Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Методические рекомендации
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
Неопределенные и определенные интегралы
Альтаир-МГАВТ
Москва
2010
1
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
Неопределенные и определенные интегралы
Методические рекомендации
Альтаир-МГАВТ
Москва
2010
2
Махова Наталья Борисовна
Мацур Франческа Казимировна
Неопределенные и определенные интегралы
Методические рекомендации
Подписано к печати 2010 г.
Формат: 60 х 90/16. Объем п. л.
Заказ № Тираж ______ экз.
Альтаир – МГАВТ
Московской государственной академии водного транспорта
117105 г. Москва, Новоданиловская наб., д.2, корп. 1
3
Махова Н.Б., Мацур Ф.К. Неопределенные и определенные интегралы.
Методические рекомендации.– Альтаир-МГАВТ, 2010 г. – 80 с.
Методические рекомендации содержат теоретические сведения по темам
неопределенные и определенные интегралы по курсу «Высшая математика». В
работе детально рассмотрены типовые задачи, приведены варианты контрольных работ, а также дано большое количество вариантов заданий для самостоя-
тельного решения.
Данные методические рекомендации могут быть использованы при подготовки студентов к интернет-тестированию.
Для студентов I и II курсов очного и заочного обучения технических спе-
циальностей.
Рецензент – кандидат физико-математических наук, профессор кафедры
Высшей математики Киселев Д.М.
Рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры Высшей
математики (протокол №10 от 10 июня 2010 г.)
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать
материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы.
МГАВТ, 2010
Махова Н.Б., 2010
Мацур Ф.К.
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1.Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства . . . . . . . 4
§ 2.Таблица основных неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 3.Понятие об основных методах интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 4.Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе . . 9
§ 5.Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 6.Интегрирование простейших иррациональных функций . . . . . . . . . . . . 13
§ 7.Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций . . . . . . . . . 14
§ 8.Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . 17
Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 1.Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам Понятие определенного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 2.Геометрический смысл определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 3.Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 4.Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . 24
§ 5.Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница . 25
§ 6.Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям . . . . 26
§ 7.Приближенное вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . . . . 28
§ 8.Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 1.Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах . . . 33
§ 2.Площадь в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 3. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§ 4.Объем тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 5.Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§ 6.Работа переменной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Варианты контрольных работ №1 - №20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Индивидуальные задания. Часть первая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Индивидуальные задания. Часть вторая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5
)()( xfxF
;
xxF ln)(
x
xf1)(
;0
x
x1ln
2
11х
2
1
1
arcsinxx
CxFdxxf )()(
)())(( xfdxxf
dxxfdxxfd )()(
Cxxd )()(
)0,(,)()( kconstkdxxfkdxxkf
.)()()]()([
2121
dxxfdxxfdxxfxf
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства
Функция F(x), определенная в промежутке (a, b), называется первообразной данной
функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения х(a, b) выполняется равенство
(1)
Например, функция F(x)= x4 – первообразная функции f(x)= 4x3 в интервале (-
поскольку (x4)'= 4x3 для всех х;
),
функция
;
функция F(x)=arcsin x – первообразная функции f(x)=
.
Если F(x) - первообразная функции f(x), то Ф(х)= F(x) +C, (2)
где С- произвольная постоянная, также является ее первообразной, поскольку
Ф'(х)=[F(x)+C]'= F'(x)+0 = f(x). Обратно, если F(x) и Ф(х) – две первообразные функции f(x),
то они отличаются произвольным слагаемым, т. е. Ф(х) - F(x) =С, Ф(х) = F(x)+С.
Таким образом, выражение (2), в котором функция F(x) удовлетворяет условию (1), опре-
деляет множество всех первообразных данной функции f(x) в заданном промежутке (а,b).
Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех ее
первообразных
где F'(x)=f(x). Знак называется знаком неопределенного интеграла; функция f(x) –
подынтегральной функцией; выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.
Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрированием.
