Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Методические рекомендации
.pdf
k
k
x
k
xsin
k
k
kk
x
x
xfy
sin
)(
100
, yy
)9,2,1( ky
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
0,09983
0,19867
0,29552
0,38942
0,47943
0,56464
0,64422
0,71736
0,78333
0,84147
1
0,84147
0,99830
0,99335
0,98507
0,97355
0,95886
0,94107
0,92031
0,89670
0,87037
Σ
1,84147
8,53758
94583,053758,8284147,1
2
1,0sin
1
0
dx
x
x
ba,
nm 2
n
ab
h
2
22
xaAM
1
M
2
M
cbxaxy
2
1
M
2
M
2
M
3
M
4
M
4
M
5
M
6
M
cbxaxy
2
hx , hx
),4(
3
210
yyy
h
S
hyxyy
00
011yxyy
hyxyy
22
у
а
Х
1
Х
2
в
Х
А
М
3
М4 М
5
В
По формуле (29) получаем
.
Формула парабол. Определенный интеграл (25) можно вычислить приближенно и
другими способами.
Отрезок
разобьем на четное число
равных элементарных отрезков, длинна
каждого из которых
. (30)
Рис. 7
ная трапеция ограничена параболой
еѐ площадь определяется формулой
где
Криволинейную трапецию
(рис. 7) заменим соответствующей пара-
болической трапецией, ограниченной
сверху другой параболы, проходящей
через три точки А,
,
, ось которой
параллельна оси Оу. Уравнение такой
параболы имеет вид
эффициенты этого уравнение определя-
ются из условия, что парабола проходит
через три точки А,
,
. Аналогичную замену осуществляем для других
точек
,
;
,
,
,
Вычислим площадь одной параболической трапеции. Покажем, что если криволиней-
, осью Ох и прямыми
(31)
,
,
.
31
, ко-
и т.д.
, то
Коэффициенты уравнения параболы
cbxaxy
2
.
,
,
2
2
1
2
0
cbhahy
cy
cbhahy
h
h
h
h
cx
bxax
dxcbxaxS
23
)(
23
2
)62(
3
2
cah
h
S
cahyyy 624
2
210
b
a
x
a
x
x
x
x
n
n
dxxfdxxfdxxfdxxf
2
2
22
4
2
)()()(
)4(
3
)4(
3
)4(
3
)(
21222432210 nnn
b
a
yyy
h
yyy
h
yyy
h
dxxf
)](2)(4[
3
)(
2242123120
nnn
b
a
yyyyyyyy
h
dxxf
2
0
cosxdx
xy cos
141592,3
000000,00x
000000,10y
157080,01x
987688,01y
314159,02x
951057,02y
471238,03x
891007,03y
628317,04x
809017,04y
785396,05x
707108,05y
942475,06x
587787,06y
099554,17x
453993,07y
256633,18x
309020,08y
413712,19x
156439,09y
570791,110x
000005,010y
196235,3
1231
n
yyy
157079,0h
656881,2
2242
n
yyy
000005,10nyy
.000000,1656881,22196235,34000005,1052359,0cos
2
0
xdx
, определяются из системы уравнений
(32)
Считая коэффициенты а, b, с известными, находим площадь рассматриваемой парабо-
лической трапеции
,
. (33)
С другой стороны, из системы (32) следует
. (34)
Из двух последних формул получаем формулу (31).
Поскольку
, то с помощью формулы (31)
находим
, или
. (35)
Это и есть формула парабол или формула Симпсона.
П р и м е р 2. Вычислить определенный интеграл
с помощью формулы
Симпсона, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с
точностью до 0,00001.
Разобьем интервал интегрирования на 10 частей и значения функции
в таблицу
:
запишем
Подставив вычисленные данные в формулу Симпсона, получим:
32
§ 8. Несобственные интегралы
)(xf
ba,
)(xfy
ax
dxxfbI
b
a
b
)(xf
,a
b
a
b
a
dxxfdxxf lim
1
x
dx
1
.1
1
1
lim
1
1
1
lim
1
1
limlim
1
11
11
b
b
b
x
x
dx
x
dx
bbb
b
b
1
1
1
1
x
dx
1
1
x
dx
1
.
