Лекция 3

∙

Пусть

( ) =

Интегрирование тригонометрических

функций вида

( ) =

∙

, где показатели степеней –

подынтегральная

функция

целые положительные числа. Интегрируя такие

функции, следует различать два случая.

= 2

четные, т. е.

,

1. Показатели степеней

. В этом случае порядок степеней

следует

2

= 2

=

1 −cos 2

;

2

=

1 + cos 2

.

2

2

понизить, применив формулы:

(когда оба, неважно с каким) представляют в виде

то

= 2 + 1

произведения одного сомножителя и сомножителя

четной степени. Так,

если,

например

,

,

2 +1

=

2

∙

24

Учитывая, что

2 = ( 2 )

= −

= ,

после

чего

2,

.

производят

замену

= 1 −

= 1 −

подынтегральная

функция

станет

многочленом

=

2 +1

=

2

∙

.

переменной

.

Действия аналогичны, если

Пример 3.1.

4 2

=

=

1 + cos 2

2 1 −

cos 2

=

2

2

=

1

(1 −cos

2

2 )(1 + cos 2

) =

8

=

1

1 −

(1

−

2

2 ) (1 + cos 2

) =

8

=

1

2

2

+

1

2

2

cos 2 =

8

8

1

(1 −

cos 4 )

1

2

=

16

+

8

2 cos 2

=

25