Лекция 2
Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Метод заключается в замене части подынтегральной функции (подынтегрального выражения) или аргумента сложной функции. Выбор замены следует производить таким образом, чтобы после замены подынтегральное выражение соответствовало выражениям табличных интегралов. Производя замену, необходимо все подынтегральные функции и дифференциал выразить через новую переменную. Нередко, признаком замены является наличие степеней с разницей в единицу. Особенно, если аргументом функции является высшая степень.
Так, в примере 1.2 (и3з лекции2 3 1)
сделаем замену = 3 , = 3 2 и интеграл
принимает вид табличного
3 2 3 = .
15
заменим |
|
|
√2 −7 |
|
|
|
|
|
||||||
В примере 1.3 (из лекции 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −7 |
|
|||
|
|
|
. |
После подстановки |
|
|
|
|||||||
= − 7 |
подкоренную функцию |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
или |
|||
Дифференцируя замену, получим |
|
2 |
= 2 −7 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим интеграл |
|||||
который |
(2 −7 ) |
|
= − |
7 |
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
также является табличным. |
|
|
|
|||||||||
Выбор замены представляется сложной процедурой и лучше удается при знании табличных интегралов. Во всяком случае, замене подлежат те функции, которые мешают интегралу быть табличным, или замена которых упрощают интегрируемую функцию.
Пример 2.1. ( √ ) . √ 1 +
Подсказкой в этом примере служат и
радикал, и функция арктангенс, которой нет среди |
||||
16 |
√ = |
|
= |
|
подынтегральных функций табличных |
интегралов. |
|||
Произведем сначала замену |
|
, |
|
2 и |
замены получим |
|
|
|
|
= 2 |
. В результате |
||||||||||||||||
найдем дифференциал ее |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
= |
|||||||||
|
√ |
|
|
|
|
(1 + |
2) |
|
||||||||||||||
|
|
(1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
1 + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если бы не было в числителе функции |
||||||||||||||||||||||
арктангенса, |
то |
|
интеграл |
стал бы табличным. |
||||||||||||||||||
В |
|
|
= ; |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 + 2 . |
|
|||||||||||||||||||
Поэтому произведем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
результате получим простой интеграл |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
1 + |
2 |
|
= 2 |
|
= 2 |
|
2 |
+ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
|
|
приведенных |
|
примерах |
|
|
использована |
||||||||||||||
применение |
|
|
|
= |
( ) = ( ). |
|
|
|
|
теперь |
||||||||||||
замена |
|
|
|
вида |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Покажем |
||||||||
замены вида
17
|
|
Представим |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2.2. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
= |
2 |
∙ |
|
|
3 |
|
2 |
) |
|
||||||||||
и |
|
|
|
|
= (1 − |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию |
|
|
|
|
в |
виде |
|
|
|
||||||
|
|
После |
|
|
|
|
|
= |
, |
|
= |
. |
||||||||||||
|
произведем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
3 |
= (1 − 2 ) cos |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
подстановки получим: |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
= (1 − |
2 |
) = |
− |
2 |
= − |
+ . |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
Обратную замену можно не производить, |
||||||||||||||||||||||
учитывая |
|
|
|
|
дальнейшее |
|
|
|
|
|
применение |
|||||||||||||
неопределенного |
|
интеграла |
|
|
при |
решении |
||||||||||||||||||
практических задач. |
|
|
( + ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, т. е. если |
|
|
|
имеет |
||||||||||||||
|
|
Замечание |
1. |
Если |
функция |
( ) |
||||||||||||||||||
своей |
первоорбразной |
|
|
функцию |
|
, то |
||||||||||||||||||
1 |
( |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет функция |
||||||||||
первообразной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
( ) |
= ( ) + , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( + ) = |
1 |
( + ) + . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||