Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Так как ξ = γ −t 1(x(t)), по определению скорости v имеем, что функция x = x(t) служит решением задачи Коши

Обозначим x = x(t; ξ), отмечая тем самым зависимость решения задачи Коши от начальных данных ξ. Далее, через J = J(t, ξ) обозначим якобиан отображения γ t:

J(t; ξ) является характеристикой изменения элементарного объема

Для несжимаемой среды мера элементарного жидкого объема не меняется, следовательно, J ≡ 1 и по формуле (1.6) мы получаем

для произвольного подмножества ω Ω. Тогда h ≡ 0 в Ω.

Эта лемма легко доказывается методом от противного и является следствием хорошо известной в теории уравнений математической физики леммы дю-Буа — Реймонда [4, лемма 1.2.1].

24 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

Здесь через P : v обозначена свертка тензоров P и v:

Систему (1.9) называют системой дифференциальных законов сохранения в механике сплошных сред. В настоящем курсе ее полагаем в качестве базовой модели механики сплошных сред и при этом считаем, что функция r и вектор-функция f являются заданными. Очевидно, базовая модель (1.9) является незамкнутой: она содержит восемь уравнений4 и 17 неизвестных скалярных функций

ρ, vi, Pij , e и qi (i, j = 1, 2, 3).

1.6. Модели жидкости, газа и твердых тел

Дополнительные уравнения к модели (1.9), необходимые для ее замыкания, вводятся для конкретной сплошной среды на основании опытного представления о характере напряженного состояния и эволюции внутренней энергии в зависимости от механического движения материальных частиц среды и перетока тепла от одних материальных частиц к другим. Эти дополнительные уравнения называются уравнениями состояния сплошной среды. Они уже не являются универсальными, справедливыми для любых сред.

Сейчас, почти полностью опуская физическую мотивировку, введем уравнения состояния жидкости, газа и деформируемого твердого тела и сформулируем с их помощью достаточно общие замкнутые математические модели, которые изучаются далее в пособии. Подробно о физическом обосновании уравнений состояния можно ознакомиться в указанных выше учебниках [6, 12, 21, 25, 29, 30].

Жидкости и газы представляют собой легко подвижные сплошные среды, которые не остаются в равновесии, даже если на них действуют сколь угодно малые силы. Вот почему внутренние напряжения в жидкости и газах не зависят непосредственно от деформации. Однако, как показывает опыт, эти напряжения существенно зависят от скорости деформации [16, § 8]. Таким образом, жидкость или газ — это такая сплошная среда, в которой тензор напряжений P является функцией тензора скоростей деформации

4 Имеем три скалярных уравнения в (1.9b), три «уникальных» скалярных уравнения в (1.9c) и по одному скалярному уравнению в (1.9a) и (1.9d).

D(v) = (Dij (v)):

Кроме того, тензор напряжений может зависеть от некоторой совокупности термодинамических параметров5 состояния и, вообще говоря, от координат физических позиций x и переменной времени t.

Дальнейшая конкретизация вида функции F приводит к следующим моделям.

Среды, удовлетворяющие линейной зависимости P от D, называются ньютоновскими. Сэр Дж. Г. Стокс [37] конкретизировал линейную зависимость в виде

где I — единичная матрица, p — давление, λ и μ — коэффициенты объемной и динамической вязкости. Из второго начала термодинамики следует, что

μ ≥ 0, 3λ + 2μ ≥ 0.

Невязкие (идеальные) жидкости и газы характеризуются тем, что λ = μ = 0 и, соответственно, тензор напряжений — шаровой, т. е. имеет вид

Если среда еще и несжимаема, т. е. выполняется соотношение (1.7), то система (1.9b), (1.9a), (1.7) сводится к системе уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости:

Здесь заметим, что уравнение баланса энергии (1.9d) в систему (1.13) не входит. Это означает, что в математической модели

5 Считаем, что набор основных термодинамических параметров состоит из плотности среды ρ, удельной внутренней энергии e, абсолютной температуры θ, удельной энтропии s и давления p [16, § 4].

26 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

задачи изучения механического движения и теплопроводности разделились: сначала нужно определить поле скоростей v и давление p из системы (1.13), а затем подставить результат в уточненное с помощью дополнительных предположений (т. е. уравнений состояния) уравнение баланса энергии и определить распределение абсолютной температуры θ (или удельной энтропии s, или удельной внутренней энергии e, в зависимости от конкретной постановки). Еще заметим, что в силу (1.12) условие симметричности (1.9c) выполняется автоматически.

В случае вязкой несжимаемой неоднородной жидкости уравнение (1.11) принимает вид

Неоднородность жидкости означает, что распределение плотности ρ = ρ(x, t) не является тождественно постоянным. При дополнительном предположении, что μ = const, система (1.9b), (1.9a), (1.7) сводится к системе уравнений Навье — Стокса неоднородной жидкости:

Существенной является линеаризованная система уравнений, которая вытекает из (1.15) при отбрасывании квадратичных по скоростям членов конвективного ускорения (v · )v и которая называется системой уравнений Стокса вязкой несжимаемой жидкости или системой линеаризованных уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости:

Эта модель хорошо описывает реальные процессы в жидкости в случае достаточно медленных течений, т. е. когда |v|, | v| 1.