1
ln
1
x
x
dx
1
b
a
a
b
dxxfdxxf lim
c
c
dxxfdxxfdxxf
,
При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются ус-
ловия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция
ограничена на отрезке
венным. Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл называ-
ют несобственным.
Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция
любом
. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом.
. В этом случае определенный интеграл называют собст-
непрерывна при
. (36)
Предположим, что при
зывается сходящимся несобственным интегралом от функции
функция (36) имеет конечный предел; этот предел на-
по промежутку
и обозначается
. (37)
Если предел (37) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл
называется расходящимся.
П р и м е р 1. Исследовать, при каких сходится несобственный интеграл
Если
Следовательно, при
при
В случае
, то
:
:
.
:
,
.
Итак, несобственный интеграл сходится при
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами
где c-любая точка из интеграла
Приведѐм без доказательства две теоремы, с их помощью можно исследовать вопрос о
сходимости некоторых несобственных интегралов.
.
(38)
, (39)
.
33
ТЕОРЕМА 1: Если при
ax
xfx 0
a
dxxf
a
dxx ,)(
;)()(
aa
dxxfdxx
a
dxx)(
a
dxxf )(
,a
)(xfy
a
dxxf )(
a
dxxf )(
)(xfy
],[ ba
cxa
bxс
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
00
limlim
.0,0
bc
ac
b
a
b
a
dxxfdxxf
0
lim
b
a
b
a
dxxfdxxf
0
lim
)(
1
)(axx
b
a
ax
dx
)(
1
1
2
0
2
3
3xx
dx
0x
3
2
3
1
3
1
xxx
2
0
3
1
2
0
3
x
dx
x
dx
выполнены неравенства
и
сходится, то сходится и
расходится и
.
причем
ТЕОРЕМА 2: Если в промежутке
сходится, то сходится также
.
Интегралы от неограниченных функций. Если функция
окрестности точки с отрезка
и непрерывна при
интеграл от этой функции определяется формулой
где
В случае
или
получаем
; (41)
если
функция
и
, (40)
расходится, то
меняет знак и
не ограничена в
, то несобственный
. (42)
Несобственный интеграл (41) и (42) называется сходящимся, если существует конечный
предел соответствующего определенного интеграла; в противном случае интеграл называет-
ся расходящимся.
Несобственный интеграл (40) называется сходящимся, если существуют и конечны оба
предела в правой части.
Для интегралов от неограниченных функций справедливы теоремы, аналогичные тео-
ремам 1 и 2. Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений.
В качестве функции, часто выбирают
сходится при
и расходится при
.
П р и м е р 2. Исследовать, сходится ли интеграл
Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки
и
- сходится, то сходится и данный интеграл.
. Докажите самостоятельно, что
.
. Поскольку
34
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
)(xfy
ax
b
a
dxxfS )(
),(yx
,, cydy
,Oy
d
c
dyyS .)(
1221
BBAA
)(22xfy
)(11xfy
ax
b
a
dxxfxfS )]()([
12
2211
CDDC
)(11yx
)(22yx
,cy
dy
§ 1. Площадь криволинейной фигуры
в прямоугольных декартовых координатах
Как было показано в § 2 главы «Определенный интеграл», площадь криволинейной
трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком функции
, Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. соответственно, снизу
осью Ох (рис. 1), вычисляется по формуле
. (1)
, слева и справа - прямыми
Рис. 1
Площадь криволинейной трапеции cCDd (рис. 2), ограниченной справа графиком
функции
сверху и снизу – соответственно прямыми
слева – осью
определяется формулой
(2)
Площадь криволинейной фигу-
ры
графиком функции
– графиком функции
ва и справа – прямыми
ка! Объект не может быть создан из кодов
полей редактирования. (рис. 3), вы-
, ограниченной сверху
, снизу
, сле-
, Ошиб-
числяется по формуле
. (3)
Рис. 2
Эта формула получена с помощью формулы (1), так как указанная фигура представляет
разность двух криволинейных трапеций.
