Математические модели и методы механики сплошных сред. Учебное пособие

Пусть X — банахово пространство. Пространство C(0, T ; X) содержит все непрерывные функции u: [0, T ] → X. Здесь непрерывность понимается в смысле предельного соотношения

u(t1) − u(t0) X −→ 0 t0 [0, T ].

t1 → t0 t1 [0, T ]

Выражение

u C(0,T ;X) := sup u(t) X

[0,T ]

определяет норму в C(0, T ; X).

Аналогично через Lp(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞, обозначаем пространство всех измеримых функций u: (0, T ) → X, имеющих конечную норму:

Замечание 5.1. Функция u: (0, T ) → X (сильно) измерима, если найдется последовательность ступенчатых (простых) функций

uk: (0, T ) → X, таких что uk(t) − u(t) X −→ 0 при п.в. t (0, T ).

k→0

Определение 5.1. Функция u: (0, T ) → X называется ступенчатой (простой), если в (0, T ) имеется конечное число попарно непересекающихся интервалов Ii, 1 ≤ i ≤ p, |Ii| < ∞, таких что функция u на каждом интервале принимает постоянное значение

Замечание 5.2. Пусть X — это пространство функций, определенных на каком-либо множестве Ω в евклидовом пространстве Rn переменных xi. Тогда элементы пространств C(0, T ; X) и Lp(0, T ; X) часто понимаются как функции, определенные на множестве Ω × [0, T ] со значениями в Rm. При таком подходе естественно записываем u = u(x, t), а не u = u(t).

Такая двойственность в понимании функций из пространств Бохнера (u: Ω × [0, T ] → Rm или u: [0, T ] → X), как правило, не вызывает недоразумений и бывает уместна в рассуждениях.

925. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.2.2.Основные свойства пространств Бохнера. Имеют место следующие базовые свойства.

Лемма 5.3. (Неравенство Гельдера.) Пусть X — банахово пространство и пусть p1 + 1q = 1. Положим u Lp(0, T ; X), v Lq(0, T ; X ). Тогда

v(·), u(·) X L1(0, T )

и

T

| v(s), u(s) X |ds ≤ u Lp(0,T ;X) v Lq (0,T ;X ).

0

Лемма 5.4. Пусть X, Y — банаховы пространства. Тогда

•из непрерывности вложения X → Y при 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ следует непрерывность вложения

Lq(0, T ; X) → Lp(0, T ; Y );

•если 1 ≤ p < ∞, то C(0, T ; X) плотно в Lp(0, T ; X) и вложение C(0, T ; X) → Lp(0, T ; X) непрерывно.

Доказательства лемм 5.3, 5.4 можно найти, например, в [38, chapter 23]. Теперь поясним, в каком смысле понимается производная по времени для функции u: (0, T ) → X из пространства Бохнера. Рас-

смотрим следующую ситуацию.

Пусть H — гильбертово пространство1 со скалярным произведением (·, ·)H , и пусть X — банахово пространство, такое что

Считаем, что включения в (5.5) являются непрерывными. Отношение H H означает, что

1 В этом параграфе через H обозначается абстрактное пространство, а не введенное ранее в главе 4 пространство H(Ω).

94 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Теперь непосредственным вычислением (дифференцированием) нетрудно убедиться, что такая функция ψ является искомой первообразной функции ϕ − λ ϕ0. Лемма доказана.

Эту лемму применим для вывода следующего результата.

Лемма 5.6. (Критерий непрерывности слабо дифференцируемых функций.) Пусть X — банахово пространство.

Пусть u, g L1(0, T ; X).

Тогда следующие три свойства эквивалентны друг другу:

Более того, если имеются свойства (i)–(iii), то u почти всюду на (0, T ) совпадает с некоторой функцией u˜ C(0, T ; X).

Доказательство. Прежде всего заметим, что при выполнении (i) функция u сама является непрерывной в силу абсолютной непрерывности интеграла как функции верхнего предела. Поэтому можем взять u˜ := u.

Теперь перейдем к обоснованию эквивалентности (i), (ii) и (iii) между собой. Сначала из (i) выведем (iii).

Заметим, что свойство (iii) эквивалентно следующему:

Действительно, (iii’) получаем из (iii) домножением на ψ, интегри-

рованием на (0, T ) и интегрированием по частям в левой части, а (iii) получаем из (iii’) в силу леммы Дюбуа — Реймонда [4, лемма

1.2.1].

Подействуем функционалом η X на левую и правую части равенства в (i). Затем умножим результат на ψ , проинтегрируем по t на (0, T ) и проинтегрируем по частям. Таким образом приходим к тождеству, выражающему свойство (iii’), и, соответственно, к тождеству, выражающему свойство (iii).

Теперь из (iii) выведем (ii).

Воспользуемся свойством (iii’). Запишем тождество в этом свойстве в виде

что законно в силу непрерывности функционала η и базовых свойств интеграла Лебега по t. (Подробный вывод приводить не будем.) Из (5.8) сразу следует свойство (ii) в силу произвольности функционала η.

Наконец, из (ii) выведем (i).

t

Положим u0(t) :=

0

рывна на [0, T ] и что ddtu0 = g. Положим v := u − u0. Для завершения доказательства осталось показать, что v не зависит от t, т. е.

является постоянным элементом в пространстве X.

