Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Методические рекомендации
.pdf
Следовательно,
Cxxxxxxdxx
sin2cos2sincos
22
bxdxeaxcos
bxdxeaxsin
dxxlnsin
dxxlncos
dxxlncos
ux lncos
dvdx
dudx
x
xlnsin
vx
.lnsinlncos
lnsin
lncoslncos
dxxxxxdx
x
x
xxdxx
.
lncos
lnsin,
lncos
,,lnsinlnsin
xdx
x
x
xxvxdudx
x
x
dvdxuxdxx
dxxxxxxdxx lncoslnsinlncoslncos
.lnsinlncos
2
lnsinlncos2lnsinlncos Cxx
x
JxxxJJxxxxJ
cbxax
AxAxAxAxA
xP
xP
xR
n
n
n
nn
2
01
2
2
1
1
2
...
)(
)(
)(
,)()(
2
cbxax
lkx
xQmxR
cbxax
lkx
xF
2)(
.,,
22222
x
xdx
ax
dx
ax
dx
С
a
x
arctg
a
a
x
a
x
d
a
a
x
dx
a
ax
dx
1
1
1
1
1
2
2
2
2
22
.
1
22
С
a
x
arctg
a
ax
dx
в) к третьей группе относятся интегралы вида:
, … . В результате их интегрирования получаем круговые интегралы.
Интегралы, при вычислении которых получается опять исходный интеграл, называются
круговыми или возвратными.
П р и м е р 11. Найти
. Положим
.
,
,
,
,
, тогда
,
Найдем последний интеграл:
Обозначив исходный интеграл за J, получаем:
, по формуле (10) находим:
§ 4. Интегрирование рациональных дробей
с квадратным трехчленом в знаменателе
Пусть требуется найти ∫R(x)dx, где
, то есть
.
Произведя деление, получим
где Qm(x) - многочлен, степень которого ниже степени многочлена Pn(x).
Первообразная от многочлена Qm(x) находится легко, остаѐтся найти первообразную
функции
Рассмотрим сначала некоторые основные интегралы:
Первый из этих интегралов приводится к табличному простым преобразованием по-
дынтегрального выражения:
Чтобы найти второй интеграл, преобразуем подынтегральную функцию:
.
11
.
.
11
2
1
))((
)()(
2
1
))((
11
22
axaxaaxax
axax
aaxax
ax
.
.ln
2
1
||ln||ln
2
1)(
2
1)(
2
1
2
1
2
111
2
1
22
C
ax
ax
a
Caxax
aax
axd
aax
axd
a
ax
dx
aax
dx
a
dx
axaxa
ax
dx
.ln
2
1
22
C
ax
ax
a
ax
dx
.||ln
2
1)(
2
1
2
2
2
2
Cx
x
xd
x
xdx
Cx
x
xdx
2
2
ln
2
1
dx
cbxax
lkx
2
22ax
dx
22ax
dx
2
x
xdx
.
42
44
2
2
2
2
2
2
2
2
22
c
a
b
a
b
xac
a
b
a
b
x
a
b
xacbxax
.
52
3
2
dx
xx
x
.
2
1
)52ln(
2
1
2
1
2
1
241ln
2
1
21
2
21
1
41
21
52
3
2
2
2
2
2
222
C
x
arctgxxC
x
arctgx
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
x
xQ
xP
xP
xQ
xQ
xR
xW
xQ
xP
xW
xR
xQ
Следовательно,
Третий интеграл также легко приводится к табличному:
.
Эти интегралы следует присоединить к таблице основных интегралов и запомнить.
Неопределенный интеграл
или
гралов. Основной способ нахождения этого интеграла состоит в предварительном выделении
полного квадрата из квадратного трехчлена.
Выделение полного квадрата осуществляется следующим образом:
П р и м е р. Найти
; в случае k0 – к интегралу
в случае k=0 приводится к интегралу
и одному из предыдущих инте-
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим класс рациональных функций, т. е. функции, которые можно представить в
виде дроби
Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаме-
нателе, то, выполнив деление, получим:
где
, где
- некоторый многочлен, а
,
- многочлены.
