Лекция 5
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим интегрирование функции,
рациональной относительно переменной и различных радикалов, √ из, √неё, …, т,. е√. .
Интегрирование сводится к интегрированию рациональной функции относительно= новой переменой после замены , где – наименьшее общее кратное показателей радикалов.
Пример 5.1. |
|
|
|
2 = |
= 65 |
|
= |
||
|
+ √ |
|
|
= 6 |
|
|
|||
√6 5 |
|
|
|
( + 1) −1 |
|
||||
= |
3 |
+ 4 |
= 6 |
1 + |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 6 |
− |
6 |
1 + |
= 6 −6 |1 + | + . |
|||||
Практически ничего не меняется, если подкоренное выражение есть одна и та же дробно
41
|
, |
|
|
|
|
. |
( ) = + |
|
|
|
|
|
||
линейная |
|
функция |
+ |
, |
особенно, если |
|||||||||
= 0 |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
√ 2 |
Рассмотрим |
несколько |
|
|
|
интегралов, |
||||||||
+ |
+ . |
|
|
|
|
|
|
выражения |
||||||
зависящих |
|
|
от иррационального |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
||
|
1. Если интеграл имеет |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
√ + + |
|
2 |
2 |
|||||
то преобразуя радикал к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
|
∙ |
|
|
+ + = √ ∙ + |
2 |
|
+ − 4 |
||||||
и выделяя полный квадрат, приводим интеграл к табличному ( – может быть отрицательным).
Пример 5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√5 + 4 − 2 |
= |
−( 2 −4 −5) |
= |
|
|||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
−( 2 −4 + 4 −9) |
|
−( −2)2 |
+ 9 |
||||||
|
|
|
|
−2 |
+ . |
|
|
|||
|
|
|
= 42 |
3 |
|
|
||||
2. |
Интеграл вида |
|
|
|
|
|||
|
|
( − ) ∙√ + + |
||||||
|
− = |
|
= − |
|
|
|||
заменой |
|
1 |
; |
|
|
сводится к |
||
рассмотренному в пункте 1. |
|
2 |
|
|||||
3. |
Интегралы |
|
+ |
|
|
|
||
|
|
|
√ + |
+ |
|
|||
представляют суммой двух интегралов, которые преобразуются подобно простой дроби вида 3 (смотри разложение на простые дроби в лекции 4).
|
|
4. |
Интегралы с функциями вида |
√ |
− |
|
||||||
|
|
√ |
− |
, б) |
√ |
|
+ |
|
||||
аб)) |
а) |
|
|
|
|
|
, в) |
|
|
|||
= |
,, |
|
|
|
|
|
|
|||||
соответствующими заменами для случая: |
|
|
||||||||||
в) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сводятся к интегрированию тригонометрических функций.
43
Пример 5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 −3 2 = |
|
√23 |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
= 4 −3 |
3 |
|
|
|
|
√3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
= |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
√3 |
|
|
= |
||||||||||||||
= |
|
4 |
|
|
1 + 2 2 |
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
2 + . |
||||||||
|
|
√3Нередко |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вида |
|
|
√3б) |
|
|
и |
в) |
|||||||||
|
|
функции √3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
преобразуют, |
|
|
|
|
|
|
используя |
|
|
|
|
|
|
замены |
||||||||||||||
гиперболическими функциями |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
учитывая соотношения |
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − 2 |
= 2 − |
1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
2 2 = 1 + 2 , |
44 |
2 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 5. 4. |
2 |
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−9 = = 3 |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
= 9 2 −9 |
3 = 9 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 −1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 9 |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
4 |
2 − |
2 |
+ . |
|
|
||||||||||||||
Пример 5. 5. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= = |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
= 3 1 + 2 |
= 3 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
= ( |
2 |
−1) |
2 |
|
( ) |
1 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
3 |
+ . |
|||||||||||||
|
|
= 5 |
|
−3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Интегралы |
вида |
∫ |
|
|
, |
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
к |
|||
заменами функций одной переменной( ) |
|
сводятся( ) |
||||||||||||||||||||||||||
интегралам от рациональных функций |
|
|
|
( ) . |
||||||||||||||||||||||||
Пример 5. 6. |
2 |
|
|
|
|
= |
|
||||||
|
(1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
+ |
) |
|
= = |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
1 + 2 |
||||||||
= |
(1 + 2)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
1 + 2 |
= |
|
+ = |
|||||||
|
|
|
= | | + |
2 |
+ . |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
46