= 2 4

(2 2 + 22 )

=

0

4

1

4

= 2 2

+

(1 +

4 )

=

=

2

1

1

0

2

0

4

2

8 +

2

2

+

8

4 0

=

8

ед .

задана на отрезке

.

Вращая

= ( )

Вычисление объёма тел вращения

трапецию вокруг

[ ; ]

функция

Пусть

непрерывная

ограниченное с боков

криволинейную

и поверхностью,

полученную

=

=

оси

, получим тело вращения,

плоскостями

,

вращением графика

функции. Объем

такого

тела вычисляется по

=

2( )

= 2( ) .

(8.1)

формуле:

отрезке

[ ; ]

и

получено

тело

= ( )

67

функция

на

Если задана непрерывная

вращения

объём тела

способом,

описанным

выше, то

вокруг оси

=

2( )

= 2( ) .

(8.2)

вращения получим по формуле:

.

[1; 2]

вокруг оси

=

Пример 8.3.

Найти объём тела вращения кривой,

заданной функцией

3

на

отрезке

,

на который проектируется кривая:

,

Найдем ординаты концов отрезка оси

(1) = 1

,

(2)

= 2

3

= 8

формулу (

):

=

8 8.2

через

:

5

8

и применим

Выразим

3

= 3 2

=

3

3

=

3 (32 −1) =

1

5

1

5

=

93

ед3.

заданной функцией

=

вокруг оси

.

Функция

является

ограниченной

Пример 8.4. Найти

5

объём тела вращения кривой,

=

по

переменным.

Найдем

значения параметров, при

которых кривая

68

= 0

.

пересекает

ось

абсцисс:

Для этого решим уравнение

и

получим

= 0

= 0

,

=

, которые будут являться пределами

интегрирования,

причем

будет

нижним

пределом. Так как функция

задана в

параметрическом

виде,

то

в интеграле

через

подынтегральное

выражение

представим

(8.1)

параметр

.

используя

выражение

функции

=

В результате получим:

аргумента

и

вычисляя,

дифференциал

= − 0 2 2

= − 2 0

3 =

= 2

0(1 −

=

3

2 ) ( ) .

ед .

Если

= =

,

то

получим

4 2

3

Таким образом

, интегрируя, получим объём

известную из школьного курса формулу объема

шара

= 4 3 .

и пусть = ( )

задана на отрезке

оси

Вычисление длины3плоской кривой

функции ограничен[ ; ]

Пусть непрерывная

функция

график

формуле: = ( )

точками

и

. Длина

кривой

может быть

вычислена по

69

(

)

=

+

=

1 +

=

2

2

.

′

2

(8.3)

= 1 + ′( ) 2

студентам

(

8.1

) и (

8.2

Формулы

) предлагается вывести

самостоятельно,

используя

схему

вывода

определенного

интеграла,

учитывая

следующие указания:

[ ;

]

2.

Выводя

∆

разбить

на

1.

Отрезок

элементарных участков

;

заменить

формулу (

)

через границы

плоскости

элементов

разбиения

провести

8.1

перпендикулярные

оси

и

полученные

диски

3.

цилиндрическими.

Выводя формулу (

на

)

через границы

и

полученные кривые

отрезках

элементов

разбиения

провести

прямые

8.3

∆

∆

параллельные оси

до пересечения с кривой

заменить хордами

.

=

отрезке

.

на

Пример 8.5.

Найти длину кривой

′ = 1

Теперь

=

использования формулы

(

)

найдем

Для[1; 4]

8.3

производную

функции

70

:

.

4

1

2

1

=

=

=

=

1 +

= −

1

2

= −

2

= −

2 2

=

(

)

1

= −

2

(1 −

2

)

=

( )

= −

( )

1

(

)

2

1 −

−

2

1 +

−

2

1

1 −

+

1

= 1

=

2

1 +

2

+

4

=

1 − (

)

+

1

2

2

1 + (

)

1

=

1 − ( 4)

−

2 −

√2

+

1 + ( 4)

2 +

√2

+

1 2

−

162

ед.

4

71

Длина кривой,

= (1 − )

Пример

8.6.

Вычислить длину кардиоиды,

заданной уравнением

.

2

заданной в полярной системе

координат, вычисляется по формуле

(8.4)

=

2

+

(

)

.

′

2

[0; 2 ]

четность

функции,

четной и

Заданная1

функция является

определена на множестве

.

Учитывая

интегрирование

будем

производить

на

множестве

.

После

вычисления производной

функции и подстановке

[0; ]

функции и ее производной, получим

= 2

2(1 −

2 + 2

) + 2 2

0

= 2 √2

1 −

2

=

0

= 4

= 2√2

2 2

=

0

2

0

2

= −8

2

0

= −8

(0 −1) = 8

ед.

72