Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Замечание 2.3. Определим также нормированное простран-

При p = 2 пространство W l,2(Ω)m является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(u, v)W l,2(Ω)m = (Dku, Dkv)L2(Ω)m .

|k|≤l

Обозначение 2.6. Для W l,2(Ω)m часто используется обозначение Hl(Ω)m.

Обозначение 2.7. В дальнейшем в тех рассуждениях, где это не вызовет двусмысленности или недоразумений, мы используем сокращенные обозначения для норм в W l,p(Ω)m и Hl(Ω)m и скалярного произведения в Hl(Ω)m:

· l,p,Ω := · W l,p(Ω)m ,

· l,2,Ω = · Hl := · Hl(Ω)m , (·, ·)Hl = (·, ·)Hl(Ω)m .

Определение 2.15. Определим пространства Соболева финитных функций посредством замыкания пространства основных функций по норме:

W0l,p(Ω)m = cl D(Ω)m; · l,p,Ω .

Эти пространства имеют большое место в дальнейшем изложении в пособии.

Замечание 2.4. Подчеркнем, что такое определение простран-

ства W0l,p(Ω)m означает, что для любой функции (вектор-функции) u W0l,p(Ω)m найдется последовательность {un}n=1,2,... D(Ω)m, такая, что

un − u l,p,Ω −→ 0.

n→∞

2 Звездной называется область, в которой существует точка x0 такая, что для всех точек x, принадлежащих этой области, отрезок [x, x0] также принадлежит области.

Обозначение 2.8. Положим H0l (Ω)m := W0l,2(Ω)m.

Выведем формулу Грина для пространств Соболева.

Лемма 2.1. (Формула Грина.) Пусть Ω — ограниченная односвязная область в Rn с кусочно-липшицевой границей. Для всевозможных функций u H01(Ω)m и v H1(Ω)m при всех i = 1, . . . , n имеет место равенство

(uxi , v) = −(u, vxi ).

Доказательство. В силу замечания 2.3 существуют последо-

вательности {uk}k=1,2,... D m, {vk}k=1,2,... ∞ ¯ такие, что

(Ω)

C

(Ω)

По формуле Грина для гладких функций при фиксированных k N имеет место соотношение

Последнее равенство справедливо, так как uk = 0 на Γ. Итак, утверждение леммы справедливо для гладких функций.

Теперь совершим предельный переход при m → ∞. Рассмотрим разность

≤ v 2,Ω uxi − ukxi 2,Ω + ukxi 2,Ω v − vk 2,Ω.

Последнюю из оценок получили по неравенству Коши — Буняковского, которое является частным случаем неравенства Гельдера3.

3 Справедливо следующее утверждение: пусть λj (1, ∞), j = 1, . . . , s,

s

λ−j 1 = 1, тогда для любых функций uj Lλj (Ω) имеет место неравенство j=1

Вправой части неравенства нормы обеих разностей стремятся

кнулю, а оставшиеся множители ограничены при m → ∞. Таким

образом установлено предельное соотношение

2.6. Результаты о вложении пространств

При изучении вопросов корректности математических моделей механики сплошных сред методами функционального анализа систематически возникает необходимость исследовать вложение одних функциональных классов в другие. Как правило, наличие свойств вложения такого рода позволяет переходить к пределу в семействах приближенных решений к решению исходно изучаемой задачи или применить теоремы о неподвижных точках к оператору, ассоциированному с исходной задачей. В этом параграфе изучим некоторые такие свойства, выраженные в виде теорем, лемм или неравенств для норм функций в определенных пространствах Лебега и Соболева.

2.6.1. Неравенство Пуанкаре — Фридрихса. Начнем с формулировки и обоснования неравенства Пуанкаре — Фридрихса, которое позволяет оценить L2-норму функции через L2-норму ее производной в случае, когда функция финитна в некоторой области, а сама область лежит внутри некоторой полосы в Rn.

Неравенство Пуанкаре — Фридрихса также называется первым неравенством Пуанкаре.

Лемма 2.2. (Неравенство Пуанкаре — Фридрихса.) Пусть

Ω Rn имеет кусочно-липшицеву границу и лежит в полосе

Π1 = {0 ≤ x1 ≤ l1, x = (x2, . . . , xn) Rn−1}.

Тогда для всевозможных функций u H01(Ω)m имеет место неравенство Пуанкаре — Фридрихса

u 2,Ω ≤ cp(Ω) ux1 2,Ω,

в котором постоянная cp(Ω) зависит только от l1 — ширины полосы Π1.

