Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие
.pdf9.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 191
k0 < k1 такие, что в QT существует решение задачи Коши с конечной нормой N(t).
Подробное доказательство теорем существования и единственности решения задачи Коши (9.30) приведено в [14, гл. 10, § 3].
9.4.2. Простые волны. В данном разделе рассматриваются течения в виде простых волн. Предполагается, что для рассматриваемых решений выполняются условия гиперболичности.
Определение 9.4. Решения вида |
|
u = u α(t, x), λ , H = H α(t, x), λ |
(9.35) |
называются простыми волнами.
Величина α называется параметром простой волны, а поверхности α(t, x) = const — поверхностями уровня простой волны.
Отметим, что решения вида (9.35) в действительно являются двойными волнами: искомые функции зависят от двух функций от независимых переменных. Тем не менее, свойства рассматриваемых решений аналогичны свойствам простых волн для классических уравнений мелкой воды, поэтому такие решения естественно также назвать простыми волнами.
Уравнения, описывающие решения в виде простых волн, получаются подстановкой (9.35) в систему уравнений (9.7). Обозначим через k = −αt/αx, тогда система уравнений простых волн принимает вид:
|
u(α, λ) − k |
uα (α, λ) + g 1 |
Hα (α, μ) dμ = 0, |
(9.36) |
|
0 |
|
|
|
u(α, λ) − k Hα (α, λ) + H(α, λ) uα (α, λ) = 0. |
|
|||
С использованием оператора A данную систему можно переписать в следующей форме:
AUα − kUα = 0. |
(9.37) |
Действуя набором собственных функционалов на предыдущее равенство, приходим к следующей эквивалентной системе уравнений:
(kβ − k) Fβ , Uα = 0, β = 1, 2, 1μ, 2μ (μ (0, 1)). |
(9.38) |
Если функция k отличается от всех характеристических значений kβ , то для всех индексов β выполняется равенство (Fβ , Uα ) = 0. Тогда, в силу полноты системы функционалов, Uα = 0 или U = U(λ). Такое решение определяет стационарное сдвиговое течение с
192 |
9. ТЕОРИЯ ВИХРЕВОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ |
одним и тем же профилем скорости во всех точках x, которое в данном случае может рассматриваться как тривиальное.
Таким образом, нетривиальное решение в виде простой волны возможно только в случае, если функция k (равная −αt/αx) совпадает с одним из характеристических значений kβ . Данное условие фактически является уравнением для параметра простой волны
α(t, x):
αt + kβ αx = 0. |
(9.39) |
Простые волны дискретного спектра. Рассмотрим простые волны, соответствующие одной из характеристик дискретного спектра. Для определённости будет считать, что k = k2.
Заметим, что если рассматривать систему уравнений в характеристической форме (9.25), (9.27), (9.28) с использованием инвариантов Римана, то вместо уравнений (9.38) мы придём к равносильной системе
(ki − k) rαi = 0, i = 1, 2, |
(9.40) |
(u(μ) − k) ωα = 0, (u(μ) − k) Rα = 0. |
|
Отсюда следует, что для нетривиальных решений, отвечающих некоторой характеристике, инварианты Римана, соответствующие остальным характеристикам, должны быть постоянными.
Следовательно, для простой волны, соответствующей характеристике k = k2, выполняются соотношения
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R = u − g 0 |
H(μ) |
|
dμ = R0(λ), |
ω = |
uλ |
= ω0 |
(λ), |
|
u(μ) − u |
|
H |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(9.41) |
r1 = k1 − g 0 |
|
H |
dλ = r01 = const, |
|
||||
|
|
|
||||||
|
u − k1 |
|
||||||
где R0(λ), ω0(λ), r01 определяются из условия примыкания к заданному сдвиговому потоку u0(λ), H0(λ) вдоль характеристики α = const.
Уравнение для характеристического значения k = k2 |
|
α(t, x) |
получается из (9.39), эквивалентного уравнению: |
|
|
kt + kkx = 0. |
|
(9.42) |
При этом решение u(k, λ), H = H(k, λ) определяется из (9.41).
9.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 193
Существование простых волн. Выберем в качестве параметра
простой волны α глубину h(t, x) = |
01 H dλ. Рассмотрим задачу о |
||||||
примыкании простой волны по |
характеристике h = h |
|
к заданному |
||||
7 |
|
|
|
m |
|
||
сдвиговому потоку с параметрами U0(λ), H0(λ). Уравнения простой |
|||||||
волны (9.36) принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
uh = − |
g |
, Hh |
|
gH |
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
||
u − k |
(u − k)2 |
|
(9.43) |
||||
u|h=hm = U0(λ), H|h=hm = H0(λ).
