x5 + 0x4 + x3

x3 – x2 +2x – 2

– x4

+

x3 – x2

– x4

–

x3

–

x2

2x3 – 0x2 + 3x

2x3 + 2x2 + 2x

– 2x2 + x – 1

– 2x2 – 2x – 2

5

+ 2 23

3x + 1

− 2 + 3 −1 =

Таким образом

+ + 1

=

3

−

2

3 + 1

+ 2 −2 + 2

+ + 1 .

Определение.

Простыми

дробями

.

;

31

−

называются дроби вида:

.

( − )

;

.

+

;

2

+ +

.

(

2

+

.

+ + )

,

,

,

,

,

некоторые константы;

2

–

,

,

,

–

Здесь

коэффициенты

,

,

+ +

– заданные

числа;

(

2

−4 от< 0)

неразложимый на множители

трехчлен

.

Интегралы

дробей

первого

и

второго

Пример 4.1.

2

3 − 4

−4 + 13

Представляем интеграл суммой интегралов:

3

2

−

−4

2

+ 13

.

4 + 13

32

−4

интеграл на 2 и добавляем минус и плюс 4.

3

3

(2 −4) + 4

2

−4 + 13

=

2

2 −4 + 13

=

3

2 −4

=

2

2

−4

+ 13

+ 6

2

.

−4 + 13

Подставляя

правую часть в

предыдущее

3 −4

выражение, окончательно получим

3

2 −4 + 13

=

2 −4

=

2

2 −4 + 13

+ 2

( −2)2

+ 9

=

3

|

2

+ 13|

2

−2

=

2

− 4

+

3

3

+ .

Фундаментом разложения правильной дроби

являются

следующие

теоремы,

которые

сформулируем без доказательства.

2

Теорема 1. Любой многочлен

-го порядка

( ),− )

произведения

можно

представить

в

виде

+

+

и

неразложимых

трехчленов

двучленов

(

причем некоторые из них могут

быть кратными.

+ 8 4

+ 6 3

+ 4 2

− −2 =

2 6

+ 7 5

Например,

1)( + 2)( + 1)2( 2 + 1) .

=

(2 −

одинаковых степенях.

+ 2

+ +

3( )

= 3

будут

Так, многочлены

+

+

+

3( )

=

3

2

Теорема 3.

=

,

=

,

=

,

=

.

равны, если:

Две рациональные дроби равны,

если

равны

многочлены

числителей

и

То есть равенство

( )

( )

будет

соответственно знаменателей дробей.

соблюдаться, если

( ) =

( ,=

( )

=

.

( )

( )

( )

34

знаменателями

которых

будут

множители

разложения знаменателя правильной дроби.

Пусть дана правильная дробь в виде

( )

( )

( )

=

( − 0)

… ( − )

… ( 2 +

+ )

.

вида;

Раскладывая

правильную дробь на сумму

( )

степени

простых,

каждому двучлену в первой

I и II видов с

дробь I

разложения

отвечает

простая

двучлену степени

– отвечают

дробей

( − )

степенями

увеличивающимися

двучлена

от единицы до ;

а каждому

неразложимому трехчлену – дробь III вида.

Коэффициенты

числителей

простых

дробей

неопределенные и

подлежат

определению. Для

35

Пример 4.2.

4 −2 2 + 4 −3

=

(2 −

1)( +

2)( +

1)2

( 2 + 1)

=

+

+

+

2 −1

+ 2

+

+ 1

+

( + 1)2

+

2

+ 1

.

36

приведения к общему знаменателю и подобных

4 −2 2 + 4 −3

членов, получим:

=

(2 − 1)( + 2)( + 1)2( 2 + 1)

=

( + 2 + 2 + 2 )

∙

5

+

(2 − 1)(

+ 2)( + 1)2

( 2

+

1)

+

(4 + 3 + 5 + 2 + 7 + 2 ) ∙ 4

+

(2 −1)(

+ 2)( + 1)2( 2

+

1)

+

(6 + 2 + 3 + 3 + 6 + 7 ) ∙ 3

+

(2 −1)(

+ 2)( + 1)2( 2

+

1)

=

(6 + 2 + 3 − + 6 ) ∙ 2

+

(2 − 1)(

+ 2)( + 1)2

( 2

+

1)

+

(3 + + 3 −2 − )

∙

+

(2 −1)(

+ 2)( + 1)2( 2

+

1)

+

(2 − −2 −2 −2 )

(2 −1)( + 2)( + 1)

2

(

2

+ 1)

37

равны.

В

силу

теоремы

2

приравняем

при

|

+ 2 + 2 + 2 = 0

коэффициенты при одинаковых степенях.

при

4

|

4

+ 3 + 5 + 2 + 7 + 2 = 1

при

5

|

6

+ 2 + 3 + 3 + 6 + 7 = 0

при

3

при

2

|

6

+ 2 + 3 − + 6 = −2

при

0|

3

+ + 3 −2 − = 4

В|

2 − −

2 −

2 −2

= −3

шести

результате

получили

систему

алгебраических

уравнений

относительно

коэффициентов.

Решая

3

систему,

получим

= −

46

27

=

;

=

300

=

4

225 ;

= 225

25

225

3 ;

следующие значения коэффициентов:

53

31

27

;

= 225 ;

= −225

= −225 .

После

4

подстановки

коэффициентов

получаем:

−2 2

+ 4 −3

(2 −1)( + 2)( + 1)2( 2

+ 1)

=

46

3

31

= −225

2 −1

+ 25

+ 2

+ 225

+ 1

+

4

2

1

272

+ 53

+

3

( + 1)

− 225

+ 1

.

Число

неизвестных

в

системе

можно

Теорема. Если две функции равны, то равны

аргументов функций.

, т. е., если ( )

= ( ),

то

их

значения

при

одинаковых

значениях

( 0)

= ( 0)

2 2

+ 1

Пример 4.3. Вычислить интеграл

( + 1) ( −

1)

.

Разложим

дробь

на

простые

дроби

и

2 2 + 1

приведем их к общему знаменателю:

( + 1) (

−1)

=

+ 1

+

+

−1

=

=

( −1) + ( 2

− 1) + ( + 1)

.

( + 1) ( −1)

39

следует

выбирать

значения

= 0

переменной,

подставляя

в

левый =и−1

= 1

обращающие в ноль каждый двучлен. В нашем

случае

принимая

= 2

,

= −1

,

= 2

и,

Интегрируя

правый

многочлены

числителей, получим

3

;

;

3

.

интеграл

простые

дроби,

вычислим

2 2 + 1

=

3

( + 1)

( −1)

=

−

+

3

=

2

+ 1

2

−1

3

| + 1| − | | +

3

| −

1| + =

=

2

2

=

( 2 − 1)3

.