увеличении числа разбиений и стремлении максимальной длины элемента разбиения к нулю.
Теорема.
существует, если непрерывна на[ ; интегрирования
Определенный интеграл подынтегральная функциямножестве] точек отрезка
.
Свойства определенного интеграла
Учитывая определение определенного интеграла как предела интегральной суммы, перечислим без доказательства те свойства интеграла, которые доказываются с помощью свойств предела функции:
1. Постоянный множитель можно
выносить из-под знака интеграла:∙ ( ) = ( )
2. Интеграл от суммы функций равен
сумме интегралов от каждой функции:
( ) + ( ) + + ( ) = = ( ) + ( ) + + ( )
52
3. Если отрезок интегрирования разбит на два участка, то интеграл от функции на отрезке
интегрирования |
равен |
сумме |
интегралов от |
|||
|
[ ; ] = |
[ ; ] + |
[ ; ], то |
|||
функции на обоих участках, т. е. если |
||||||
|
( ) |
= ( ) + |
( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
[ ; ], то и |
4. |
Если ( ) ≥ 0 на отрезке |
|||||
|
|
( ) |
≥ |
0 |
||
5. |
Если ( ) ≥ ( ) на |
[ ; ], то и |
||||
|
( ) ≥ |
( ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6. Если поменять местами пределы
интегрирования, то интеграл поменяет знак:
( ) = − ( )
Доказательство этого свойства следует из |
|||
< −1 . |
53 |
|
к , когда |
изменения направления отсчета от |
|||
Теорема о среднем Теорема. Если подынтегральная функция
непрерывна на отрезке |
|
, то внутри |
этого |
|||||||
отрезка найдется такая[ ; точка] |
= |
, |
что |
|||||||
выполняется равенство |
|
. |
(6.6) |
|||||||
( ) = ∫ |
|
( |
|
) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство−. |
|
Так |
как |
функция |
||||||
непрерывна на отрезке, то по свойству функций непрарывных на отрезке она принимает свое
нименьшее и наибольшее значение, |
т. е. она |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
ограничена снизу и сверху. Пусть наименьшее |
||||||||||||||
а |
|
наибольшее |
значения |
функции. |
Таким |
|||||||||
|
(6.7) |
|
||||||||||||
|
|
|
≤ ( ) |
≤ . |
|
|
|
|||||||
образом, выполняется неравенство |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Проинтегрируем |
|
неравество и, |
учитывая |
|||||||||
|
( − ) ≤ ( ) |
≤ ( − ) |
|
(6.8) |
||||||||||
свойство 5, получим |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
≤ |
|
∫ |
|
|
≤ . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||
54