Определенный интеграл в полярной системе координат

полюсом, а числовая ось – полярной осью.

полярной

Образуем радиус-вектор произвольной точки .

(рис. 8.1).

Тогда точку

можно определить

углом

между

осью

и длиной радиус-вектора

называется полярной.

Недостатком

полярной

системы

является

неоднозначность

определения

точки

.

Действительно, не изменяя длину радиус-

вектора

и поворачивая его вокруг полюса на

угол

,

обойти эту

62

2

точка

приходим в ту же точку. Таким образом,

2

определяется с точностью до

(

). Чтобы

неоднозначность

рассматривают

Функции,

и

заданные

[0; 2 ]

[−; ]

функции

т. д. Область непрерывности = ( )

.

на отрезке

или

или

= ( )

обозначают как

,

радиусНапример-

: ( ) ≥ 0

( ), ≥ 0

функции

,

находят из условия

не

отрицательности

длины

= 2 cos 2

cos 2 ,≥

0

вектора

,

.

−

2

+

2 ≤ 2

≤

2

+ 2 .

Придавая−

4

+ ≤

≤

4

,

+

,

получим

значения

3

−

< ≤

;

≤ ≤

5

.

функции:

две области непрерывности = 0

= 1

полярной

4

4

4

связи

4

Выведем

формулы

координат

полярной осью (рис. 8.2).

этого

декартовой систем координат. Для

совместим

начало с

полюсом

и

ось

– с

Следовательно,

=

∙

−

уравнения,

декартовыми.

=

∙

2

+ 2

Уравнения

=

с

связывающие

полярные

координаты

=

+

связывают декартовы координаты

с полярными.

Определенный интеграл в полярных

множестве

углов

.

= ( )

лучами на

координатах

[ ; ]

Пусть

задана

функция

на

которых

.

угол

∆

(

Разобьем

= 1, 2, 3, … , )

секторов, угол раствора каждого из

Внутри

каждого

элементарного

сектора

= (

)

и вычислим значение функции

выберем угол

= ( )

.

Теперь

каждый

элементарный

( )

2

криволинейный сектор заменим круговым радиуса

и составим выражение вида

2

∆

.

Суммируя,

вычисленные

таким

образом

выражения,

и увеличивая число

,

элементарных

( ) ∆

секторов, приходим к пределу вида:

который

→∞

1

2

называется определенным интегралом

в полярной

системе2

координат.

Этот

предел

системах

координат.

Если

уравнения

кривых

заданы в

2

= ( )

параметрическом

виде

= ( ) , то

определенный интеграл принимает вид

:

= ( )

̇( ) .

1

=

фигуры,

ограниченную кривой

Пример

8.1.

Вычислить

площадь

=

Так как аргумент и функция периодические.

периодом 2π, то параметр меняется от 0 до

2

.

Поэтомус

площадь фигуры

65

2

2

1 −cos 2 =

= −

= −

0

−

2

2

0

2 2

= −

2

2

0

= ед .

= (1 +

2 )

=

Пример 8.2. Вычислить площадь, ограниченную

кривыми

;

, вне круга.

Найдем точки пресечения кривых, решая

уравнения кривых совместно:

(1 + 2 ) = ;

2 = 0 ;

2

=

2

+

;

=

+

.

При:

4

2

= 0

= 4

;

= −1

= − 4 .

Учитывая

симметрию

кривых

относительно

полярной оси, получим

= 2

1

2 4

((1 + 2 )2

−12) =

2

0

66