Дифференцируя характеристическое уравнение по параметру простой волны, получаем дифференциальное уравнение для харак-
теристического числа: |
|
(u − k)3 |
|
, k(hm) = k02. |
(9.44) |
|||
kh = − 2 |
|
(u − k)4 |
||||||
3 |
1 |
H dλ |
1 |
|
H dλ |
|
−1 |
|
00
Начальное значение k02 вычисляется из характеристического уравнения по параметрам заданного потока U0(λ), H0(λ).
Кроме того, из первого уравнения системы (9.43) выведем уравнение для uλ :
|
|
|
|
guλ |
uλ |h=hm = U0(λ). |
|
|
(9.45) |
|||||||||
uλh = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
(u |
− |
k)2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения (9.43)–(9.45) представляют собой задачу Коши |
|||||||||||||||||
|
dV |
= F(V), |
|
V(hm) = V0 |
|
|
|
(9.46) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в пространстве функций V(λ) = (u, uλ , H, k). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Введём норму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
max |
u |
+ max |
u |
λ | |
+ max |
H |
| |
+ |
k |
. |
(9.47) |
|||||
V = λ |
| |
| |
|
λ |
| |
|
λ | |
|
| |
| |
|
||||||
Пусть U0(λ) непрерывно дифференцируема, H0(λ) непрерывна, H0 > |
|||||||||||||||||
δ > 0, k0 − U0 > δ > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Справедлива следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема 9.4 (Существование и единственность). Пусть ε > 0 |
|||||||||||||||||
т.ч. при V − V0 < ε: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.48) |
|||
F(V) ≤ M, F(V1) − F(V2) ≤ K V1 − V2 |
|||||||||||||||||
при |h−hm| < δ1 = min(ε/M, 1/K). Тогда задача Коши (9.46) имеет единственное решение V(h) такое, что V − V < ε.
Доказательство теоремы приведено в [14, гл. 11, § 1].
1949. ТЕОРИЯ ВИХРЕВОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ
9.4.3.Гидравлические прыжки на сдвиговом потоке. Систему интегро-дифференциальных уравнений вихревой мелкой воды можно записать в следующей эквивалентной дивергентной форме:
0 |
Ht + (uH)x = 0, |
2 |
x = 0, |
(9.49) |
|
Hu dλ t + 0 |
Hu2 dλ + |
(9.50) |
|||
1 |
1 |
|
gh2 |
|
|
(Hω)t + (Huω)x = 0 (ω = uλ /H). |
(9.51) |
||||
Запись уравнений в виде системы законов сохранения позволяет рассматривать решения с сильными разрывами, на которых должны выполняться соотношения
0 |
[H(u − D)] = 0, |
= 0, |
(9.52) |
|
H(u − D)2 dλ + 2 |
||||
1 |
|
gh2 |
|
|
|
|
|
|
|
[ωH(u − D)] = 0.
Мы рассматриваем поверхности сильного разрыва в пространстве (t, x, λ), описываемые уравнением x (t) = D. Квадратными скобками обозначен скачок функции при переходе через разрыв:
[f(t, x(t), λ)] = f(t, x(t) + 0, λ) − f(t, x(t) − 0, λ).
Дополнительно к законам сохранения на разрыве (9.52) потребуем, что при переходе через разрыв полная энергия в слое жидкости убывала:
1 |
|
|
ρ(u − D)2 |
|
|
|
|
H(D |
|
u) |
+ p + ρgΦ |
0. |
|
||
0 |
− |
|
2 |
|
|
(9.53) |
Заметим, что следствиями соотношений на разрыве (9.52) при H(u − D) = 0 являются равенства:
[ω] = 0, [Ψ]λ = 0, |
(9.54) |
где Ψ = (u − D)2/(2g) + p/(ρg) + y — полный напор (относительно фронта). Первое равенство в (9.54) означают, что при переходе через разрыв величина завихренности сохраняется в частице. Из второго равенства следует, что скачок полного напора не зависит от глубины.
9.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 195
Свойство определённости. Пусть известны параметры потока u1, H1 перед гидравлическим прыжком и скорость движения прыжка D. Обозначим через K = minλ (u1 − D)2 и пусть для определённости u1 − D > 0. Рассмотрим вопрос о возможности определения параметров потока u2, H2 за фронтом гидравлического прыжка.