,
– многочлен степени ниже, чем
12
.
П р и м е р 1.
12
262
3
12
1
3
2
2
3
235
xx
xx
x
xx
xxx
262
363
123
32
121
2
3
23
2235
3235
xx
xx
xx
xxxx
xxxxx
1
1
1
1
22
3
x
x
x
xx
1
11
3
23
xxx
xxx
xxxAxQ
xQ
,,,
0xQ
xxx
tsr
xxxAxQ
tsr ,,,
,,,
ntsr
xQ
bia
bia
vuxxqpxxxxAxQ
t
sr
22
22
,,,,,,,, vuqp
02 qp
xQ
xR
xQ
,
22
2
2
2
2
22
2
11
2
21
t
tt
r
r
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM
x
A
x
A
x
A
xQ
xR
,,,,,,,,,,,,
221121 ttr
NMNMNMAAA
a
axA)(
.
)(
2
qpxx
CBx
.
П р и м е р 2.
.
В высшей алгебре доказывается, что каждый многочлен может быть представлен в виде
произведения
многочлена
Множители
, а
- корни уравнения
, где A – коэффициент при старшей степени
.
называются элементарными множителями.
Если среди них имеются совпадающие, то, группируя, получаем представление:
, (11)
где
; причем
Среди корней представления (11) могут быть и комплексные. Если
- целые числа, которые называются соответственно кратностями корней
, где n – степень многочлена
.
- r-
кратный комплексный корень многочлена с вещественными коэффициентами, то этот мно-
гочлен имеет также сопряженный с
r-кратный корень
.
Запишем представление (11) в виде:
где
ТЕОРЕМА: Если рациональная функция
меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен
функцию можно единственным образом представить в виде
где
Выражение (13) называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.
Элементарные дроби – это дроби вида:
, (12)
- вещественные числа;
.
имеет степень многочлена в числителе
представлен в виде (12), то эту
(13)
- некоторые вещественные числа.
и
13
Чтобы определить числа
,,,,,,,,,,,,
221121 ttr
NMNMNMAAA
,,,,
21 r
AAA
xQ
xR
,,,,,,,,,,
1121 ttr
NMNMAAA
65
12
2
xx
x
652 xx
065
2
xx
12425645
2
D
2
3
2
15
2,1
x
2365
2
xxxx
23
65
12
2
x
B
x
A
xx
x
652 xx
3212 xBxAx
BAxBAx 3212
3
5
3
2
1322
2
132
2
B
A
B
BA
BB
BA
BA
BA
2
3
3
5
65
12
2
xx
xx
x
dx
xxx
xx
133
11145
23
2
323
2
23
2
)1()1(
1
)1(
11145
133
11145
x
C
x
B
x
A
x
xx
xxx
xx
2
4
5
4511
1014
5
11
214
5
11
142
5
111452
111452
1114511
22
22
2
2
C
B
A
C
B
A
BAC
AB
A
CBA
BA
A
xxCBAxBAAx
xxCBBxAAxAx
xxCxBxA
.
)1(
1
1
4
1ln5
)1(
2
)1(
4
1
5
133
11145
23223
2
C
x
x
xdx
xx
x
xxx
xx
, умножим обе
части разложения (13) с неизвестными пока
между многочленом
и многочленом, который получится в правой части, должно быть
на
. Поскольку равенство
справедливо для всех x, то коэффициенты, стоящие при равных степенях x, должны быть
равны между собой. Приравнивая их, получаем систему уравнений первой степени, из кото-
рой найдем неизвестные числа
.
Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональной функции называется
методом неопределенных коэффициентов.
П р и м е р 3. Разложить рациональную функцию
Разложим многочлен
,
Следовательно,
, для этого решим квадратное уравнение:
,
, тогда по формуле (13) имеем
.
.
Умножая обе части равенства на
или
, получаем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений
первой степени относительно A и B:
Таким образом,
П р и м е р 4. Найти
Разложим функцию
.
.
.
