коши (6.10a), (6.10e) с данными Коши ω0 подчиняется оценке

функций, определенных в ¯T и непрерывных по Гельдеру с по-

Q

казателем γ по обеим переменным x и t.

146 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Доказательство следствия 2. В силу леммы 6.2 и следствия 1 леммы 6.3 имеем

6.6.Корректность задачи NEE. Теорема Като

Вэтом параграфе, используя результаты п. 6.3–6.5, установим корректность двумерной задачи непротекания для уравнений Эйлера.

Теорема 6.1. (Т. Като, 1967) Пусть Ω R2 — ограниченная односвязная область с гладкой границей Γ = ∂Ω C3. Пусть начальное распределение поля скорости a = a(x) удовлетворяет условиям

где θ (0, 1) — заданный показатель и через n, как обычно, обозначается внешняя единичная нормаль к Γ.

Тогда для любого фиксированного T > 0 существует единственное классическое решение {v, p} задачи NEE:

Замечание 6.6. Напомним, что пара функций {v, p} называется классическим решением задачи NEE, если эти функции непрерывны в QT вместе со всеми входящими в уравнения (6.1a) и (6.1b) их производными и удовлетворяют этим уравнениям и краевым условиям (6.2d) и (6.2e) в каждой точке соответствующих множеств. В утверждении единственности решения подразумевается, что давление p находится с точностью до аддитивной постоянной.

Еще напомним, что в п. 6.1.2 сделано предположение, что распределенная массовая сила f либо отсутствует, либо потенциальна, т. е. имеет вид f = g с некоторой скалярной функций g = g(x, t). Во втором случае f может быть отнесена к давлению посредством замены искомой функции: p := p − g.

Доказательство теоремы 6.1. Как уже сказано в п. 6.1.3, утверждения существования и единственности решений будем доказывать для задачи NEE(H), т. е. для задачи, записанной в терминах искомых переменных Гельмгольца ψ и ω.

Существование решения. Доказательство существования решения основано на применении теоремы Тихонова – Шаудера о неподвижной точке.

Теорема 6.2. (А. Н. Тихонов, Ю. Шаудер, 1934.) Пусть пространство X — банахово, подмножество K X — непусто, компактно и выпукло и оператор A: K → K непрерывен. Тогда уравнение Au = u разрешимо на множестве K. Иными словами, оператор A имеет неподвижную точку в K.

Теорема Тихонова – Шаудера является классической теоремой прикладного функционального анализа и ее доказательство можно найти, например, в [31, гл. 3, § 3.6]. Обратимся непосредственно к доказательству утверждения существования в теореме 6.1.

Введем в рассмотрение

Обозначим M := ω0 C(Ω)¯ и N := ω0 (Ωθ). Вспомним замечание 6.5 о том, что постоянная c3 в лемме 6.3 зависит только от геомет-

в постановку которой переменная t входит параметрически.

По решению ψ = ψ(x, t) этой задачи построим функцию v = (u, v) с помощью формул (6.10c):

Теперь, считая только что построенную функцию v = (u, v) заданной, рассмотрим задачу Коши для уравнения переноса:

148 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

и найдём её решение ω = ω(x, t).

По леммам 6.2 и 6.3 функция ω определяется по функции ϕ K однозначно, причем ω также принадлежит множеству K.

Таким образом, мы построили оператор A: K → K по правилу

Замечание 6.7. Из конструкции оператора A очевидно, что его неподвижная точка ω, если существует, вместе с решением ψ задачи (6.65) служит решением задачи непротекания для нестационарных уравнений Эйлера в переменных Гельмгольца, т. е. задачи NEE(H).

Соответственно, докажем, что оператор A: K → K имеет хотя бы одну неподвижную точку. Для этого покажем, что множество K компактно и выпукло8 и оператор A: K → K непрерывен отно-

сительно нормы, определенной в ¯T

C(Q ).

Для обоснования компактности множества K применим теорему Арцела, которую сформулируем в терминах исследуемой нами задачи.

ляется компактным тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено, равностепенно непрерывно и замкнуто.

Теорема Арцела является классической в математическом ана-

|ϕ(x , t) − ϕ(x, t)| ≤ Nc3|x − x|γ ≤ ε, что означает равностепенную непрерывность K по x.

Аналогично доказывается, что множество K равностепенно непрерывно по t.

Равномерная ограниченность и замкнутость множества K очевидны. Значит, по теореме Арцела K — это компактное множество

¯

в C(QT ).

8 Очевидно, имеем, что K не пусто.

Пусть vn и v — функции, определенные соответственно по ψn и ψ посредством формул (6.66). Применяя оценку (6.24) из леммы 6.2, выводим

→∞

Рассмотрим последовательность задач Коши (n = 1, 2, . . .)

в постановках которых vn — это заданные (определенные выше) функции, xn = xn(s; y, t) — искомые функции, а переменные y и t входят параметрически.

В силу известных свойств непрерывной зависимости решений задачи Коши от правой части и начальных данных и в силу (6.70) выводим, что

150 6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Вспомним теперь, что ω0 C (θ)(Ω). В силу этого и (6.71) имеем,

что

Еще вспомним, что в силу следствия 1 леммы 6.3 и конструкции оператора A имеют место представления

Значит, предельное соотношение (6.72) эквивалентно тому, что

а это в свою очередь означает, что оператор A непрерывен. Таким образом, получили, что для K и A выполняются все

условия теоремы Тихонова – Шаудера. Значит, имеется по меньшей мере одно решение уравнения

Aω = ω, ω K.

По замечанию 6.7 это означает, что существует по меньшей мере одно решение задачи NEE(H).

В силу выбора множества K и на основании лемм 6.2 и 6.3 заметим, что найденное с помощью теоремы Тихонова – Шаудера решение удовлетворяет условиям регулярности

то есть является гладким. В силу этого несложно показать, что решение {v, p} задачи NEE определяется по решению {ω, ψ} задачи NEE(H) однозначно и является классическим.

Существование решения задачи NEE доказано.

Единственность решения. Пусть {v1, p1} и {v2, p2} — два решения задачи NEE, соответствующие одной и той же начальной функции a. Положим v := v1 − v2, p := p1 − p2. Составим разность соответствующих уравнений, добавим и вычтем выражение (v2 · )v1 в уравнении количества движения. В результате выводим

Умножая первое из уравнений (уравнение баланса количества движения) на v и интегрируя по x на Ω, выводим интегральное