Последнее соотношение (9.52) означает, что
[uλ (u − D)] = [(u − D)2/2]λ = 0
и величина K = −[(u − D)2] = (u1 − D)2 − (u2 − D)2 не зависит от
λ. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
где K K . |
(9.55) |
|||
u2 − D = |
|
(u1 − D)2 − K, |
|||||||||||
Из первого |
соотношения на разрыве (9.52) определяется H |
: |
|||||||||||
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
H2 = |
H1(u1 − D) |
= |
|
H1(u1 − D) |
. |
(9.56) |
|||||||
|
|
|
u2 − D |
|
|
(u1 − D)2 − K |
|
|
|||||
Подставляя выражения для |
u |
2 |
и H |
во второе уравнение (9.52), |
|||||||||
|
" 2 |
|
|
|
|
||||||||
получаем уравнение |
F (K) − F (0) = 0 |
(9.57) |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
для нахождения K (0, K ). Функция F (K) определяется формулой
F (K) = 1 H1(u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− D) (u1 − D)2 |
− K |
dλ + |
|
|
|
|
|||||||
0 |
" |
|
|
|
|
(u1 |
|
D)2 |
K |
|
|
(9.58) |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
g |
1 |
|
H1(u1 − D) |
|
|
2 |
|
|||
|
|
+ |
|
" |
|
dλ . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
− |
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подробный анализ поведения функции F (K) |
(см. [14, гл. 11, |
||||||||||||
§ 2]) показывает, что если F (K ) > F (0), то уравнение (9.57) имеет единственный корень Ks, который определяет течение за фронтом скачка по формулам (9.55), (9.56).
Если F (K ) < F (0), то за фронтом можно определить течение с дополнительной прослойкой — застойной зоной, толщина которой
определяется формулой |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
η = |
8h22 |
2 |
F (K ) − F (0) − h2(K ), |
|||
(K ) − |
|
|||||
g |
||||||
а скорость жидкости в этой зоне совпадает со скоростью фронта: u2 = D.
Список литературы
[1]Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 319 с.
[2]Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т.: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. 296 с.
[3]Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
[4]Демиденко Г. В. Пространства Соболева и обобщенные решения: учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 2015. 270 с.
[5]Дьедонне Ж. Основы современного анализа: Пер. с франц. М.: Мир, 1964. 430 с.
[6]Жермен П. Курс механики сплошных сред: Пер. с франц. М.: Высш. шк., 1983. 400 с.
[7]Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
[8]Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.
[9]Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
[10]Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[11]Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 c.
[12]Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие: В 10 т. М.: Наука, 1988. Т. VI. Гидродинамика. 736 с.; 1987. Т. VII. Теория упругости. 248 с.
[13]Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с фр. М.: Мир, 1971. 372 с.
197
198 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
[14]Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости: Моногр. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 420 с.
[15]Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.
[16]Овсянников Л. В. Введение в механику сплошных сред: Учеб. пособие: в 2 ч. Новосибирск: НГУ, 1976. Ч. 1. Общее введение. 76 с.; 1977. Ч. 2. Классические модели механики сплошных сред. 70 с.
[17]Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.
[18]Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984. 295 с.
[19]Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Новосибирск: Т. Рожковская, 2007. 264 с.
[20]Саженков С. А. Обобщенные решения уравнений математической физики: курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2019. 151 с. (2-е изд. — М.: Юрайт, 2021.)
[21]Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. Изд. 6-е. М.: Лань, 2004. Т. 1. 528 с.
[22]Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. М.: Физматгиз, 1959. Т. 5. 658 с.
[23]Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.
[24]Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 408 с.
[25]Темам Р., Миранвиль А. Математическое моделирование в механике сплошных сред: Пер. с англ. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2017. 320 с.
[26]Треногин В. А. Функциональный анализ: учебник. М.: Физматлит, 2002. 488 с.
[27]Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 592 с.
[28]Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 720 с.
[29]Эглит М. Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Книжный дом «Либроком», 2013. 208 с.
[30]Эглит М. Э., Дроздова Ю. А. Механика сплошных сред. М.: Изд. центр РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2012. 264 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
199 |
[31]Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1969. 1072 с.
[32]Bear J. Dynamics of fluids in porous media. N. Y.: Dover Publications, 1988. 784 p.
[33]Cioranescu D., Donato P. An Introduction to Homogenization. Oxford: Oxford University Press, 1999. 262 p.
[34]Dautray R., Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology: in 6 vols. Berlin: Springer, 2000. Vol. 6. Evolution problems II. xiv+709 p.
[35]Kato T. On classical solutions of the two-dimensional nonstationary Euler equations // Arch. Rational Mech. and Analysis. 1967.
Vol. 25(3). P. 188–200.
¨
[36] Stefan J. Uber einige Probleme der Theorie der W¨armeleitung // Sitzungsber. Wien. Akad. Mat. Natur. 1889. Vol. 98. P. 473–484.
[37] Stokes G. G. On the theories of the internal friction of fluids in motion and of the equilibrium and motion of elastic solids // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1845. Vol. 8. P. 287–319.
[38] Zeidler E. Nonlinear functional analysis II/B. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1990. 741 p.
Учебное издание
Саженков Сергей Александрович Хе Александр Канчерович
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Учебное пособие
Редактор С. В. Исакова Верстка С. А. Саженкова, А. К. Хе Дизайн обложки Е. В. Неклюдовой
Подписано в печать 19.12.2024. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 12,5. Усл. печ. л. 11,6. Тираж экз. Заказ № Издательско-полиграфический центр НГУ.
630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.