Лекция 9

Несобственные интегралы

Рассматривая определенный интеграл, мы полагали множество, на котором определена непрерывная функция, конечным, т. е. интеграл имеет конечные пределы.

Однако, нередко возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла и на случаи, когда интервал интегрирования бесконечный (один или два предела бесконечны) или когда подынтегральная функция в пределах интервала интегрирования терпит разрыв.

Определение. Интегралы, пределы интегрирования которых не существуют или подынтегральная функция терпит разрыв на множестве точек интегрирования, называются

несобственными.

Назовем несобственные интегралы с

бесконечными пределами интегралами второго рода, а интегралы с разрывными функциями – первого рода.

Для того чтобы можно применить теорию интегрирования определенного интеграла к вычислению несобственных интегралов необходимо заменить бесконечный предел конечным и исключить точку разрыва, разбив интеграл на сумму двух интегралов.

73

Определение. Интеграл∞ 2 рода

( )

называется сходящимся, если существует предел lim ( ) ,

→∞

причем значение предела считается значением

интеграла. Если предел не существует, то

Несобственный интеграл сходится и его

значение равно . Геометрически это можно трактовать как значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью на

бесконечном интервале.

74

интеграла. Если предел не существует, то интеграл – расходящийся.

Несобственный интеграл сходится, так как предел существует.

Замечание. Во многих случаях требуется установить лишь сходимость несобственных интегралов, не отыскивая их значений. В этом случае используют признаки сравнения, которые здесь не приводятся.

76