Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределённый и определённый интегралы. Конспект лекций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

522 Кб

Скачать

☆

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

___________________________________________________

Институт транспортной техники и систем управления (ИТТСУ)

Кафедра «Высшая и вычислительная математика»

Е. П. Корольков

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕРГРАЛЫ

Конспект лекций

для студентов специальностей ТПВ и ТПР

Москва – 2019

УДК 51

К-67

Корольков Е. П. Неопределённый и определённый интегралы: Конспект лекций. – М.: РУТ (МИИТ),

2019. – 76 с.

Конспект лекций содержит основные понятия, теоретические положения и примеры по неопределённым и определённым интегралам. Конспект лекций предназначен студентам 1 курса

ИТТСУ РУТ (МИИТ) специальностей ТПВ и ТПР.

Рецензенты:

исполняющая обязанности заведующего кафедрой «Математическое моделирование и системный анализ» РУТ (МИИТ) к.ф.-м.н. Зверкина Галина Александровна; доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВО

«Юго-Западный государственный университет», к.т.н. Скрипкина Елена Васильевна.

Св. план 2019 г., поз. 48

___________________________________________________

Тираж 30 экз.

_____________________________________________________________________

127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9 УПЦ ГИ РУТ (МИИТ)

	Содержание
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..........				6
Лекция 1.......................................................				6
Определение неопределенного интеграла....				6
Свойства неопределенного интеграла ..........				7
Теорема об инвариантности формул
интегрирования........................................................				10
Основная таблица интегралов......................				12
Лекция 2.....................................................				15
Интегрирование методом замены
переменной (метод подстановки)..........................				15
Метод интегрирования по частям ...............				19
Лекция 3.....................................................		∙		24
функций вида	( ) =	∙		24
функций вида			...................	24
Интегрирование тригонометрических
Универсальная тригонометрическая
подстановка..............................................................				26
Лекция 4.....................................................				30
Интегрирование дробно-рациональных
функций....................................................................				30
	3

Разложение рациональных дробей на
простые.....................................................................	31
Лекция 5.....................................................	41
Интегрирование некоторых иррациональных
функций....................................................................	41
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .........	47
Лекция 6........................................................	47
Задача о вычислении площади
криволинейной трапеции........................................	47
Теорема существования определенного
интеграла..................................................................	50
Свойства определенного интеграла ............	52
Теорема о среднем.........................................	54
Теорема о производной определенного
интеграла по переменному верхнему пределу.....	55
Лекция 7.....................................................	57
Формула Ньютона-Лейбница.......................	57
Интегрирование по частям в
определенном интеграле.........................................	59
Правило замены переменной в
определенном интеграле.........................................	60
4

Лекция 8.....................................................	62
Определенный интеграл в полярной
системе координат...................................................	62
Определение полярной системы
координат.................................................................	62
Определенный интеграл в полярных
координатах..............................................................	64
Геометрические приложения определенного
интеграла..................................................................	65
Вычисление объёма тел вращения..............	67
Вычисление длины плоской кривой ...........	69
Лекция 9.....................................................	73
Несобственные интегралы................................	73

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Лекция 1

Определение неопределенного интеграла

Ранее изучалась задача: по заданной функции найти её производную. Поставим обратную задача: по заданной производной найти функцию. Для решения этой задачи введем

понятие первообразной функции.

Первообразной

некоторой

заданной

функции

называется

такая

функция,

функция

будет

= ( )

производная которой равна заданной.

( )

Тогда

Пусть

дана функция

или

первообразной для

, если

( )

= ( )

(1.2)

выполняется равенство

= ( )

Первообразная,

( )

(1.1)

′

являясь

функцией,

геометрически изображается кривой, называемой

интегральной.

Неопределенный интеграл геометрически изображается совокупностью одинаковых интегральных кривых, сдвинутых по оси ординат.

Свойства неопределенного интеграла

Пусть выполняются равенства (1.1) или (1.2)

ипо определению( ) неопределенного= ( ) + . интеграла(1.3)

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство. Продифференцируем равенство (1.3):( ) ′ = ( ( ) + )′ .

Учитывая свойства производной и равенство

(1.1), получим( ) ′ = ′( ) = ( ) .

Что и требовалось доказать.

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Это свойство доказывается аналогично

предыдущему( ) . В результате= ( ( ) +получим) = ( ) .

Что и требовалось доказать.

3.Интеграл от дифференциала функции равен совокупности функций под

дифференциалом.

Доказательство. Пусть совокупность первообразных( некоторой) + = (функции) + . будет

По определению первообразной

(формула( ( )(1+.2)))имеем= ( ( ) + ) = ( ( ) ) .

Следовательно, по второму свойству

выражением( ( ) ) под знаком интеграла является

.( Таким( ) ) =образом( ( ) +, ) = ( ) + ,

что и требовалось доказать.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла∙ ( ) = ( ) ,

где – постоянный множитель. Доказательство. Продифференцируем обе

∙ ( ) ′ = ( ) ′	;
части равенства

∙ ( ) ′ = ∙ ( ) ;( ) ′ = ( ) ′ = ∙ ( ) .

Что и требовалось доказать.

5.Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от слагаемых

функций			( + + + + ) =
= ,+ + + + ,
где:	,	,	.	– функции независимой
			… ,

переменной Доказательство. Если продифференцировать

обе части равенства, то, учитывая свойства

производной( + +и свойство+ + )1, получим′ = ′ + + ′ + ′ + + ′ = = + + + + .

Свойство доказано.

Три последних свойства широко используют, отыскивая первообразные.

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]