Неопределенный интеграл обладает следующими основными свойствами:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; диффе-
ренциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
– первообразная функции
, (3)
; (4)
в интервале
в интервале (-1; 1), ибо
, так как
ции с точностью до постоянного слагаемого:
первообразную, причем
; (5)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функ-
. (6)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
. (7)
4. Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x)+f2(x) также имеет
(8)
6
§ 2. Таблица основных неопределенных интегралов
Cxdxdx 1
)1(,
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
Cx
x
dx
dx
х
ln
1
).0(,ln aC
a
a
dxa
x
x
.Cedxe
xx
.sincos Cxxdx
.cossin Cxxdx
.
coscos
1
22
Ctgx
x
dx
dx
x
.
sinsin
1
22
Cctgx
x
dx
dx
x
.arccosarcsin
1
2
CxCx
x
dx
.
1
2
CarcctgxCarctgx
x
dx
),( bxddx
constb
0),(
1
aaxd
a
dx
0),(
1
abaxd
a
dx
);(
2
1
2
bxdxdx
);cos(sin xdxdx
);(sincos xdxdx
).()( xddxx
C
x
xxdxdxxdx
7
7cos
)7(7sin
7
1
)7(
7
1
7sin7sin
.)4ln(
2
1
4
)4(
2
1
4
)4(
2
1
4
2
2
2
2
2
2
Cx
x
xd
x
xd
x
xdx
Так как интегрирование является операцией обратной дифференцированию, то из фор-
мул таблицы дифференциалов, получим таблицу простейших неопределенных интегралов:
1.
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены со-
ответствующие функции.
Замечание. Применив простейшие преобразования дифференциалов, получим:
1)
где
.
.
;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
П р и м е р 1.
П р и м е р 2.
;
;
.
7
§ 3. Понятие об основных методах интегрирования
)(),......,(),(
21
xfxfxf
n
)(....)()()(
21
xfxfxfxf
n
,)(...)()()(...)()(
2121
dxxdxxfdxxfdxxfxfxf
nn
C
n
xaxa
xa
xadxxadxxaxdxadxa
dxxadxxaxdxadxadxxaxaxaa
n
n
n
n
n
n
n
n
132
)(
13
2
2
1
0
2
210
2
210
2
210
.)(cos dxex
x
.sincos)(cos Cexdxexdxdxex
xxx
dx
x
x
x
2
111
C
x
xxdxxx
x
dx
x
x
x
1
2ln
1111
2
2
1
2
)(tx
)()]([ ttf
CtFdtttf )]([)()]([
)()]([)]}([{
''/
ttfFtF
tt
)(')]([ ttf
)](t
,)]([)(')([ CtFdtttf
,)()()([ dxxfCxFCtF
dtttfdxxf )(')]([)(
.)32sin( dxx
3
,
3
2 dt
dx
t
x
CxCttdt
dt
tdxx
)32cos(
3
1
cos
3
1
sin
3
1
)
3
(sin)32sin(
.2sin
2
sin
dxxe
x
I. Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла. Если функ-
ции
т.е. неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен та-
кой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых.
В частности,
Следовательно, для всякого многочлена степени n существует первообразная и она
равна многочлену степени n+1.
П р и м е р 1. Найти неопределенный интеграл
имеют первообразные в некотором промежутке, то функция
также имеет первообразную в том же промежутке, причем
П р и м е р 2. Найти неопределенный интеграл
.
II. Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема: Если F(x) – первообразная функции f(x), а
функция, то функция
также имеет первообразную, причем
.
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции
,
т.е. функция
Следовательно,
, имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F[
что и требовалось доказать.
Поскольку
то
. (9)
.
- дифференцируемая
.
По формуле (9) осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле.
П р и м е р 3. Найти неопределенный интеграл
Введем новую переменную по формуле 2-3х=t, тогда
П р и м е р 4. Найти неопределенный интеграл
и
.
