Из свойств функций непрерывных на
отрезки |
функция |
принимает |
все |
свои |
|
равенство (6.6). [ ; ] |
|
|
|
||
промежуточные значения и, следовательно, |
|||||
найдется точка |
|
, такая, что выполняется |
|||
Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Теорема. Производная от интеграла по
переменному |
верхнему |
пределу |
равна |
||
′( ) = |
( ) |
′ = ( ) . |
(6.8) |
||
подынтегральной функции |
|
|
|||
Доказательство |
. |
Из |
решения задачи |
||
отыскания площади |
|
криволинейной |
трапеции |
||
можно сказать, что геометрическим смыслом определенного интеграла является площадь и,
следовательно, интеграл можно рассматривать как функции верхнего предела. Дадим приращение
|
верхнему пределу и найдем приращение |
||
функции |
∆ = ( + ∆ ) − ( ) |
||
∆ |
|
||
|
|
+∆ |
|
|
|
|
( ) − ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
∆ |
|
|
∆ = ( ) + |
( ) − ( ) = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
( ) |
(6.9) |
||
|
= |
|
|||
В выражении |
|
|
(6.9) |
первый интеграл |
|
представлен в виде суммы двух в соответствии со
свойством 3. |
Преобразуем последний интеграл, |
||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
используя теорему о среднем |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
∆ = ( ) = ( ) ∙∆ |
|
|
|
||||
где |
|
|
. Очевидно, |
что |
при |
||||
|
|
[ ; + ∆] |
|
|
|
→ |
|
||
стремлении приращения аргумента к нулю |
. |
||||||||
По определению производной имеем |
|
|
|||||||
′ |
|
∆→0 ∆ |
∆→0 |
( ) ∙∆ |
∆→0 |
|
|
|
|
|
( ) = ∆ = |
∆ |
= ( ) = ( ) |
||||||
Теорема доказана.
Ее результат позволяет утверждать, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная подынтегральной функции. А это означает, что вычисление определенного интеграла можно произвести без вычисления предела.
56