Замечание 2.5. Неравенство Пуанкаре — Фридрихса позволяет ввести в пространстве H01(Ω)m норму u H01(Ω)m := ux 2,Ω, эквивалентную стандартной норме ·H1(Ω)m , а также скалярное произведение

Доказательство. По аналогии с предыдущей леммой, обос-

Возведем обе части этого равенства в квадрат и результат проинтегрируем на Π1:

В правой части оценим uy через |uy| и применим неравенство Коши — Буняковского к интегралу по dy:

l1 x1

= x1dx1 u2ydy dx .

0Rn−1 0

Наконец, в самой правой части этой цепочки соотношений проинтегрируем явно в первом сомножителе и заменим интеграл от 0 до x1 интегралом по большему интервалу — от 0 до l1. В итоге получим

2.6.2. Второе неравенство Пуанкаре. Второе неравенство Пуанкаре позволяет оценить L2-норму функции через L2-норму ее производных и среднее значение самой функции в области. Заметим, что в данном случае от функции не требуется равенство нулю на ∂Ω.

Для простоты от области Ω потребуем, чтобы она была параллелотопом, хотя неравенство можно доказать и в случае произвольной области Ω с достаточно регулярной границей.

Лемма 2.3. (Второе неравенство Пуанкаре.) Пусть

Π= {x Rn : 0 ≤ xi ≤ li, li = consti > 0}

—параллелотоп в Rn.

Тогда для всевозможных функций u H1(Π)m имеет место второе неравенство Пуанкаре

46 2. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Доказательство. Сначала сведем доказательство данного неравенства к доказательству аналогичного неравенства для куба Π1 со стороной, длина которой равна единице.

Положим xi = liyi, так что y Π1 = [0, 1]n. Теперь достаточно показать, что для функции v = v(y) := u(x) справедливо неравенство

Возведя обе части этой формулы в квадрат, применяя неравенство4

и неравенство Гельдера и расширяя интервалы интегрирования с [yk, yk] до [0, 1], приходим к неравенству

Интегрируя обе части неравенства (2.10) по y и y , приходим в точности к неравенству (2.8) и тем самым завершаем доказательство леммы.

2.6.3. Первое неравенство Лерэ. Первое неравенство Лерэ позволяет оценить L4-норму функции через L2-нормы функции и ее первой производной в случае двумерной области.

Лемма 2.4. (Первое неравенство Лерэ.) Пусть Ω R2 —

ограниченная область с кусочно-липшицевой границей. Тогда для всевозможных функций u H01(Ω)m имеет место первое неравен-

4Напомним, что (2.9) — это неравенство между средним арифметическим

исредним квадратичным. Оно является частным случаем неравенства Йенсена.

Замечание 2.6. Первое неравенство Лерэ можно записать в терминах норм в виде

Доказательство. Как и ранее для лемм 2.2 и 2.3, доказательство леммы 2.4 проводим только для u D(Ω)m и замечаем, что результат продолжается на случай пространств Лебега и Соболева в силу аргументов плотности вложения пространств.

Заметим, что постоянная (c = 2) в первом неравенстве Лерэ не зависит от формы области Ω и в этом смысле является абсолютной.

Функция x → γ0intϕ(x), определенная на Γ, называется следом функции ϕ на Γ.

Теперь сформулируем и докажем результат о следах функций из H1(Ω)m.

Лемма 2.6. (О следах.) Пусть Ω Rn — ограниченная область с границей Γ C 2. Тогда

(a) оператор следа γ int: ∞ ¯ m → 2 m допускает продол-

0 C (Ω)

C

(Γ)

жение на пространство линейных ограниченных операторов L(H1(Ω)m, L1(Γ)m);

(б)для всевозможных функций u H1(Ω)m имеет место неравенство

в котором в меньшей части мы просто пишем u вместо γ0intu и в большей части постоянная c(Ω) зависит только от формы области Ω и не зависит от u.

Доказательство. Сначала выведем неравенство (2.13) для гладких функций.

Разобьем границу на участки («куски») такие, что на каждом

из них одна из координат xi выражается через другие. Например, на куске S имеем x1 = f(x ), x = (x2, . . . , xn), и часть области можно представить в виде a < x1 ≤ f(x ), x M, где f(x ) ≥ a + b, a = const, b = const > 0.

Умножим обе части представления