Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Напомним, что b(·, ·, ·) — это функционал конвекции, определенный по формуле (5.53):

Применяя лемму Гронуолла (лемма 5.1), из этого неравенства выводим оценку

Замечание 6.8. Обратим внимание на то, что в условиях теоремы Като классическим является решение {v, p} задачи NEE, а решение {ω, ψ} задачи NEE(H) таковым, вообще говоря, не является,

γ ,γ

ω ¯

поскольку функция C (QT ) не обязательно дифференцируема

и в силу этого уравнение (6.10a) может пониматься только в смысле распределений, т. е. в смысле интегрального равенства (6.59). Поэтому справедливо говорить, что {ω, ψ} — это слабое обобщенное решение задачи NEE(H). Как видно из рассмотренного в настоящей главе, для того чтобы это решение задачи NEE(H) стало классическим, достаточно потребовать повышенной гладкости от начальных

д) помимо условия Стефана на свободной границе ставится условие о том, что температура частиц вещества, составляющих свободную границу, равна температуре фазового перехода, которая считается известной постоянной величиной.

Условие (д) имеет характер аксиомы, поскольку оно не следует из фундаментальных законов термодинамики, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

7.1. Классическая формулировка задачи Стефана

Задача CS. (Классическая формулировка задачи Стефана.) Требуется отыскать температуру u(x, t) в ограниченной области Ω Rd с гладкой границей ∂Ω для моментов времени t (0, T ) при наличии фазовых переходов при значениях температуры u1, . . . , us. Пусть u1 < u2 < . . . < us. В тех частях QT = Ω × (0, T ), где u(x, t) не принимает значений u1, . . . , us, должно выполняться уравнение теплопроводности

i=1

где α(u) и k(u) — заданные положительные функции, гладкие на каждом из отрезков [uk, uk+1] и, может быть, имеющие разрывы первого рода в точках u = uk, k = 1, . . . , s.

Обозначим через S(k) границы раздела двух фаз:

S(k) = {(x, t) QT : u(x, t) = uk},

и через [. . .] — скачок функции на S(k), определенный по формуле

«теплой» (u > uk) сторон соответственно. Тогда на границах раздела двух фаз должны выполняться условия

где Λ(u) — первообразная от α(u) на каждом из отрезков [uk, uk+1] (при каждом из значений uk функция Λ(u) терпит скачок первого

где ST = ∂Ω × (0, T ).

В постановке задачи CS α(u) и k(u) — это коэффициенты теплоемкости и теплопроводности. Соответственно, Λ(u) — удельная внутренняя энергия вещества. Тот факт, что функции α(u), k(u) и Λ(u) терпят скачки при температурах фазовых переходов, выражает собой сформулированное ранее физическое соображение (а). Константа bk называется скрытой теплотой фазового перехода при температуре uk. Она равна по величине количеству тепла, которое необходимо подвести к единице массы вещества, находящегося при температуре uk в одном, более «холодном» агрегатном состоянии (например, в твердом), чтобы это вещество целиком перешло в другое, более «теплое» агрегатное состояние (например, в жидкое), сохраняя при этом температуру uk.

Функция f в уравнении теплопроводности — это плотность распределенных массовых источников тепла, находящихся внутри Ω, а функция uS в граничном условии (7.1e) — это плотность распределенных поверхностных источников тепла, находящихся на границе

Ω.

Предположение 7.1. В дальнейшем, исключительно в целях упрощения и сокращения изложения, мы полагаем f тождественно равным нулю и uS тождественно равным u1 (смысл именно такого выбора uS будет ясен чуть позже), хотя, не ограничивая общности, можно рассматривать произвольные f L2(QT ) и uS L2(ST ).

Условие (7.1b) выражает собой аксиому (д), а условие (7.1c)

— это условие Стефана. Стоит заметить, что условие Стефана — это не что иное, как частный случай условия Гюгонио на сильном разрыве.

7.2. Обобщенная формулировка задачи Стефана

Тот факт, что коэффициенты теплоемкости и теплопроводности и удельная внутренняя энергия являются разрывными функциями, означает: уравнение теплопроводности (7.1a), если его рассматривать во всем пространственно-временном цилиндре QT , является уравнением с разрывными функциями, стоящими под знаками производных. Значит, оно в принципе не может пониматься (во всем цилиндре QT !) в классическом смысле. Вот почему разумно ввести понятие обобщенного решения задачи Стефана.

Прежде всего придадим задаче CS более простую форму. Применим преобразование Кирхгофа и перейдем от температуры u к температуре v, в терминах которой коэффициент теплопроводности тождественно равен единице, а новая температура одного из фазовых переходов, скажем, соответствующего температуре u1, равна нулю (т. е., v1 = 0):

u(x,t)

v(x, t) = k(w) dw.

u1

Обозначение 7.1. Обозначим через v функцию аргумента u, которая является первообразной функции k(u), такой что v (u1) = 0, а значит v(x, t) ≡ v (u(x, t)). В силу того, что k(u) строго положительна, существует функция v−1, обратная к функции v . Имеем ∂tv = k(u)∂tu, ∂xi v = k(u)∂xi u и вследствие этих двух равенств

Заметим, что β(v) — коэффициент теплоемкости в терминах новой температуры v — есть функция с теми же свойствами, что и функция α(u), т. е. β(v) — положительная, кусочно-гладкая функция, имеющая разрывы первого рода в точках

v1 = 0, v2 = v (u2), . . . , vs = v (us).

Подставляя два последних равенства в уравнение (7.1a), приводим уравнение теплопроводности к виду

β(v)∂tv − xv = 0

(напомним, что мы положили f ≡ 0) и далее придадим ему дивергентную форму

158 7. ЗАДАЧА СТЕФАНА

В силу условия Стефана (7.2c) интегралы по свободным поверхностям равны нулю. Таким образом, из уравнения (7.3) вытекает

Если механически без рассуждений перенести ту методику, которую мы использовали при формулировке понятий слабых обобщенных решений задач, уже изученных ранее в нашем курсе, то следует понимать обобщенное решение задачи Стефана именно в смысле интегрального равенства (7.4). Однако сейчас делать этого нельзя. Дело в том, что при выводе равенства (7.4) мы существенно использовали предположение, что множества точек из QT , в которых температура принимает значения фазовых переходов, являются поверхностями (причем гладкими). При этом предположении все интегралы в равенстве (7.4) имеют ясный смысл, поскольку функция b(v) не определена только на множестве нулевой меры, т. е. там, где она терпит скачок. В действительности можно себе представить (и такое на самом деле бывает), что v совпадает с температурой фазового перехода в целой подобласти из QT ненулевой меры. В этом случае первый и третий интегралы в равенстве (7.4) оказываются не определены. Преодолевается указанная сложность следующим образом.

Обозначение 7.2. Через B(x, t, v) обозначим произвольную измеримую функцию, равную b(v) при v = vk (k = 1, . . . , s) и (x, t) QT , а при v = vk и (x, t) QT положим, что B(x, t, v) принимает какое-либо одно значение из интервала [b−k , b−k + bk], где b−k = limv→vk−0 b(v).

Подставим эту функцию в равенство (7.4) на место b(v):

Замечание 7.1. Так как мера множеств S(k) в случае классического решения задачи Стефана равна нулю, то для классического решения равенства (7.4) и (7.5) совпадают. С другой стороны, несложно видеть, что если функция b(v) интегрируема в

QT \ {(x, t) : v(x, t) = v1, . . . , vk}, то функция B(x, t, v) интегрируема в QT .