14
§ 6. Интегрирование простейших иррациональных функций
CBxAx
dx
2
bxu
C
a
u
ua
du
arcsin
22
Cuu
u
du
2
2
ln
C
a
x
a
x
a
x
d
xa
a
dx
a
xa
dx
arcsin
1
)(
1
1
2
22
22
463
2
xx
dx
3
1
13463
2
2
xxx
CxxxCuu
u
du
xx
dx
3
4
21ln
3
1
3
1
ln
3
1
3
13
1
463
22
2
2
,2CBxAx
C
a
ua
ua
u
duua
arccos
22
2
2222
Cuuu
u
duu
222
ln
22
.136
2
dxxx
.1363ln2136
2
3
4)3(3ln
2
4
4)3(
2
3
4136
22
2222
Cxxxxx
x
Cxxx
x
duudxxx
Cxf
xf
xdf
dx
xf
xf
)(ln
)(
)(
)(
)(
CxfC
xf
xdfxfdx
xf
xf
)(2
2
1
)]([
)()][(
)(
)(
2
1
2
1
.2dx
CBxAx
bax
.
485
49
2
dx
xx
x
Неопределенный интеграл
ном выражении и введением новой переменной
дится к одному из интегралов:
,
Рассмотрим интеграл
П р и м е р 1. Найти
Так как
.
, то, положив x+1=u, получим
выделением полного квадрата в подкорен-
, в зависимости от знака А, приво-
.
.
.
Неопределенный интеграл
ному из интегралов:
П р и м е р 2. Найти
Поскольку х
2
+6х+13=(х2+6х+9)+4=(х+3)2+4, то, полагая u=x+3, находим
Отметим, что
в зависимости от знака А, приводится к од-
,
.
;
.
К рассмотренным интегралам приводится также интеграл
П р и м е р 3. Найти
15
Поскольку
),1(888)485(
2
xxxx
51454449 xxx
22
22
1
4
9
491451124485 xxxxxx
.
3
12
arcsin
2
5
485
2
3
1
arcsin
2
5
4852
2
1
)1(
4
9
2
)1(
5
485
)1(8
2
1
485
5)1(4
485
49
22
2
222
C
x
xxC
x
xx
x
xd
xx
dxx
dx
xx
x
dx
xx
x
bax
0a
n
tbax
dxx
x
3
1
3
1 tx
13 tx
dttdx23
.
10
1323
10
96
1
2
3
5
33
11
2
3
1
5
3
25
3313
31
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
5
25
43
23
3
C
xx
C
x
xC
x
xx
xC
tt
dtttdttt
t
dttt
dx
x
x
dx
dcx
bax
xRm,
dx
dcx
bax
xRm,
0bcad
m
dcx
bax
m
dcx
bax
t
dcx
bax
t
m
mmm
dtbactxbaxdcxt
act
dtb
x
m
m
2
1
2
11
act
dtcdtbcadcdtmt
dt
act
mctdtbactmdt
dx
m
mmm
m
mmmm
2
1
act
dtbcadmt
dx
m
m
dttRdt
act
bcadmt
t
act
dtb
Rdx
dcx
bax
xR
m
m
m
m
m
1
2
1
,,
tR
1
x
dx
xx11
1
,
то получаем:
§ 7. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
Интегрирование простейших иррациональностей. Если подынтегральная функция
содержит лишь линейную иррациональность
.
, то делают подстановку
,
П р и м е р 1. Найти
Полагая
, имеем:
Интеграл вида
d – некоторые числа, причем
от x и от
. Покажем, что такой интеграл берется подстановкой
В самом деле,
.
,
. Подставим в интеграл
. Рассмотрим интеграл
, где a, b, c,
, m – натуральное число, R – рациональная функция
.
,
,
,
,
, тогда
где
- рациональная функция аргумента t.
П р и м е р 2. Вычислить
.
16
,
Сделав подстановку
x
x
t
1
1
x
x
t
1
1
2
222
1111 txtxxt
1
1
2
2
t
t
x
2
2
2
2
22
2
2
22
1
4
1
112
1
2112
t
tdt
t
dtttt
dt
t
tttt
dx
.