Подставим u = u0 + v в равенство из (ii) и проинтегрируем по частям. Выводим

96 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.2.3. Лемма Петре. Теорема Обэна — Лионса. Общим местом при решении многих нелинейных задач является необходимость установить свойство компактности семейства приближенных решений или оператора, ассоциированного с задачей. С вопросом такого рода мы встретимся при изучении уравнений Навье — Стокса, и решить его нам поможет теорема вложения Обэна — Лионса2 (J. P. Aubin, J. L. Lions). Лемма Петре (J. Peetre) имеет вспомогательный характер в доказательстве теоремы Обэна — Лионса.

Лемма 5.7. (Лемма Петре.) Пусть X, Y и Z — три банаховых пространства, причем X →→ Y → Z и пространства X и Z рефлексивны.

Тогда для любого числа η > 0 найдется постоянная cη > 0, такая, что имеет место неравенство

Доказательство проводится методом от противного.

Сделаем предположение: пусть существуют число η R, последовательность векторов {uk} X и числовая последовательность {ck} R, такие, что ck k−→→∞ +∞ и выполнены неравенства

2 Часто в литературе теорему Обэна — Лионса также называют леммой Обэна или леммой Обэна — Лионса.

vk Y ≥ η + ck vk Z .

Очевидно, vk X = 1. Так как X →→ Y , то vk Y ≤ c , где

c = const не зависит от k. Так как ck → +∞, то vk Z −→ 0.

k→∞

С другой стороны, в силу того что vk X = 1 и X →→ Y , имеем, что подпоследовательность {vk} сходится сильно в Y .

Однако также имеем, что Y → Z и vk Y ≥ η для всех k N,

и в силу этого получаем противоречие с тем, что vk Z −→ 0.

k→∞

Это противоречие означает, что сделанное в начале доказательства

Теорема 5.1. (Теорема Обэна — Лионса.) Пусть X, Y и Z — три банаховых пространства, причем X →→ Y → Z и пространства X и Z рефлексивны. Пусть α, β R — постоянные такие, что 1 < α, β < ∞. Пусть последовательность {uk}k→∞

Снабдив его нормой

u W := u Lα (0,T ;X) + u Lβ (0,T ;Z),

получим банахово пространство. Также W является рефлексивным

98 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В силу рефлексивности W можно выделить подпоследовательность из {uk}k→∞ такую, что uk k→∞ u в W , где u W — некоторый предельный элемент3.

с некоторой постоянной cη > 0, не зависящей от vk. Так как подпоследовательность {vk}k→∞ слабо сходится в W , она равномерно ограничена, т. е. существует c = const > 0 такая, что

vk Lα (0,T ;X) ≤ c.

Пусть произвольно задано ε > 0. Возьмем в (5.15) величину η так, чтобы 0 ≤ η ≤ ε/(2c). Придем к неравенству

→∞

Для этого сначала заметим, что

W → C(0, T ; Z).

Это вложение следует из леммы 5.6, и его непрерывность проверяется несложно. На основании этого вложения делаем вывод, что

3 Напомним, что стрелкой обозначается слабая сходимость.

После чего остается применить к vk(·) Z k→∞ версию теоремы Лебега4 на основании (5.18) и (5.19) и сразу установить (5.17).

Докажем (5.19) для t = 0. Для любого другого значения t доказательство будет аналогично.

Запишем по формуле Ньютона — Лейбница

ξ

vk(0) = vk(ξ) − vk(τ) dτ,

0

проинтегрируем это представление по ξ на [0, s] и разделим обе части на s. Получим

Применяя в bk(s) формулу интегрирования по частям, непосредственным вычислением убеждаемся, что

Теперь будем переходить к пределу в этом равенстве при k → ∞. Сначала в силу (5.14) заметим, что vk Lβ (0,T ;Z) ≤ c = const,

где c > 0 не зависит от k, и для произвольного малого ε > 0 зафиксируем s ≤ εβ /(2c )β , где β−1 + β −1 = 1.

С таким выбором s, применяя неравенство Гельдера с показателями β и β к оценке выражения для bk(s), конструируем цепочку

fk: [0, T ] → R сходится к пределу f почти всюду на [0, T ] при k → ∞. Пусть

{fk}k N равномерно ограничена в Lα (0, T ). Тогда fk −→ 0 сильно в Lα (0, T ). k→∞

Это утверждение является следствием хорошо известной теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [7, гл. V, § 5].

100 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

s 1/β s 1/β

≤ dξ vk(ξ) βZ dξ ≤

00

≤√β s vk Lβ (0,T ;Z) ≤ ε/2.

Далее, так как vk k→∞ 0 в Lα (0, T ; X), то для зафиксированного

Таким образом, по определению предела последовательности, соотношение (5.19) для t = 0 установлено, что и завершает доказательство теоремы Обэна — Лионса.

5.3.Линеаризованная задача

5.3.1.Постановка задачи. Изучим следующую начально-кра- евую задачу для нестационарных уравнений Стокса динамики однородной вязкой несжимаемой жидкости.

Задача NSE. В пространственно-временном цилиндре QT = Ω×(0, T ), где Ω R3 — ограниченная область физических позиций x с липшицевой границей Γ = ∂Ω и T = const > 0 — произвольно заданный момент времени, требуется найти распределения полей скорости v: QT → R3 и давления p: QT → R, удовлетворяющие уравнениям количества движения