Площадь фигуры
, ограниченной слева и справа соответственно графиками
функций
,
, снизу и сверху – прямыми
,(рис. 4), определя-
ется формулой
35
d
c
dyyyS )]()([
12
. (4)
2
xy
xy
0,0O
1,1N
1221
BBAA
1
A
2
A
1
B
2
B
2
11
)( xxfy
xxfy )(
22
0a, 1b
.ед
6
1
3
1
2
1
0
1
32
2
32
1
0
2
xx
dxxxS
tx
1
ty
2
.)(,)(,
11
bat
)(tfy
ba,
b
a
b
a
dxxfydxS )(
Рис. 3 Рис. 4
В более общем случае криволинейную фигуру разбивают на части, площади которых
вычисляют по приведенным формулам или определяются непосредственно.
П р и м е р 1. Вычислить площадь криволинейной фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
Данные линии пересекаются в точ-
ках
и
. Воспользуемся
формулой (3), поскольку данная фигура –
частный случай фигуры
точки
и
совпадают с точкой О,
(рис.3),
точки
и
В
- с точкой N.
2
Полагая в этой формуле
,
, получаем
Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху
(рис. 1), задана параметрическими уравнениями
,
где
Уравнения (5) определяют некоторую функцию
, (5)
на отрезке
.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
36
,
.
Перейдем к новой переменной по формуле
tx
1
dttdx
1
ttfxfy
21
b
a
dtttS .
/
12
tax cos
tby sin
2
,
0
2
4
2sin
2
4
2cos1
4sin4)sin)(sin(4
0
2
2
0
2
0
2
ab
tt
abdt
t
t
abtdtabdttatbS
.ед
2
abS
Rba
2
RS
)(
,
kk
MOM
1
BMAMnk
n
,,,1
0
k
1k
OM
k
OM
1k
k
kk
MOM
1
/
kk
/
k
],[
1 kk
k
kkk
s
2
2
1
n
k
kkkk
n
k
n
S
1
2/2
1
2
1
2
1
n
0max
k
n
k
n
k
kkkk
S
1 1
2
0
2
0
2
1
lim)]([
2
1
lim
d
n
k
kk
2
1
2
0
2
1
2
1
lim
, тогда
. На основании
уравнений (5) получаем
.
Следовательно,
(6)
П р и м е р 2. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом
.
В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить
площадь области, лежащей в первой четверти, и результат умножить на четыре. Замечаем,
что в этом случае х меняется от 0 до а, поэтому t будет меняться от
до 0, по формуле (6)
находим
Замечание. В частном случае, когда
, получаем
– площадь круга ра-
диуса R.
§ 2. Площадь в полярных координатах
Рассмотрим криволинейный сектор ОАВ (рис. 5), ограниченный линией, заданной
уравнением
ОА и ОВ, для которых соответственно
в полярных координатах, Ошибка! Раздел не указан.двумя лучами
.
,
Сектор ОАВ разобьѐм на элементарные секторы
. Обозначим через
разующими с полярной осью углы
торов
из промежутка
заменим круговым сектором с радиусом
и центральным углом
,
жается формулой
Сумма
и
соответственно. Каждый из элементарных сек-
.
угол между лучами
, где
и
- значение угла
. Площадь последнего сектора выра-
выражает площадь «ступенчатого» сек-
тора, приближѐнно заменяющего данный сектор ОАВ.
Площадью сектора ОАВ называется предел площади «ступенчатого» сектора при
и
:
.
Так как
, то
, об-
37
dS )(
2
1
2
. (7)
2sin
22
a
222
2
4
0
4
0
22
ед,
4
1
0
4
2cos
4
)2(2sin
4
1
2sin
2
1
4
1
aSa
a
dadaS
kkMM1
n
k
kkn
n
MMss
1
1
0
limlim
)()(),(),(
321
ttztytx
)(t
i
)3,2,1( i
dtzyxds
ttt
222
],[
dtzyxs
ttt
222
Рис. 5 Рис. 6
П р и м е р. Вычислить площадь области, ограниченной лемнискатой
.
Принимая во внимание симметрию линии относительно ее оси (рис. 6), по формуле (7)
получаем
.