1
1
2
1
1
222
1
22
1
11
2
1
2
111
4
1
4
1
1
1
11
1
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
C
x
x
arctg
x
x
Ctarctgt
t
dt
dt
dt
t
t
t
dtt
ttt
dtt
t
tdt
t
t
t
x
dx
x
x
dxbxax
p
nm
dxbxax
p
nm
s
tx
3
2
3
2
1 xx
dx
dxxx
xx
dx
1
3
2
3
2
3
2
3
2
1
1
1p
3
23
,3, xtdttdxtx
.33
1
331311
3
2
2
1
222
1
3
2
3
3
2
3
1
3
2
3
2
CxarctgCtarctg
t
dt
dttttdttttdxxx
n
m 1
sn
tbxa
dxx
x
2
3
1
dxxxdx
x
x
2
1
23
2
3
1
1
2
1
p
2
2
4
2
131
nm
22222
11,1 txtxtx
2
2
1,
1xtt
tdt
dx
, получим
,
,
,
.
Тогда имеем:
Интегрирование дифференциальных биномов. Выражение вида
, где
m, n, p, a, b – постоянные числа, называется дифференциальным биномом.
Интеграл от дифференциального бинома
, если m, n, p - рациональные
числа, приводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, выражается через
элементарные функции в следующих трех случаях:
1) p есть целое число (положительное, отрицательное или нуль), тогда делают подста-
новку
П р и м е р 3. Вычислить интеграл
, где s – общий знаменатель чисел m и n.
.
- целое
2)
становку
есть целое число (положительное, отрицательное или нуль), тогда делают под-
, где s – знаменатель дроби p.
П р и м е р 4. Вычислить интеграл
,
.
.
- целое
.
.
.
,
17
.21
3
1
3
1
11
3
1
1
3
1
1
11
22
2
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
3
2
2
1
23
CxxC
x
xC
x
x
C
t
tdtt
t
tdt
ttdxxx
p
n
m1
sn
tbax
3
22
1 xx
dx
dxxx
xx
dx
2
3
22
3
22
1
1
2
3
p
2
1
2
121
nm
2
2
4
2
3
2
11
p
n
m
.
1
21
2
1
,
1
,
1
1
,
1
1
1111
2
3
2
2
3
2
2
2
2
22222222
t
tdt
tdttdx
x
x
t
t
x
t
xtxtxxtx
.
1
12
1
1
1
1
11
1
11
1
1
1
111
2
2
2
22
2
2
1222
2
3
2
2
3
2
2
3
22
2
3
2
2
3
2
2
2
3
22
C
xx
x
C
xx
xx
C
x
x
x
x
Cttdttdttt
t
dt
tttt
t
tdt
t
tdxxx
n
m 1
p
n
m1
dxeR
x
x
et
tx ln
t
dt
dx
t
dt
tRdxeR
x
tR
dx
e
e
x
x
1
1
x
et
t
dt
dx
dt
tt
t
t
dt
t
t
dx
e
e
x
x
1
1
1
1
1
1
3)
подстановку
есть целое число (положительное, отрицательное или нуль), тогда делают
, где s – знаменатель дроби p.
П р и м е р 5. Вычислить интеграл
,
.
.
,
- целое
,
Если же ни p, ни
жет быть выражен в элементарных функциях.
Интеграл вида
кажем, что он интегрируется подстановкой
Так как
t.
П р и м е р 6. Вычислить
Полагаем
и
,
, ни
. Данный интеграл зависит от трансцендентной функции, по-
, то
. Следовательно,
.
не являются целями числами, то интеграл не мо-
.
, где
- рациональная функция от
.