8
Введем новую переменную по формуле
tx
2
sin
dtxdxx cossin2
dtxdx 2sin
CeCedtedxxe
xttx
22
sinsin
2sin
2
x
dx
xtx
2
2
xxt
22
2
2
)1(
x
tdx
dx
x
xx
dx
x
x
dt
,
2
t
dt
x
dx
CxxCt
t
dt
x
dx
2
2
lnln
Cxx
x
dx
2
2
ln
).0(22
adxxa
,2sin
42
)2(
2
1
2cos
22
2
2cos1
sin)sin(cos
2222
22222222
Ct
ata
tdt
a
dt
a
dt
t
atdtadttataadxxa
.arccos
2
2
2222
C
a
xa
xa
a
x
dxxa
vduuvudv
vduudvuvd )(
vduuvdudv )(
vduuvudv
xdxx 2sin
.2cos
2
1
, vxdudx
2
2cos
2cos
2
1
2
2cos
)2cos
2
1
()2cos
2
1
(2sin
xx
xdx
xx
dxxxxxdxx
C
xxx
xxd
4
2sin
2
2cos
)2(2cos
4
1
dxx
2
,,
2
dvdxux
vxdu
x
xdx
,
2
.
2
2
2
2
22
x
dxx
xxdx
x
x
xxxdxx
и
, тогда
.
,
П р и м е р 5. Найти неопределенный интеграл
Применим так называемую подстановку Эйлера
Поскольку
то
Следовательно,
.
.
П р и м е р 6. Найти
Положим x=a cos t, тогда dx=-a sin tdt. Cледовательно,
возвращаясь к исходной переменной х. Получаем
.
или
или
.
III. Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:
. (10)
Поскольку
П р и м е р 7. Найти
или
, то
. Положим x=u, sin 2x=dv, тогда
По формуле (10) находим:
.
П р и м е р 8. Найти
Положим
.
тогда
, по формуле (10) получаем
.
9
Преобразуем последний интеграл
2
2
22
2
2
2
2
2
)(
x
dx
dxx
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
x
dxx
,
2
222
x
dx
dxxxxdxx
2
22
2
x
dx
xxdxx
Cxx
x
dx
2
2
ln
Cxxxxdxx
]ln[
2
1
222
xln
xarcsin
xarccos
xarctg
xarctg
2
x
2
ar ccos
x
ln
dxxx 1ln
ux 1ln
dvxdx
du
x
dx
1
vx
2
2
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dxx
x
x
dxxx
1
11
2
1
1ln
212
1
1ln
212
1ln
2
1ln
222222
1ln
2
1
1
2
1
1ln
21
1
1
1
2
1
1ln
2
222
xdxxx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
Cx
xx
x
x
xx
x
x
x
1ln
2
1
24
1ln
2
1ln
2
1
22
1
1ln
2
2222
Cx
xx
x
x
dxxx
1ln
2
1
24
1ln
2
1ln
22
mxdxbax
n
cos
mxdxbax
n
sin
dxebax
mx
n
bax
xdxx cos
2
ux
2
dvxdx cos
duxdx 2
vx sin
xdxxxxxdxxxxxdxx sin2sin2sinsincos
222
vxdudxdvxdxuxxdxx cos,,sin,sin
Cxxxxdxxxxdxxx
sincoscoscoscoscos
Следовательно,
откуда
, получим
Большая часть интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может
быть разбита на следующие три группы:
а) к первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в
качестве множителя одну из следующих функций:
,
мулу (10), полагая в ней u равной одной из указанных выше функций.
П р и м е р 9. Найти
, по формуле (10) находим:
, … . Для вычисления интегралов первой группы следует применить фор-
. Положим
, принимая во внимание, что
,
,
,
.
,
, тогда
,
,
,
.
Получили
б) ко второй группе относятся интегралы вида:
, где a, b, m – некоторые постоянные, n – любое целое положительное число.
Интегралы второй группы берутся путем n – кратного применения формулы интегрирования
по частям (10), причем в качестве u всякий раз следует брать
степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на едини-
цу.
П р и м е р 10. Найти
, по формуле (10) находим:
Найдем последний интеграл:
. Положим
,
.
,
в соответствующей
, тогда
.
,
,
10
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]