Аналогично уже сделанному выше замечанию об уравнениях идеальной несжимаемой жидкости обратим внимание на то, что в

случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение баланса энергии (1.9d) также отделилось от остальных уравнений системы (1.9).

В случае же, когда среда является сжимаемой и неизотермической (неизэнтропической), т. е. когда θ = const (соответственно, s = const), система (1.9) остается «перевязанной», то есть последовательно определить сначала механическое движение, а потом эволюцию тепла нельзя — эти вопросы надо изучать одновременно. Заметим, что вопросы исследования математических моделей сжимаемых сплошных сред, в частности, всех реальных газов, лежат за пределами настоящего пособия и учебного курса.

Забегая вперед, отметим, что далее в курсе мы сделаем в моделях (1.13), (1.15) и (1.16) еще одно существенное упрощение, а именно, будем считать жидкость однородной, т. е. ρ = const. При этом, очевидно, уравнение баланса массы (1.13b) (эквивалентно (1.15b), (1.16b)) будет выполняться автоматически, станет тривиальным, и в силу этого из рассмотрения будет исключено.

Перейдем теперь к рассмотрению твердых тел.

Сплошная среда, называемая в механике деформируемым твердым телом, по своим свойствам резко отличается от жидкостей и газов. Опыт показывает, что твердое тело, будучи нагружено какимилибо силами, перейдет в некоторое деформированное положение, а затем может оставаться в покое, вообще говоря, неограниченное время. При этом твердое тело будет находиться в некотором напряженном состоянии. Если нагрузку снять, то твердое тело перейдет в новое деформированное положение, необязательно совпадающее с первоначальным. Если совпадения нет, то процесс первого перехода был необратим. Вместе с тем, при умеренных нагрузках (мера зависит от конкретного тела) процесс деформирования твердого тела может быть и бывает обратимым.

Модели деформируемого твердого тела для таких обратимых процессов деформирования основаны на представлении о том, что возникающие в среде напряжения определяются деформацией и, вообще говоря, температурой. Твердые тела, удовлетворяющие этому условию, называются упругими. Точное определение понятия упругого твердого тела может быть сформулировано так: деформируемое твердое тело, рассматриваемое как сплошная среда, описываемая моделью (1.9), называется упругим телом, если процесс

28 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

изменения характеристик любого материального объема этой среды является обратимым термодинамическим процессом, независимыми параметрами которого являются тензор деформаций E и температура θ [16, § 10].

В настоящем пособии будем касаться только линейной, или классической, упругости. А именно в предположениях о малых деформациях для линейной упругой среды зависимость напряжений от деформации имеет вид P = f(E), где f — линейная функция и E

— линеаризованный тензор деформаций. Точнее, эта зависимость

w = w(x, t) = (w1(x, t), w2(x, t), w3(x, t)) — перемещение, а λ и μ — коэффициенты Ламе. Из второго закона термодинамики следует, что μ ≥ 0 и 3λ + 2μ ≥ 0. Считаем, что коэффициенты μ и λ заданы и, вообще говоря, зависят от x.

В уравнение баланса количества движения (1.9b) подставляем кинематическое соотношение v = dw/dt, комбинируем результат с уравнением состояния (1.17) и проводим формальную процедуру

линеаризации на естественном состоянии сплошной среды, которая заключается в отбрасывании нелинейных (по vi и wi) слагаемых и подстановке постоянного среднего значения ρ0 на место, вообще говоря, непостоянной функции ρ. В итоге выводим уравнение

упругости6.

В завершение настоящего параграфа обратимся к вопросам термодинамики и выведем уравнение баланса тепла в одном достаточно общем случае в предположении, что сплошная среда является неподвижной.

6 Часто в учебной литературе [16, § 11], [25, § 13.2] вводят дополнительное предположение λ, μ = const и записывают уравнение Ламе в более простом виде

∂2w

ρ0 ∂t2 = (λ + μ) div w + μ w + ρ0f .

Для ряда сплошных сред можно считать, что удельная внутренняя энергия e зависит только от температуры, т. е. e = e(θ), а поток тепла подчиняется закону Фурье q = −k θ, т. е. пропорционален градиенту температуры и направлен от «горячей» области сплошной среды к «холодной». По физическому смыслу имеем, что

коэффициент теплоемкости V θ def θ θ неотрицателен, ко- c (

)

=

de

(

)

/d

эффициент теплопроводности k положителен и, вообще говоря, зависит от температуры: k = k(θ). С учетом этого и условия неподвижности v ≡ 0 уравнение баланса тепла (1.9d) принимает вид

Далее в пособии будем рассматривать некоторые частные формы этого уравнения.