18
Последний интеграл надо разложить на сумму элементарных дробей:
1
21
11
1
ttt
B
t
A
tt
t
.2
,1
,1
,1
1
B
A
A
BA
tBtAAt
.1ln21ln2ln
1ln2ln
1
2
1
21
1
1
1
1
CxeCee
Ctt
t
dt
t
dt
dt
tt
dt
tt
t
dx
e
e
xxx
x
x
dxxxR )cos,(sin
t
x
tg
2
xsin
xcos
2
x
tg
;
1
2
sin,
1
2
2
1
2
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
2
cos
2
sin2sin
22
222
t
t
x
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
xx
x
.
1
1
cos,
1
1
2
1
2
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
coscos
2
2
2
2
2
2
22
22
22
t
t
x
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
xx
x
tarctgx 2
xsin
.
1
2
2
t
dt
dx
xsin
xcos
22
2
2
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
t
dt
t
t
t
t
RdxxxR
x
dx
sin
C
x
tgCt
t
dt
t
dt
t
t
x
dx
2
lnln
1
2
1
2
1
sin
2
2
dxxxR cos)(sin
tx sin
dtxdx cos
dttR )(
.
§ 8. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интеграл вида
. (14)
Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки
интегралу от рациональной функции. Выразим
и
(15) всегда сводится к
через
, а следовательно и
через t:
Тогда
Таким образом,
и
,
и dx выразились рационально через t. Так как рациональ-
ная функция от рациональной функции есть функция рациональная, то подставляя получен-
ные выражения в интеграл (14), получим интеграл от рациональной функции:
.
П р и м е р 1. Найти
.
Применяя полученные формулы, имеем:
.
Рассмотренную подстановку называют «универсальной тригонометрической подста-
новкой».
Кроме нее полезно знать другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее
приводят к цели.
1) Если интеграл имеет вид
приводит этот интеграл к виду
.
19
, то подстановка
,
2) Если интеграл имеет вид
dxxxR sin)(cos
tx cos
dtxdx sin
tgx
ttgx
tarctgx
2
1 t
dt
dx
2
1)(t
dt
tRdxtgxR
xxR cos,sin
xsin
xcos
ttgx
x
2
sin
x
2
cos
tgx
22
2
1
1
1
1
cos
txtg
x
2
2
2
2
2
11
sin
t
t
xtg
xtg
x
2
1 t
dt
dx
dx
x
x
cos2
sin
3
.cos2ln3cos2
2
cos
2ln32
22
3
2
2
1
2
1
sin
cos2
cos1
cos2
sinsin
cos2
sin
22
22223
Cxx
x
Ctt
t
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
xdx
x
x
dx
x
xx
dx
x
x
x
dx
2
sin2
C
tgx
arctgC
t
arctg
t
dt
t
dt
t
tx
dx
22
1
22
1
21
1
2
1
sin2
22
2
22
dxxxR
nm
)cos,(sin
xdxxnmcossin
12 pn
xdxxxxdxxxxdxxxdxx
pmpmpmnm
cos)sin1(sincoscossincossincossin
2212
tx sin
dtxdx cos
dtttxdxx
pmnm
)1(cossin
2
dx
x
x
4
3
sin
cos
.
sin
1
sin3
11
3
1
1
sin
cossin1
sin
coscos
sin
cos
33
244
2
4
2
4
2
4
3
C
x
x
C
t
t
t
dt
t
dt
dt
t
t
dx
x
xx
dx
x
xx
dx
x
x
нальной функции заменой
,
3) Если подынтегральная функция зависит только от
приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:
, то он приводится к интегралу от рацио-
.
, то замена
,
.
,
4) Если подынтегральная функция имеет вид
только в четных степенях, то применяется подстановка
жаются рационально через
:
,
После подстановки получим интеграл от рациональной функции.
П р и м е р 2. Найти
.
П р и м е р 3. Найти
.
, но
, так как
,
и
.
и
входят
выра-
.
5) Рассмотрим интеграл вида
три случая.
а)
, где m или n – нечетное число. Пусть n – нечетное, т.е.
преобразуем интеграл:
Сделаем замену переменной:
данный интеграл, получим:
функции от t.
П р и м е р 4. Найти
, где m и n – целые числа. Рассмотрим
,
.
,
. Подставляя новую переменную в
, т.е. интеграл от рациональной
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]