§ 3. Длина дуги кривой
Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломанной, когда чис-
ло звеньев
Обозначив длину дуги через s, получим
большего звена (рис. 7).
неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.
, где
- длина наи-
Если линия задана параметрическими уравне-
ниями
, (8)
где
- дифференцируемые функ-
ции аргумента t, то дифференциал длины дуги пространственной линии определяется формулой
. (9)
Интегрируя равенство (9) по промежутку
получаем формулу для вычисления длины дуги линии (8)
,
. (10)
Рис. 7
38
Если линия (8) лежит в плоскости Оху, то
0z
],[t
.22dtyxs
tt
)(xfy
)( bxa
)(xf
b
a
x
dxys
2
1
)(
)(
cosx
siny
cos)(x
sin)(y
sin)(cos)(
x
cos)(sin)(
y
22/22
yx
ds
22
)(
)(
tax cos
tay sin
btz
0t
t
tax sin
tay cos
bz
222/2/2/
bazyx
2222
0
22
0
batbadtbas
ед
22
bas
)cos1(2 a
sin2a
,
2
sin16
)cos1(8coscos21sin4
)cos1(4sin4
22
2222
222222
a
aa
aa
ед.1616
0
2
cos16
22
sin16
2
sin42
2
sin162
000
22
asaa
dadadas
constx
],[ bax
)(xSS
при всех
(11)
, поэтому
В случае, когда плоская линия задана уравнением
дифференцируемая функция, последняя формула примет вид
. (12)
Пусть плоская линия задана уравнением
тах. Принимая во внимание формулы:
уравнения рассматриваемой линии
играет полярный угол
,
,
. Поскольку
,
, то формула (11) принимает вид
. (13)
Формула (13) выражает длину дуги линии
П р и м е р 1. Вычислить длину дуги винтовой линии
жду точками, для которых
Поскольку
,
,
.
,
,
(10) находим
, где
-
в полярных координа-
, получаем параметрические
, в которых роль параметра
в полярных координатах.
,
,
ме-
, то по формуле
,
,
.
П р и м е р 2. Найти длину кардиоиды
Так как
(рис. 8).
,
то по формуле (13) получаем
Рис. 8
§ 4. Объем тела
Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ох
и определяемыми уравнениями
вестна площадь
поперечного сечения данного тела.
(рис. 9). Для любого фиксированного
из-
39
Элементарный слой, отсеченный плоскостями
1k
xx
k
xx
,,1( nk
,0ax
)bxn
1
kkk
xxx
)(kS
],[
1 kkxx
kkk
xSV )(
n
k
n
k
kkkn
xSvV
1 1
)(
)(xSS
],[ ba
,0
k
x
n
k
kk
xSV
1
0
)(lim
b
a
n
k
kk
dxxSxS
1
0
)(lim
b
a
dxxSV )(
)(xfy
bxa
)()(
222
xfyrxS
b
a
x
dxyV
2
b
a
x
dxxfV
2
)(yx
)( dyc
d
c
y
dyxV
2
d
c
y
dyyV )(
2
2
xy
0x
2y
,
,
заменим цилиндром с высотой
Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой
и площадью основания
,
.
.
Составим сумму всех таких произведений
, (14)
являющуюся интегральной суммой для данной функции
на отрезке
. Она вы-
ражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно
заменяющего данное тело.
Рис. 9 Рис. 10 а Рис. 10 б
Объемом данного тела называют предел объема указанного ступенчатого тела при
где - длина наибольшего из элементарных отрезков
.
Обозначим через V объем данного тела, тогда по определению
. (15)
С другой стороны,
.
Из двух последних равенств, следует искомая формула для вычисления объема тела по
заданным поперечным сечениям
. (16)
Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, огра-
ниченной сверху дугой непрерывной линии
, где
(рис. 10 а), то
и формула (16) принимает вид
или
. (17)
Замечание. Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапе-
ции CcdD (рис. 10 б) где CD – дуга кривой
или
, определяется формулой
. (18)
П р и м е р 1. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволи-
нейной трапеции, ограниченной линиями
,
,
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]