|
Лекция 7 |
|
Формула Ньютона-Лейбница |
||
Теорема. |
Значение |
определенного |
интеграла равно разности значений любой
первообразной подынтегральной функции, взятые |
||||||
|
( ) = ( ) − ( ) , |
(7.1) |
||||
при верхнем и нижнем пределах интеграла: |
||||||
|
|
( ) . |
|
|
|
|
где: ′( ) = |
|
|
|
|
||
|
Равенство (7.1) называется формулой |
|||||
Ньютона – Лейбница. |
|
|
|
, |
||
|
( ) = ( ) = ( ) + |
|||||
|
Доказательство. Рассмотрим функцию |
|||||
которая, как было |
показано выше, является |
|||||
перообразной |
подынтегральной |
функции. |
||||
Вычислим значение функции |
при = . |
|||||
|
( ) = ( ) + = |
( ) = 0 . |
||||
= |
и |
= −( ) |
, получим: |
|||
|
= −( ) |
Теперь, |
подставляя |
|||
Следовательно, |
|
. |
|
|||
учитывая
57
|
|
|
|
( ) |
= ( ) − ( ) . |
|
|
|||||||
Теорема доказана |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Правую |
|
часть |
|
формулы |
Ньютона – |
|||||||||
|
|
|
|
( ) = ( ) − ( ) . |
|
|
|
|||||||
Лейбница принято записывать в виде |
|
|
|
|||||||||||
Пример 7.1. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
3 |
|
2 |
= |
3 |
|
= 27 −(−1) = 28 . |
||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
Пример 7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
ln |
= 3 ln |
(ln ) = 3 3 = |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
||
|
= 233 |
− 23 |
= 233 −0 = 23 |
. |
||||||||||
Если подынтегральная функция четная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, то интеграл удваивается, а нижний предел принимается равным нулю.
58
Пример 7.3. |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8 |
|
||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
3 2 |
= 2 3 2 |
|
= 2 |
|
|
3 |
= |
|
|||||||||
−8 |
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
||
|
|
3 |
5 |
|
|
3 |
5 |
|
|
192 |
|
|
|
|
|||
|
= |
5 |
8 |
|
|
− 0 |
|
|
= |
|
5 . |
|
|
|
|||
Интегрирование по частям в определенном |
|
||||||||||||||||
|
|
|
интеграле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегрирование |
|
|
по |
|
|
|
частям |
в |
|||||||||
определенном интеграле производится по той же формуле что и в неопределенном интеграле, но с
подстановкой пределов в слагаемые правой части: |
||||||
|
∙ = ∙ |
− |
∙ |
(7.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.4. |
= |
|
1= |
|
||
4 |
2 = |
|
= |
|||
0 |
|
= 2 |
= 2 2 |
|
||
|
|
|
59 |
|
|
|