ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 6
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
Определение. Фигура, ограниченная тремя прямыми, две из которых перпендикулярны третьей, и некоторой кривой, называется криволинейной трапецией.
Поставим задачу вычисления площади такой трапеции, ибо ни одна из формул евклидовой геометрии не может быть применена. Для этого введем декартову систему координат так, что ось ординат будет параллельна двум прямым, а ось абсцисс совпадает с третьей. Пусть кривая в
заданной |
системе |
описывается |
функцией |
|||||||
= ( Для), а |
трапеция |
|
|
|
|
|
||||
|
|
того |
чтобы |
|
представилась |
|||||
возможность |
применить |
известные |
формулы |
|||||||
Каждую |
точку |
|
[ ; ] |
|
|
|
произвольным |
|||
вычисления |
площади |
разобьем |
||||||||
образом |
отрезок |
|
на |
|
частей |
(рис. 6.1). |
||||
0 = , |
|
= . |
|
разбиения |
обозначим так, что |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
47
рис. 6.1
Рассмотрим « » отрезок (рис. 6.2), называемый∆ =элементом− разбиения( = 1, 2,, длина3, … , которого) .
−1
|
рис. 6.2 |
|
|
( ; ) = ( ) |
|
Внутри каждого элемента разбиения выберем |
||
произвольную точку |
|
и заменим |
|
48 |
|
∆ |
|
|
( )площадь |
|
каждую криволинейную трапецию на отрезках |
||||
|
прямоугольниками с высотами |
|
. В силу |
|
малости отрезков разбиения |
мало отличается |
|||
каждого такого прямоугольника |
∆ |
|
||
по величине от криволинейной трапеции на
каждом |
отрезке. |
Таким |
образом, |
величина |
∆ = ( ) ∙∆ |
|
элементе |
будет |
|
площади |
на |
каждом |
||
.
Сумма всех элементарных площадей
( ) ∙∆ ,
=1
называемая интегральной, приблизительно равна площади всей криволинейной трапеции, и она будет точнее с увеличением числа разбиений.
Следовательно, |
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
= |
|
) ∙∆ |
(6.1) |
|
|
( |
||||||
→∞ |
=1 |
|
→∞ |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Итак, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при бесконечном увеличении числа разбиений.
49
Теорема существования определенного интеграла
Рассмотрим последовательность действий составления предела вида (6.1), отвлекаясь от
физического |
|
смысла |
|
переменных |
и |
|
их |
||||||||||
непрерывная |
|
|
|
|
[ ; ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
обозначений: |
|
|
|
|
|
( ) |
в |
|
, причем |
|
|
||||||
частей точками |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Отрезок |
|
( |
|
, |
котором |
задана |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1, 2, 3, … , ) |
|
на |
|
|||||||
0 |
|
|
функция |
|
|
, |
разбивается |
|
|||||||||
= < 1 |
< 2 |
< < |
−1 |
< |
= |
|
|
||||||||||
разбиения |
|
|
|
|
|
[ −1; ] |
|
в произвольно |
|||||||||
2. |
Значение |
|
функции |
|
|
||||||||||||
выбранной точке |
|
∆ |
|
|
( каждого) |
элемента |
|||||||||||
3. Берется |
|
|
= − −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
умножается на длину элемента |
|
|
|
|
|||||||||||
= ( 1)∆1 |
+ ( 2)∆2 |
|
|
. |
|
|
= |
||||||||||
+ + ( )∆ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
сумма всех таких произведений |
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
||
|
|
|
( ) ∙∆ |
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
|
=1 |
|
|
|
предел |
интегральной |
||||||||
|
|
Находится |
|
|
|||||||||||||
суммы (6.2) при стремлении к нулю максимальной
длины элемента разбиения и, следовательно, при |
|||||
→ ∞: |
→∞ |
→∞ |
|
|
|
увеличении числа элементов разбиения, т. е. при |
|||||
= |
= ( |
) ∙∆ |
(6.3) |
||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
Предел |
|
(6.3) |
|
принято |
|
называть |
||||||
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
от |
||||
определенным |
интегралом или |
интегралом |
|||||||||||
функции |
= |
|
в |
пределах |
от |
|
до |
|
и |
||||
|
|
( ) . |
|
|
(6.4) |
||||||||
обозначается: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ясно, что |
|
|
( |
) ∙∆ |
, |
|
(6.5) |
|||||
( ) |
|
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
→∞ |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
,( )– пределы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где: |
интегрирования. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
– подынтегральное выражение; |
|
|
||||||||
|
( ) – |
|
|
||||||||||
Определение. Определенным интегралом
называется предел интегральной суммы (6.5) при увеличении числа элементов разбиения и стремлении к нулю наибольшего элемента разбиения, если он существует[ ; и] не зависит от способа разбиения отрезка выбора точки внутри каждого элемента разбиения.
Вообще говоря, интегральные суммы могут значительно отличаться друг от друга в зависимости от способа разбиения. Однако, для непрерывных функций это различие стирается при
51