- •НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Лекция 1
- •Определение неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Теорема об инвариантности формул интегрирования
- •Основная таблица интегралов
- •Лекция 2
- •Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •Метод интегрирования по частям
- •Лекция 3
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Лекция 4
- •Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Разложение рациональных дробей на простые
- •Лекция 5
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Лекция 6
- •Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •Лекция 7
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Правило замены переменной в определенном интеграле
- •Лекция 8
- •Определенный интеграл в полярной системе координат
- •Определение полярной системы координат
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление объёма тел вращения
- •Лекция 9
- •Несобственные интегралы
Для того, чтобы активно использовать третье свойство напомним свойства дифференциала: дифференциал постоянной равен нулю; постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала; дифференциал суммы переменных равен сумме дифференциалов; выражение под дифференциалом можно умножать и делить на одно и тоже число.
На основании этих свойств имеют место следующие равенства( + ) =: = ( + ) .
Другими словами, под знак дифференциала
можно вносить |
в качестве |
слагаемого любую |
||
∙ |
= |
|
( ∙ ) = |
( + ) = . |
константу: |
|
1 |
1 |
|
Теорема об инвариантности формул интегрирования
Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от независимой переменной, т. е. если
10
то и |
|
( ) = ( ) + |
, |
|
|
|||||
где: |
|
(– ) |
= ( ) + |
, |
|
|
||||
|
= ( ) |
|
любая |
|
дифференцируемая |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
функция от . |
|
= ( ).+ . |
|
|
||||||
|
|
( ) |
|
|
||||||
|
Доказательство |
. Пусть |
|
|
|
|
|
|||
функцию |
( ′) |
′( ) |
= (и дифференциал) |
от нее |
||||||
|
|
= ′ ( ) |
′ |
Возьмем |
теперь |
|||||
Следовательно, |
|
∙ |
= |
|||||||
( ) |
= ( ) ∙ |
( ) ∙ = ( ) . |
||||||||
что и |
|
( ) = ( ) + |
, |
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
||||
|
На основании этой теоремы таблицу |
|||||||||
основных интегралов представим, считая |
|
= ( ) |
||||||||
функцией независимой переменной. |
|
|||||||||
11